Активная идентификация стохастических динамических систем. Оценивание параметров. Учебное пособие

(t) 1; A(tk 1) 0 ; H (tk 1) 1.

x(t) и P(t) определяются по следующим дифференциальным уравнениям:

Таким образом, подлежащие оцениванию параметры 1, 2 входят в a[u(t), t] и F(t) .

Для того чтобы ослабить зависимость результатов оценивания от выборочных данных, произведем пять идентификационных экспериментов с входным сигналом из таблицы для q 1 . Реализации

53

выходных сигналов получим компьютерным моделированием при истинных значениях параметров 1* 1 и *2 0.1 , полагая, что измере-

ния проводятся через 1 с, t0 0 c , tN 50 c , N 50 . Для каждого

эксперимента вычислим оценки максимального правдоподобия 1, 2 , усредним полученные оценки и найдем 1cp , 2cp . Результаты оценивания представим в таблице.

Результаты оценивания неизвестных параметров модели (4.15), (4.16)

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

4.1. Рассмотрим линейную стационарную модель с детерминированным уравнением состояния

Будем считать, что:

случайные векторы v(tk 1) образуют стационарную белую гауссовскую последовательность, для которой

E[v(tk 1)] 0 , E v(tk 1)vT (ti 1) R ki ;

начальное состояние x(t0 ) детерминировано;

54

неизвестные постоянные параметры сведены в вектор , включающий в себя элементы матриц F, , H, R в различных

комбинациях.

Выпишите для модели (4.17), (4.18) с учетом указанных априорных предположениях и одном возможном запуске системы критерий максимального правдоподобия.

4.2.Для динамической модели из упражнения 4.1 составьте критерий наименьших квадратов при одном возможном запуске системы.

4.3.При каком характере вхождения неизвестных параметров в математическую модель из упражнения 4.1 критерии максимального

правдоподобия и наименьших квадратов совпадают?

4.4. Покажите, что для линейной стационарной модели (2.15), (2.16) с вероятностным описанием из раздела 2.2 критерий максимального правдоподобия при одном возможном запуске системы имеет вид

[44, 49, 50]

где (tk 1) и B(tk 1) вычисляются при помощи следующих уравнений непрерывно-дискретного фильтра Калмана:

dtd P(t | tk ) FP(t | tk ) P(t | tk )F T Q T , tk t tk 1 ;

(tk 1) y(tk 1) Hx(tk 1 | tk ) ;

B(tk 1) HP(tk 1 | tk )H T R;

K (tk 1) P(tk 1 | tk )H T B 1(tk 1) ; x(tk 1 | tk 1) x(tk 1 | tk ) K(tk 1) (tk 1) ;

P(tk 1 | tk 1) [I K(tk 1)H ]P(tk 1 | tk )

с начальными условиями: x(t0 | t0 ) x(t0 ) , P(t0|t0 ) P(t0 ) . Сравните результат с ответом упражнения 4.1.

55

4.5. Для динамической модели (2.15), (2.16) с вероятностным описанием из раздела 2.2 выпишите критерий наименьших квадратов при одном возможном запуске системы. Сравните ответы упражнений 4.2

и4.5.

4.6.При каком характере вхождения неизвестных параметров в ма-

тематическую модель (2.15), (2.16) с вероятностным описанием из раздела 2.2 критерии максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают?

4.7.Воспользовавшись представлением (3.21), предложите и программно реализуйте алгоритм вычисления значения критерия максимального правдоподобия для случая:

а) временной линеаризации; б) статистической линеаризации.

4.8.Разработайте и программно реализуйте алгоритм вычисления градиента критерия максимального правдоподобия (3.25) для случая:

а) временной линеаризации; б) статистической линеаризации.

4.9.Рассмотрим модель маятника с трением из упражнения 2.5 гла-

вы 2:

56

Найдите оценки параметров 1, 2 модели (4.19), (4.20), руковод-

Используйте:

а) временную линеаризацию; б) статистическую линеаризацию.

57

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. – М.: Наука, 1987. – 712 с.

2.Пащенко Ф.Ф. Введение в состоятельные методы моделирования систем: учеб. пособие в 2 ч. Ч. 1. Математические основы моделирования систем / Ф.Ф. Пащенко. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 328 с.

3.Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 3 т. Т. 1. Анализ и статистическая динамика систем автома-

тического управления / под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 748 с.

4.Сейдж Э.П. Идентификация систем управления / Э.П. Сейдж,

Дж.Л. Мелса. – М.: Наука, 1974. – 248 с.

5.Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления / П. Эйкхофф. –

М.: Мир, 1975. – 683 с.

6.Гроп Д. Методы идентификации систем / Д. Гроп. – М.: Мир, 1979. –

302 с.

7.Кашьяп Р.Л. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным / Р.Л. Кашьяп, А.Р. Рао. – М.: Наука, 1983. – 384 с.

8.Alexandrov A.G. Finite-frequency method of identification / A.G. Alexandrov // Preprints of 10th IFAC Symposium on System Identification. – Copenhagen, Denmark, 1994. – V. 2. – P. 523–527.

9.Александров А.Г. Конечно-частотная идентификация: определение границ испытательных частот / А.Г. Александров // Автоматика и телемехани-

ка. – 2001. – № 11. – С. 3–14.

10.Александров А.Г. Конечно-частотная идентификация: динамический алгоритм / А.Г. Александров, Ю.Ф. Орлов //Проблемы управления. – 2009. –

№4. – С. 2–8.

11.Налимов В.В. Теория эксперимента / В.В. Налимов. – М.: Наука, 1971. –

208 с.

12.Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента / В.В. Федоров. – М.:

Наука, 1971. – 312 с.

13.Денисов В.И. Математическое обеспечение системы ЭВМ – экспериментатор (регрессионный и дисперсионный анализы) / В.И. Денисов. – М.:

Наука, 1977. – 251 с.

14.Круг Г.К. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции / Г.К. Круг, Ю.А. Сосулин, В.А. Фатуев. – М.: Наука, 1977. – 208 с.

15.Хартман К. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов / К. Хартман, Э. Лецкий, В. Шефер. – М.: Мир, 1977. – 552 с.

16.Ермаков С.М. Математическая теория оптимального эксперимента / С.М. Ермаков, А.А. Жиглявский. – М.: Наука, 1987. – 320 с.

58

17.Авдеенко Т.В. Построение динамических моделей в пространстве состояний: анализ структурной идентифицируемости: монография / Т.В. Авдеенко, В.Г. Горский. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. – 292 с.

18.Деруссо П. Пространство состояний в теории управления / П. Деруссо,

Р. Рой, Ч. Клоуз. – М.: Наука, 1970. – 620 с.

19.Заде Л. Теория линейных систем. Метод пространства состояний / Л. Заде, Ч. Дезоер. – М.: Наука, 1970. – 704 с.

20.Горский В.Г. Планирование промышленных экспериментов (модели динамики) / В.Г. Горский, Ю.П. Адлер, А.М. Талалай. – М.: Металлургия, 1978. – 112 с.

21.Burnham K.P. Model selection and multimodel inference / K.P. Burnham, D.R. Anderson. – New York: Springer-Verlag, 2002. – 496 р.

22.Greene W.H. Econometric analysis / W.H. Greene. – New Jersey: Prentice Hall, 2003. – 1024 р.

23.Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л. Льюнг. –

М.: Наука, 1991. – 432 с.

24.Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений / П.Е. Эльясберг. – М.: Наука, 1976. – 416 с.

25.Мудров В.И. Методы обработки измерений: Квазиправдоподобные оценки / В.И. Мудров, В.Л. Кушко. – М.: Радио и связь, 1983. – 304 с.

26.Леман Э. Теория точечного оценивания / Э. Леман. – М.: Наука, 1991. –

448 с.

27.Ивченко Г.И. Введение в математическую статистику / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. – М.: Изд-во ЛКИ, 2010. – 600 с.

28.Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения / С.Р. Рао. –

М.: Наука, 1968. – 548 с.

29.Балакришнан А. Теория фильтрации Калмана / А. Балакришнан. – М.:

Мир, 1988. – 168 с.

30.Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Хим-

мельблау. – М.: Мир, 1975. – 534 с.

31.Базара М. Нелинейное программирование / М. Базара, К. Шетти. – М.:

Мир, 1982. – 583 с.

32.Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию / Б.Т. Поляк. – М.: Наука, 1983. –

384 с.

33.Гилл Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. –

М.: Мир, 1985. – 252 с.

34.Сухарев А.Г. Курс методов оптимизации / А.Г. Сухарев, А.В. Тимохов,

В.В. Федоров. – М.: Наука, 1986. – 328 с.

35.Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы /

М. Мину. – М.: Наука, 1990. – 488 с.

36.Измаилов А.Ф. Численные методы оптимизации / А.Ф. Измаилов, М.В. Солодов. – М.: Физматлит, 2008. – 320 с.

59

37.Дьяконов В. Математические пакеты расширения MATLAB. Специальный справочник / В. Дьяконов, В. Круглов. – СПб.: Питер, 2001. – 480 с.

38.Жиглявский А.А. Методы поиска глобального экстремума / А.А. Жиглявский, А.Г. Жилинскас. – М.: Наука, 1991. – 248 с.

39. Сергеев Я.Д. Диагональные методы глобальной оптимизации / Я.Д. Сергеев, Д.Е. Квасов. – М.: Физматлит, 2008. – 352 с.

40.Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования / Ю.И. Топчеев. – М.: Машиностроение, 1989. – 752 с.

41.Филлипс Ч. Системы управления с обратной связью / Ч. Филлипс, Р. Харбор. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 616 с.

42.Пугачев В.С. Основы статистической теории автоматических систем / В.С. Пугачев, И.Е. Казаков, Л.Г. Евланов. – М.: Машиностроение, 1974. – 400 с.

43.Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева / И.Н. Синицын. – М.: Ло-

гос, 2007. – 776 с.

44.Попов А.А. Вычисление информационной матрицы Фишера в задаче планирования входного сигнала для динамических систем / А.А. Попов // Сборник научных трудов НГТУ. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. –

№2(11). – С. 8– 16.

45.Цыганова Ю.В. Об эффективных методах параметрической идентифи-

кации линейных дискретных стохастических систем / Ю.В. Цыганова, М.В. Куликова // Автоматика и телемеханика. – 2012. – № 6. – С. 34–51.

46.Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов / М.А. Огарков. – М.: Энергоатомиздат, 1990. – 208 с.

47.Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление / Дж. Медич. – М.: Энергия, 1973. – 440 с.

48.Jazwinski A.H. Stochastic processes and filtering theory / A.H. Jazwinski. – New York: Academic press, 1970. – 376 p.

49.Gupta N.K. Computational aspects of maximum likelihood estimation and reduction in sensitivity function calculations / N.K. Gupta, R.K. Mehra // IEEE Trans. Automat. Control. – 1974. – Vol. AC – 19. – № 6. – P. 774–783.

50. Astrom K.J. Maximum likelihood and prediction error methods / K.J. Astrom // Automatica. – 1980. – Vol. 16. – P. 551–574.

60