Активная идентификация стохастических динамических систем. Оценивание параметров. Учебное пособие

1

N 1

( ; )

2

Nm ln 2 ln det B(tk 1)

k 0

q k

T

i

ij (tk 1)

B 1

(3.12)

(tk 1) ij (tk 1)

i 1 j 1

(3.9), (3.11) найти P(tk 1 | tk ) , B(tk 1) ,

K(tk 1) ,

P(tk 1 | tk 1) . Опреде-

лить A(tk 1) .

Шаг 4. Положить 0 , i 1.

Шаг 5.

Определить a ui (tk ), tk .

Шаг 6.

Положить j = 1.

Шаг 7.

Выбрать xij (tk | tk ) x (t0 ) , если k = 0.

Шаг 8. Вычислить xij (tk 1 | tk ) , ij (tk 1) ,

xij (tk 1 | tk 1) при помо-

щи соотношений (3.5), (3.7), (3.10).

Шаг 9.

Положить ij (tk 1) T B 1(tk 1) ij (tk 1) .

31

ln

L( ;U

,Y

) Nm ln 2

i

ij

2

N 1

ij

(tk 1)

T

Bi (tk 1) 1 ij (tk 1)

N 1

1

1 ln det Bi (tk 1)

2 k 0

2 k 0

Nm ln 2

q

ki

N 1

ij (tk 1)

T

Bi (tk 1)

1

ij (tk 1)

( ; )

1

2

2 i 1 j 1 k 0

q

N 1

1 ki ln det Bi (tk 1) .

(3.13)

2 i 1 k 0

Здесь ij (tk 1)

и Bi (tk 1) вычисляются по уравнениям [см. формулы

(3.5)–(3.11)]:

ij

(tk 1 | tk ) F

i

ij

(tk | tk ) a

i

(3.14)

x

(tk )x

u

(tk ),tk ;

32

Pi (tk 1 | tk ) Fi (tk )Pi (tk | tk ) Fi (tk ) T (tk )Q T (tk );

(3.15)

ij (tk 1) yij (tk 1) H i (tk 1)xij (tk 1 | tk ) Ai (tk 1) ;

(3.16)

Bi (tk 1) H i (tk 1)Pi (tk 1 | tk ) H i (tk 1) T R;

(3.17)

K i (tk 1) Pi (tk 1 | tk ) H i (tk 1) T Bi (tk 1) 1 ;

(3.18)

xij (tk 1 | tk 1) xij (tk 1 | tk ) K i (tk 1) ij (tk 1) ;

(3.19)

Pi (tk 1 | tk 1) [I K i (tk 1)H i (tk 1)]Pi (tk 1 | tk )

(3.20)

с начальными условиями:

xij (t0

| t0 ) x (t0 ) , Pi (t0|t0 ) P(t0 ) .

Уточним, что при временной линеаризации

f

xi

(t

k

), ui

(t

k

), t

k

Fi (tk )

н

н

;

x(tk )

f

xi

(t

k

), ui

t

k

, t

k

a ui

(t

k

), t

k

f

xi (t

k

), ui

(t

k

), t

k

н

н

xi

(t

k

)

н

н

x(tk )

н

xi

), ui

f

(t

k

(t

k

),t

н

н

k

ui (t

k

) ui

(t

k

)

;

u(tk )

н

h

xi

(t

k 1

), t

H i (tk 1)

н

k 1

;

x(tk 1)

h xi

(t

k 1

), t

Ai (t

k

1

) h

xi (t

k 1

),t

н

k 1

xi

(t

k

1

) ,

н

k 1

x(tk 1)

н

причем

i

(t

) f

x

i

(t

), u

i

(t

), t

, k 0,1, , N 1;

x

k 1

k

н

k

k

н

н

xi (t ) x(t ).

0

0

н

33

Fi (t

k

)

f

xi (t

k

), Pi (t

k

), ui (t

k

), t

k

;

1

i

i

i

(tk ), u

i

a u

(tk ), tk

f0 x

(tk ), P

(tk ), tk

f

xi (t

k

), Pi (t

k

), ui (t

k

), t

k

xi (t

k

) ;

1

H i (t

k 1

) h

xi

(t

k 1

), Pi (t

k 1

), t

;

1

k 1

Ai (t

k

1

) h

xi (t

k

1

), Pi

(t

k 1

), t

k 1

0

h

xi

(t

k 1

), Pi (t

k 1

), t

k

1

xi (t

k 1

) ,

1

где

i

x

i

(t

), P

i

(t

), u

i

(t

),t

,

если k 1, 2, ..., N 1,

x

f

0

k

1

k

1

k 1

k

1

tk

),

x(t

0

если

k 0;

f

xi (t

k

1

), Pi (t

k

1

), ui (t

k 1

), t

1

k 1

Pi (tk )

P

i

T

i

(tk

i

(tk 1), u

i

(tk

(tk 1) f1

x

1), P

1), tk 1

),

(tk )Q T (tk ), если

k 1, 2, ..., N 1,

P(t

если

k 0.

0

Для рациональной организации вычислений при программной реа-

лизации выражение (3.13) целесообразно записать в виде

1

N 1 q

( ; )

k

ln det Вi (t

)

2

Nm ln 2

i

k 1

k 0 i 1

ki

T

Bi

(tk 1)

1

ij (tk 1)

ij (tk 1)

.

(3.21)

j 1