Активная идентификация стохастических динамических систем. Оценивание параметров. Учебное пособие

Для того чтобы ослабить зависимость результатов оценивания от выборочных данных, произведем пять идентификационных эксперимен-

тов с входным сигналом из таблицы для q 1 . Реализации выходных сигналов получим компьютерным моделированием при истинном зна-

УПРАЖНЕНИЯ

3.1. Рассмотрим линейную стационарную модель с детерминированным уравнением состояния

начальное состояние x(t0 ) детерминировано;

неизвестные постоянные параметры сведены в вектор , включающий в себя элементы матриц F, , H , R в различных

комбинациях.

41

Покажите, что для модели (3.28), (3.29) с учетом указанных априорных предположений и одном возможном запуске системы критерий максимального правдоподобия имеет вид

3.3. Покажите, что для динамической модели из упражнения 3.1 критерий наименьших квадратов при одном возможном запуске системы записывается в виде

3.4. Покажите, что если неизвестные параметры модели из упражнения 3.1 не входят в ковариационную матрицу шума измерений R,

42

где (tk 1) и B(tk 1) вычисляются по уравнениям из упражнения 3.5. Сравните выражения (3.33) и (3.31).

3.7.Покажите, что если неизвестные параметры модели (2.5), (2.6)

свероятностным описанием из раздела 2.1 входят только в матрицу

и вектор начального состояния x(t0 ) , критерии максимального правдоподобия (3.32) и наименьших квадратов (3.33) совпадают.

3.8.Воспользовавшись выражением (3.21), предложите и программно реализуйте алгоритм вычисления критерия максимального правдоподобия для случая:

а) временной линеаризации; б) статистической линеаризации.

3.9.Разработайте и программно реализуйте алгоритм вычисления градиента критерия максимального правдоподобия (3.25) для случая:

а) временной линеаризации; б) статистической линеаризации.

3.10.Рассмотрим следующую нелинейную модель динамической системы:

Будем считать, что выполнены все априорные предположения из раздела 2.1 и

E w(tk )w(ti ) 0.6 ki Q ki ;

E[v(tk 1)v(ti 1)] 0.3 ki R ki ;

E[x(t0 )] 0 x(t0 ) , E [ x(t0 ) x(t0 )]2 0.01 P(t0 ) .

Найдите оценки параметров 1, 2 модели (3.34), (3.35), руководствуясь примером из раздела 3.5, приняв q 1 , истинные значения

44

параметров 1* 4 , *2 0.5 и N 31 . Используйте временную линеа-

ризацию.

3.11. Рассмотрим следующую нелинейную модель динамической системы:

– неизвестный параметр, причем 0.5 2 .

Будем считать, что выполнены все априорные предположения из раздела 2.1 и

E[w(tk )w(ti )] 0.8 ki Q ki ;

E[v(tk 1)v(ti 1)] 0.2 ki R ki ;

E[x(t0 )] 0.25 x(t0 ) , E [x(t0 ) x(t0 )]2 0.1 P(t0 ) .

Найдите оценки параметра модели (3.36), (3.37), руководствуясь примером из раздела 3.5, приняв q 1 , истинное значение

параметра * 1 и N 31 . Используйте статистическую линеаризацию.

45

ГЛАВА 4

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Для моделей непрерывно-дискретных систем точки спектра плана (3.1) имеют следующую структуру: Ui ui (t), t [t0, tN ], i 1, 2, , q .

4.1. ОСОБЕННОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИТЕРИЕВ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ

И ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ МОДЕЛЕЙ

Для линейных нестационарных моделей непрерывно-дискретных систем критерий максимального правдоподобия определяется, как и в

разделе 3.1, выражением (3.4), но ij (tk 1) и B(tk 1) в этом случае вы-

числяются по следующим уравнениям непрерывно-дискретного фильтра Калмана [46, 48]:

с начальными условиями: xij (t0 | t0 ) x (t0 ) , P(t0|t0 ) P(t0 ) .

Данное обстоятельство позволяет говорить о том, что большинство шагов алгоритма вычисления значения критерия максимального правдоподобия для линейных нестационарных моделей при некото-

ром фиксированном совпадут с соответствующими шагами алгорит-

ма, представленного в разделе 3.1. Уточним, какие именно шаги требуют корректировки, не повторяя шагов, оставшихся без изменений.

Шаг 2. Определить F(t), (t), t [t0 , tN ] . Положить

( ; ) Nm ln 2 , k = 0; P(tk | tk ) P(t0 ) .

Шаг 3. Определить H (tk 1) и по формулам (4.2), (4.4), (4.5), (4.7)

В случае применения временной или статистической линеариза-

ции к математической модели (2.11), (2.12) критерий максимального правдоподобия по-прежнему записывается в виде (3.13), с той разни-