Учебно-методическое пособие по дисциплине Основы финансовых вычислений

срок ренты – время от начала первого периода ренты до конца последнего,

процентная ставка – ставка, используемая для наращения или дисконтирования платежей, из которых состоит рента.

В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу их классификации может быть положен ряд признаков. Рассмотрим некоторые из таких классификаций.

По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и р-срочные (р – количество выплат в году). Перечисленные виды рент называют дискретными. В финансовой практике встречаются и с такими последовательностями платежей, которые производятся так часто, что их практически можно рассматривать как

непрерывные.

По числу раз начислений процентов на протяжении года различают:

ренты с ежегодным начислением, с начислением m раз в году, с непрерывным начислением.

По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с

одинаковыми размерами члена ренты) и переменные. Члены переменных рент изменяют свои размеры во времени, следуя какому-либо закону, например арифметической или геометрической прогрессии. Постоянные ренты – наиболее распространенный вид ренты.

По вероятности выплат ренты делятся на верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной уплате, например при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события, число ее членов заранее не известно. К такого рода рентам относятся страховые аннуитеты – последовательные платежи в имущественном и личном страховании. Типичным примером страхового аннуитета является пожизненная выплата пенсии.

По количеству членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные ренты (их срок заранее оговорен) и бесконечные или вечные ренты. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты процентов по бессрочным облигационным займам.

Очень важным является различие по моменту выплат платежей в пределах периода ренты. Если платежи осуществляются в конце этих периодов, то соответствующие ренты называют обыкновенными или постнумерандо, если же платежи осуществляются в начале периодов, то их называют пренумерандо.

Обобщающие характеристики потоков платежей

1. Наращенная сумма – сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока ренты процентами.

21

2. Современная стоимость потока платежей - сумма всех его членов,

дисконтированных на начало срока ренты или некоторый предшествующий момент времени.

Прямой метод расчета обобщающих характеристик ренты

Пусть имеется ряд платежей Rt , выплачиваемых спустя время nt после

некоторого начального момента времени. Общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока потока платежей сумму. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставке i , то, обозначив искомую величину через S , получим по определению

S Rt 1 i n nt .

t

Современную стоимость такого потока также находим прямым счетом как сумму дисконтированных платежей

где А – современная стоимость потока платежей, nt - дисконтный множитель по ставке i .

Наращенная сумма и современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

(на примере годовой ренты)

Методом прямого счета, как это было рассмотрено выше, можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей. Однако удобнее воспользоваться более компактными формулами.

Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i% годовых. Т.о. имеется рента, член которой равен R , а срок - n . Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты – на первый член проценты начисляются n 1 год, на второй n 2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (т.к. рента постнумерандо). Наращенная к концу срока по каждому взносу сумма составит

R 1 i n 1 , R 1 i n 2 , …, R 1 i , R .

Переписав этот ряд в обратном порядке, нетрудно убедиться в том, что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем 1 i и

22

первым членом R . Число членов прогрессии равно n . Искомая величина равна сумме членов этой прогрессии. Откуда

Обозначим множитель, на который умножается R , через sn;i . Нижний

индекс n;i указывает на продолжительность ренты и величину процентной ставки. Будем называть этот множитель коэффициентом наращения ренты. Данный коэффициент представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1

Таким образом

S Rsn;i .

Как было сказано выше, современная стоимость потока платежей – это сумма дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени. Вместо термина «современная стоимость» потока платежей в зависимости от контекста употребляют термины капитализированная стоимость или приведенная величина.

Пусть имеется годовая рента постнумерандо, член которой равен R , срок ренты - n , ежегодное дисконтирование. В этих условиях

дисконтированная величина первого платежа равна Rv , второго - Rv2 , последнего - Rvn . Т.е. данные величины образуют ряд, соответствующий геометрической прогрессии с первым членом Rv и знаменателем v . Обозначим сумму членов этой прогрессии через А

Множитель, на который умножается R , называется коэффициентом приведения (коэффициентом дисконтирования) ренты, он обозначен как

an;i . Этот коэффициент характеризует современную стоимость ренты с членом, равным 1.

При увеличении срока ренты величина an;i стремится к некоторому пределу. При n предельное значение коэффициента составит

23

Полученное выражение применяется при расчете современной стоимости вечной ренты.

7. Планирование погашения долгосрочной задолженности

Расходы по обслуживанию долга

Важной целью количественного анализа долгосрочной задолженности является разработка плана погашения займа, адекватного условиям финансового соглашения.

Разработка плана погашения займа заключается в составлении графика периодических платежей должника. Такие расходы должника обычно называют расходами по обслуживанию долга, а также срочными уплатами,

расходами по займу. Расходы по обслуживанию долга включают как текущие процентные платежи, так и средства, предназначенные для погашения основного долга.

Методы определения размера срочных уплат существенно зависят от условий погашения долга, которые предусматривают срок займа, продолжительность льготного периода, уровень и вид процентной ставки, методы уплаты процентов и способы погашения основной суммы долга. В льготном периоде основной долг не погашается, обычно выплачиваются проценты. Не исключается возможность присоединения процентов к сумме основного долга.

При определении размера срочных уплат используем следующие обозначения:

D – сумма задолженности, Y – срочная уплата,

I – проценты по займу,

R – расходы по погашению основного долга, g – ставка процентов по займу,

n – общий срок займа.

По определению расходы по обслуживанию долга находятся по формуле

Y I R .

24

Создание погасительного фонда

Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринимать меры для обеспечения этого. При значительной сумме долга обычная мера заключается в создании погасительного фонда. Необходимость формирования такого фонда иногда оговаривается в договоре выдачи займа в качестве гарантии его погашения. На практике возникает необходимость накопления средств и по другим причинам. Например, для накопления амортизационных отчислений на закупку изношенного оборудования и т.д.

Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника (например, на специальный счет в банке), на которые начисляются проценты. Т.е. должник имеет возможность инвестировать средства для погашения долга. Сумма взносов в фонд вместе с начисленными процентами, накопленная в погасительном фонде к концу срока, должна быть равна его сумме. Взносы могут быть как постоянными, так и переменными во времени.

Постоянные взносы в фонд

Пусть накопление производится путем регулярных ежегодных взносов R , на которые начисляются сложные проценты по ставке i. Одновременно происходит выплата процентов за долг по ставке g. В этом случае срочная уплата составит

Y Dg R .

Обе составляющие срочной уплаты постоянны во времени. Первая составляющая определяется величиной долга и процентной ставкой по займу. Найдем вторую составляющую.

Пусть фонд должен быть накоплен за N лет. Тогда соответствующие взносы образуют постоянную ренту с параметрами R, N, i. Пусть речь идет о ренте постнумерандо, тогда

где sN ;i - коэффициент наращения постоянной ренты со сроком N.

В целом срочная уплата находится следующим образом

Y Dg D .

sN ;i

Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата определяется

Y D 1 g N .

sN ;i

25

При создании погасительного фонда используются две ставки – i и g. Первая определяет темп роста погасительного фонда, вторая - сумму выплачиваемых за заем процентов. Очевидно, что рассматриваемый способ погашения долга – создание фонда – выгодна должнику только тогда, когда i g , т.к. в этом случае должник на аккумулируемые в погасительном фонде средства получает больше процентов, чем сам выплачивает за заем. Чем

создания фонда пропадают – финансовые результаты для должника оказываются такими же, как и при погашении долга частями.

Погашение долга в рассрочку

В практической финансовой деятельности, особенно при значительных размерах задолженности, долг обычно погашается в рассрочку, частями. Такой метод погашения часто называют амортизацией долга. Он осуществляется различными способами:

-погашением основного долга равными суммами (равными долями),

-погашением всей задолженности равными или переменными суммами по обслуживанию долга.

Погашение основного долга равными суммами

Пусть долг в сумме D погашается в течение n лет. В этом случае сумма, ежегодно идущая на его погашение, составит

R Dn .

Размер долга последовательно сокращается: D, D R, D 2R и т.д. Соответствующим образом уменьшаются и выплачиваемые проценты, т.к. они начисляются на остаток долга. Пусть проценты выплачиваются один раз в конце года по ставке g . Тогда за первый год и последующие годы они равны Dg, (D R)g, (D 2R)g и т.д. Процентные платежи образуют убываю-

щую арифметическую прогрессию с первым членом Dg и разностью Rg .

Срочная уплата в конце первого года определяется

Y1 D0 g R .

Для конца года t находим

Yt Dt 1g R , t 1,..., n ,

где Dt - остаток долга на конец года t (после уплаты ),

Dt 1 - остаток долга на конец года -1 или на начало года (до уплаты ).

26

У рассмотренного метода амортизации задолженности в начале срока погашения срочные уплаты выше, чем в конце его, что часто является нежелательным для должника.

Погашение долга равными срочными уплатами

В соответствии с этим методом расходы должника по обслуживанию долга постоянны на протяжении всего срока его погашения. Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процентов, остаток идет на погашение основного долга. Так же как и при предыдущем методе, величина долга здесь последовательно сокращается, в связи с этим уменьшаются процентные платежи и увеличиваются платежи по погашению основного долга. По определению

Y Dt 1g Rt const ,

Dt 1 - остаток долга на начало года ,

R - сумма выплаты основного долга в конце года .

План погашения обычно разрабатывается при условии, что задан срок погашения долга.

Первый этап разработки плана погашения – определение размера срочной уплаты. Далее полученная величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга.

Периодическая выплата постоянной суммы Y равнозначна ренте с заданными параметрами. Приравняв сумму долга к современной величине этой ренты, находим

где an;g - коэффициент приведения годовой ренты со ставкой g и сроком n.

Найдем сумму первого погасительного платежа. По определению

R1 Y Dg ,

R1, R1 1 g ,..., R1 1 g t 1 , т.е. геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем , число членов .

27

По этим данным легко определить сумму погашения задолженности на конец года t после очередной выплаты

где st;g - коэффициент наращения постоянной ренты постнумерандо.

8. Оценка финансовой эффективности производственных инвестиций

Характеристика эффективности производственных инвестиций

Инвестиционный процесс – это последовательность взаимосвязанных инвестиций (вложений денег), растянутых на несколько временных периодов, отдача (доходы) от которых также растянута во времени. Инвестиционный процесс характеризуется двусторонним потоком платежей, положительные члены которого соответствуют отдаче от инвестиций, а отрицательные – вложениям, необходимым для осуществления инвестиционного проекта.

Основные финансовые критерии

Характеристика эффективности производственных инвестиций – определение их доходности для инвестора. С такой задачей сталкиваются как на этапе первоначального анализа финансовой «привлекательности» проекта, так и при разработке бизнес-плана. Отрицательный вывод обычно дает основание отказаться от дальнейшего изучения проекта. Без расчета такого рода измерителей нельзя осуществить и сравнение альтернативных инвестиционных проектов.

Применяемые в финансовом анализе методики можно разбить на две большие группы по тому, учитывают они фактор времени или нет. Как было рассмотрено ранее, учет фактора времени опирается на дисконтирование соответствующих стоимостных величин, поэтому методы и измерители первой группы часто называют дисконтными. Ко второй относят методы без дисконтирования распределенных во времени денежных сумм. Условно назовем последние бухгалтерскими. Обычно в финансовом анализе одновременно используются показатели, получаемые дисконтными и бухгалтерскими методами. В современной зарубежной практике у средних и крупных фирм дисконтные методы являются преобладающими.

28

В анализе в основном используют следующие показатели, основанные на дисконтировании:

чистый приведенный доход (чистый доход – прибыль за вычетом налогов),

внутреннюю норму доходности,

дисконтный срок окупаемости,

индекс доходности.

Потоки платежей в инвестиционном анализе

Основная задача при разработке модели, с помощью которой намереваются проанализировать долгосрочный инвестиционный проект, в том числе измерить его финансовую эффективность, заключается в формировании ожидаемого потока платежей. Первым шагом в этом направлении является разработка структуры потока во времени – разбивка его на этапы, различающиеся своим содержанием и закономерностями в изменении доходов и затрат (проектирование, строительство, освоение производственных мощностей).

В общем виде член потока платежей для каждого временного интервала определяется следующим образом (при условии выплат налога на прибыль):

R G C G C L T K ,

R – член потока платежей,

G – ожидаемый общий доход от реализации проекта, сумма выручки за период,

C – текущие расходы,

L – расходы, на которые распространяются налоговые льготы, T – налоговая ставка,

K – инвестиционные расходы.

Приведенное уравнение характеризует общий подход к определению члена потока. Оно может быть уточнено с учетом конкретных условий и принятой в фирме методики, методами начисления и выплат налогов и т.д.

Приведенное выше уравнение разработано без учета источников финансирования. Если в потоке платежей учитывается привлечение заемных средств, их погашение и выплата процентов, то член потока определяется следующим образом:

R G C I G C L I T K B P ,

29

где I – сумма выплаченных процентов за заемные средства, В – полученные в текущем году заемные средства, Р – погашение основного долга.

В данном выражении предполагается, что суммы выплат процентов за кредит освобождаются от налогов.

Инвестиционные затраты включают все виды расходов, необходимых для реализации проекта: проектные работы, приобретение лицензий, оплата оборудования, строительство, монтаж и наладка оборудования и т.д. Поступления от инвестиций – чистые доходы, причем под чистым доходом понимается не бухгалтерская прибыль, а доход за вычетом всех реальных расходов.

Очевидно, что в первые годы реализации проекта члены потока – отрицательные величины, т.к. затраты превышают поступления. Нельзя исключить ситуации, когда отрицательными оказываются потоки платежей и в отдельные годы периода эксплуатации, например в период модернизации технологического процесса.

Ставка приведения (дисконтирования)

Дисконтный метод оценки эффективности инвестиций так или иначе связан с приведением как инвестиционных расходов, так и доходов к одному моменту времени, т.е. с расчетом соответствующих современных стоимостей потоков платежей. Важным моментом здесь является выбор уровня процентной ставки для дисконтирования. Назовем эту величину ставкой приведения (ставкой дисконтирования - СД). Какую ставку следует принять в конкретной ситуации – дело экономического суждения. Чем ставка выше, тем в большей мере отражается фактор времени.

От выбора уровня ставки дисконтирования зависят конечные результаты оценки эффективности инвестиций по конкретному проекту. Однако полученное для одного уровня процентной ставки ранжирование нескольких проектов по их финансовой эффективности сохранится в пределах большого диапазона уровня ставки, т.е. наблюдается известная инвариантность результатов.

Выбор уровня процентной ставки для дисконтирования за редким исключением не является однозначным и зависит от ряда факторов. Практически для этого используют конкретные ориентиры – доходность ряда ценных бумаг, банковских операций и т.д. с учетом условий деятельности инвестора.

В качестве ставки дисконтирования может использоваться норматив доходности или минимально привлекательная ставка доходности.

Важным моментом является учет риска. Риск в инвестиционной деятельности независимо от ее конкретных форм в конечном счете

30