Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Активная идентификация стохастических динамических систем. Оценивание параметров. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Разложив вектор-функции f [x(t), u(t), t] и h[x(tk 1), tk 1] в ряды Тейлора в окрестностях точек [xн(t), uн(t)] и xн(tk 1) соответственно и

отбросив члены второго и более высоких порядков, запишем уравнения линеаризованной модели

d	x(t)		f [xн(t), uн(t), t]		f [xн(t), uн(t), t]	[x(t) xн(t)]
dt	x(t)		f [xн(t), uн(t), t]		x(t)	[x(t) xн(t)]
dt					x(t)
		f [xн(t), uн(t), t]		[u(t) uн(t)] (t)w(t),			t [t0 , tN ] ;
			u(t)	[u(t) uн(t)] (t)w(t),			t [t0 , tN ] ;
			u(t)

y(tk 1) h[xн(tk 1), tk 1]

h[xн(tk 1),tk 1] x(tk 1) xн(tk 1) v(tk 1) .

x(tk 1)

Положив

a[u(t), t] f [xн(t), uн(t), t] f [xн(t), uн(t), t] xн(t)

x(t)

f [xн(t), uн(t), t][u(t) uн(t)];

u(t)

F (t) f [xн(t), uн(t), t] ;

x(t)

A(tk 1) h[xн(tk 1), tk 1] h[xн(tk 1),tk 1] xн(tk 1) ;

x(tk 1)

H (tk 1) h[xн(tk 1), tk 1] ,

x(tk 1)

приходим к модели линейной нестационарной системы (2.13), (2.14). Выполним статистическую линеаризацию нелинейной модели

(2.11), (2.12). В соответствии с [43] получим:

f x(t), u(t), t f0 x(t), P(t), u(t), tf1[x(t), P(t), u(t), t][x(t) x(t)] ;

h[x(tk 1), tk 1] h0 x(tk 1), P(tk 1), tk 1h1[x(tk 1), P(tk 1), tk 1][x(tk 1) x(tk 1)] ,

где

f0[x(t), P(t), u(t), t]

f [x(t), u(t), t]

(2 )n det[P(t)]

[x(t) x

(2.17)

exp

(t)]T P 1(t)[x(t) x(t)] dx(t) ;

f1[x(t), P(t), u(t),t]

f0 x(t), P(t), u(t), t

;

x(t)

h0 x(tk 1), P(tk 1), tk 1

h[x(tk 1), tk 1

]

(2 )n det[P(tk 1)]

[x(tk 1) x(tk 1)]T P 1(tk 1)[x(tk 1) x

(2.18)

exp

(tk 1)] dx(tk 1) ;

h [x(t

k 1

), P(t

), t

k 1

]

h0[x(tk 1), P(tk 1),tk 1]

x(tk 1)

причем x(t) = E[x(t)] и P(t) E [x(t) x(t)][x(t) x(t)]T определяются из следующих дифференциальных уравнений:

(t) f

[x(t), P(t), u(t), t], t [t , t

x(t

) дано;

dP(t)

x(t), P(t), u(t), t P(t) P(t) f T x(t), P(t), u(t),t

(t)Q

(t),

t [t0 ,tN ],

)

дано.

P(t

Подчеркнем, что при вычислении интегралов в формулах (2.17), (2.18) может оказаться полезным использование выражений из [42, 43] для коэффициентов статистической линеаризации типовых одномерных нелинейностей.

УПРАЖНЕНИЯ

2.1. Покажите, что в случае временной линеаризации модели (2.1), (2.2) в выражениях (2.3), (2.4)

a[u(tk ), tk ] f [xн(tk ), uн(tk ), tk ] f [xн(tk ), uн(tk ), tk ] xн(tk )

x(tk )

f [xн(tk ), uн(tk ), tk ][u(tk ) uн(tk )];

u(tk )

F(tk ) f [xн(tk ), uн(tk ), tk ] ;

x(tk )

A(tk 1) h[xн(tk 1), tk 1] h[xн(tk 1), tk 1] xн(tk 1) ;

x(tk 1)

H (tk 1) h[xн(tk 1), tk 1] .

x(tk 1)

2.2. Покажите, что в случае статистической линеаризации модели

(2.11), (2.12) в выражениях (2.13), (2.14)

a[x (t), P(t), u(t), t] f0[x (t), P(t), u(t), t] f1[x (t), P(t), u(t), t]x (t) ; F[x (t), P(t), u(t), t] f1[x (t), P(t), u(t), t] ;

A[x(tk 1), P(tk 1), tk 1] h0 x(tk 1), P(tk 1), tk 1h1[x (tk 1), P(tk 1), tk 1]x (tk 1) ;

H x(tk 1), P(tk 1), tk 1 h1[x (tk 1), P(tk 1), tk 1] .

2.3. Рассмотрим следующую модель состояния нелинейной дискретной системы

0.01[u(tk

x(tk 1) 1

x(tk )

) x(tk )]e

0.25[u(t

) x(t

)]

0.1

w(tk )

(2.19)

с неизвестными параметрами 1, 2 . Покажите, что выполнение линеа-

ризации модели (2.19) во временной области относительно номинальной траектории

)

x (t

)

0.01

) x

) e

0.25[u

) x (t

)]

k 1

k 0,1, , N 1;

) 0,

приводит к линеаризованной модели вида (2.3), в которой

a[u(t

), t

]

0.01

1 0.25(u

) x

)) u(t

)

0.25 uн(tk ) xн(tk ) 2 e0.25[uн(tk ) xн(tk )] ;

F (t

) 1

0.01

1 0.25[u

) x

)] e

0.25[u

) x (t

)]

2.4. Рассмотрим следующую модель состояния стохастической дискретной системы, содержащей нелинейный элемент с характеристикой релейного типа и зоной нечувствительности,

x(tk 1) x(tk ) 0.05 [x(tk ), u(tk )] 0.05 w(tk ) .								(2.20)
Здесь
25,		если u(t	k	) x(t	k	) 0.75;
	0,		k		k		0.75;
[x(tk ), u(tk )]	0,	если 0.75 u(tk ) x(tk )					0.75;
	25,	если u(t	k	) x(t	k	) 0.75
			k		k

( – неизвестный параметр).

Покажите, что статистическая линеаризация модели (2.20) приводит к линеаризованной модели вида (2.3), в которой

a x(tk ), P(tk ), u(tk ), tk

0.75 u(t

) x(t

)

1.25 Ф

P(t

)

0.75 u(tk )

x(tk )

1.25

2 P(t

)

P(t

)

(0.75 u(tk ) x(tk ))

;

exp

2P(tk )

F(tk ) 1

1.25

2 P(tk )

(0.75

u(tk ) x(tk ))

(0.75 u(tk ) x(tk ))

exp

2P(tk )

Здесь и далее Ф( )

e 2 dt – функция Крампа (Лапласа);

x(tk )

и P(tk )

определяются по следующим рекуррентным соотношениям:

x t

k 1

1.25 Ф

0.75 u(tk 1) x(tk 1)

P tk 1

x(tk )

0.75 u(t

k 1

)

x(t

k 1

)

если k 1, 2, ..., N 1,

)

P(t

k 1

x(t

если k 0;

P(tk )

F 2 (tk )P(tk ) 0.0025 2Q,

если k 1, 2, ..., N 1,

P(t

если k 0.

2.5. Рассмотрим стохастические уравнения движения маятника с трением в пространстве состояний

x1(t)

x2 (t)

(t)

(t)) u(t)

x2 (t)

sin(x1

2m1

	w(t), t [t0 , tN ] .	(2.21)
Здесь x1 – угол между осью стержня и вертикальной прямой;		x2 – уг-
ловая скорость;	g – ускорение свободного падения; 1 – коэффициент
вязкого трения;	2 – длина стержня; М – масса стержня; m – масса
груза; m m M . Числовые значения постоянных таковы:		g 9.81 ,
1	3
m 0.1, M 1.
	Покажите, что выполнение линеаризации модели со-

стояния (2.21) во временной области относительно номинальной траектории

x2н(t)

(t)

t [t

, t

];

x2н

(t)

sin(x1н(t)) uн

(t)

2m1

)

приводит к линеаризованной модели вида (2.13), в которой

a[u(t), t]

;

M sin x

(t)

M cos(x

(t))x

(t) u(t)

1н

F(t)

cos(x1н(t))

2m1

2.6. Покажите, что выполнение статистической линеаризации модели маятника с трением (2.21) приводит к линеаризованной модели вида (2.13), в которой


						P (t)
a[u(t), t]	g		M			11
a[u(t), t]	g		M
		m	2	e	2
		m		e
	2m1

0
				;
sin(x	(t)) cos(x	(t))x	(t) u(t)	;
sin(x	(t)) cos(x	(t))x	(t) u(t)
1	1	1

				0					1
					P		(t)
F(t)	g	m	M e		11				1	.
	g					2 cos(x		(t))	1	.
						2 cos(x		(t))
			2				1		2m
	2m1		2						2m
									2 1

где P11(t)

–

соответствующий элемент матрицы Р (t). Здесь x(t) и

P(t) определяются по следующим дифференциальным уравнениям:

x2 (t)

(t)

x(t)

M e

x (t)

2 sin(x

(t)) u(t)

2m1

2 1

t [t0 ,tN ];

x(t0 )

P(t) F(t)P(t) P(t)F T (t) Q,

t [t

, t

];

0.05

P(t0 )

0.05 .

ГЛАВА 3

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Оценивать неизвестные параметры будем по данным наблюдений, полученным в результате проведения идентификационных экспе-

риментов в соответствии с дискретным планом .

Предположим, что экспериментатор может произвести независимых запусков системы, причем сигнал U1 он подает на вход систе-

мы k1 раз, сигнал U2 – k2 раз и, наконец, сигнал Uq – kq раз. В этом

случае дискретный нормированный план эксперимента представляет собой совокупность точек U1,U2 ,…,Uq и соответствующих им долей

повторных запусков:

U1,U2 , ,Uq

, U

, i = 1, 2, …, q.

(3.1)

1 ,

, ,

Множество планирования U определяется ограничениями

на

условия проведения эксперимента.

Обозначим через Yij

j-ю реализацию выходного сигнала,

соответ-

yij (t )

ствующую i-му входному сигналу Ui

yij (t

)

( j 1,2, ,ki ): Yij

...

В результате проведения по плану

(tN )

идентификационных экспери-

ментов будут подготовлены данные наблюдений

{(Ui ,Yij ), i 1, 2, ..., q,	j 1, 2, ..., ki} .
q
Подчеркнем, что ki .
i 1

Априорные предположения, представленные во второй главе, позволяют воспользоваться методом максимального правдоподобия для оценивания неизвестных параметров (полезные свойства соответствующих оценок перечислены выше). В соответствии с указанным мето-

дом необходимо найти такие значения параметров , для которых

arg min [ ( ; )] arg min [ ln L( ; )] ,		(3.2)

где ln L( ; ) – логарифмическая функция правдоподобия, которую

необходимо составить.

Поскольку запуски системы выполняются независимо, критерий максимального правдоподобия ( ; ) связан с логарифмическими

функциями правдоподобия для одного запуска ln L( ;Ui ,Yij ) соотношением

q ki
( ; ) ln L( ;Ui ,Yij ) ,	(3.3)

i 1 j 1

где ln L( ;Ui ,Yij ) выписывается для каждой модельной структуры по-

своему.

Для численного решения задачи нелинейного программирования

(3.2) можно воспользоваться методом последовательного квадратич-

ного программирования, что предполагает необходимость разработки алгоритмов вычисления значений критериев идентификации и их градиентов.

Для моделей дискретных систем точки спектра плана (3.1) имеют следующую структуру:

, ui (t )

, , ui (t

)

, i 1, 2, , q .

U T ui (t )

N 1

3.1. КРИТЕРИЙ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМ ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЯ

Следуя [23, 44, 45], для математической модели (2.3), (2.4) запишем:

		ln	L( ;U			,Y	) Nm ln 2
					i	ij	2
							2
	N 1		T						N 1
	1 ij (tk 1)		В 1(tk 1) ij (tk 1) 1						ln det В(tk 1) ,
	2 k 0							2 k 0
что позволяет представить соотношение (3.3) в виде
			( ; )				Nm	ln 2
			( ; )				2	ln 2
							2
	q ki N 1	ij (tk 1)		T	В 1(tk 1) ij (tk 1)				N 1
	1	ij (tk 1)			В 1(tk 1) ij (tk 1)				ln det В(tk 1) , (3.4)
	2 i 1 j 1 k 0								2 k 0

где ij (tk 1) и B(tk 1) вычисляются по приведенным ниже уравнениям дискретного фильтра Калмана [29, 43, 46, 47]:

ij	ij		i	(tk ),tk		(3.5)
x	(tk 1 \| tk ) F(tk )x	(tk \| tk ) a u			;
Р(tk 1 \| tk ) F (tk )Р(tk \| tk )F T (tk ) (tk )Q T (tk );						(3.6)
ij (tk 1) yij (tk 1) H (tk 1)xij (tk 1 \| tk ) A(tk 1) ;						(3.7)
В(tk 1) Н(tk 1)Р(tk 1 \| tk )НT (tk 1) R;						(3.8)
	K (tk 1) P(tk 1 \| tk )НT (tk 1)В 1(tk 1) ;					(3.9)
xij (tk 1 \| tk 1) xij (tk 1 \| tk ) K (tk 1) ij (tk 1) ;						(3.10)
P(tk 1 \| tk 1) [I K(tk 1)H (tk 1)]P(tk 1 \| tk )						(3.11)

с начальными условиями: xij (t0 | t0 ) x (t0 ) , P(t0|t0 ) P(t0 ) .

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]