Учебно-методическое пособие по дисциплине Основы финансовых вычислений

Эффективная учетная ставка d характеризует степень дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей

Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда m >1, меньше номинальной.

3. Эквивалентные процентные ставки

Как было показано выше, разные по величине процентные ставки могут приводить к одинаковым финансовым результатам. Т.е. замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансовых последствий в рамках одной операции. Для участвующих в сделке сторон, в общем, безразлично, какой вид ставки фигурирует в контракте. Такие ставки называются эквивалентными.

Эквивалентные ставки – ставки разного вида, применение которых приводит к одинаковому финансовому результату.

Уравнения эквивалентности ставок можно получить исходя из равенства двух множителей наращения.

Например, определим уравнение эквивалентности между простой и сложной ставками. Для этого приравняем друг к другу соответствующие множители наращения

1 nis 1 i n ,

где is и i - ставки простых и сложных процентов.

Приведенное равенство предполагает, что начальные и наращенные суммы при применении двух видов ставок идентичны. Решение приведенного выше равенства дает следующие соотношения эквивалентности

is 1 i n 1 ,

n

i n1 nis 1.

Аналогичным образом определим и другие соотношения эквивалентности ставок.

11

момент времени, одинаковы. Замена S1 на S2 в этих условиях формально не изменяет отношения сторон.

На принципе эквивалентности основывается сравнение разновременных платежей.

Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, результат зависит от выбора ее размера.

Принцип финансовой эквивалентности реализуется с помощью построения уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется обычно на основе простых процентных ставок, для среднесрочных и долгосрочных – с помощью сложных процентных ставок.

Консолидация платежей

Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация (объединение) платежей. Пусть платежи S1, S2 ..., Sm со сроками n1, n2 ..., nm заменяются одним в сумме S0 и сроком n0 . В этом случае возможны две постановки задачи: если задается срок n0 , то находится сумма S0 , и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа S0 , то определяется срок n0 . Рассмотрим обе постановки задачи.

Определение размера консолидированного платежа

В общем случае, когда n1 n0 nm , искомую величину находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей.

При применении простых процентных ставок получим

S0 S j 1 t ji Sk 1 t k i 1 ,

j k

где S j - размеры объединяемых платежей со сроками n j n0 , Sk - размеры платежей со сроками nk n0 ,

Для общего случая n1 n0 nm на основе сложных процентных ставок получим

S0 S j 1 i t j Sk 1 i tk .

Определение срока консолидированного платежа

Если при объединении платежей задана величина консолидированного платежа S0 , то возникает проблема определения его срока n0 . В этом случае

уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей.

15

Введем обозначения:

S - наращенная сумма денег, измеренная по номиналу, С - наращенная сумма с учетом ее обесценения,

I p - индекс цен.

.

Индекс цен в контексте инфляции часто называют индексом-

дефлятором.

Под темпом инфляции h понимается относительный прирост цен за период, обычно он измеряется в процентах и определяется как

h 100(I p 1) .

Например, если темп инфляции за период равен 20%, то это означает, что цены выросли в 1,2 раза.

Инфляция является цепным процессом. Следовательно, индекс цен за несколько периодов равен произведению цепных индексов цен

где ht - темп инфляции в периоде t .

Если темп инфляции – величина постоянная в течение n периодов, то

,

если используется средний темп инфляции , то

.

Грубейшей ошибкой, которая, к сожалению, часто встречается на практике, является суммирование темпов инфляции отдельных периодов для получения обобщающего показателя инфляции за весь срок, что существенно занижает величину получаемого показателя.

Средний темп инфляции определяется по формуле:

17

.

Вернемся к проблеме обесценения денег при их наращении. Если наращение производится по простой ставке, то наращенная сумма с учетом изменения покупательной способности денег равна

Т.о. наращение с учетом инфляционного обесценения денег имеет место только тогда, когда 1 ni I p , т.е. множитель наращения превышает индекс цен.

Обратимся теперь к наращению по сложным процентам. Наращенная сумма с учетом инфляционного обесценивания определяется следующим образом

Величины, на которые умножаются Р в двух последних формулах,

представляют собой множители наращения, учитывающие ожидаемый уровень инфляции.

Определим ставку, компенсирующую влияние инфляции –

критическую ставку :

где - индекс цен за n периодов.

Ставку, превышающую критическое значение i′, называют

положительной ставкой процента.

Владельцы денег, разумеется, не хотят мириться с их инфляционным обесценением и предпринимают различные попытки компенсации потерь. Наиболее распространенной является корректировка ставки процента, по которой производится наращение, т.е. увеличение ставки на величину так

18

называемой инфляционной премии. Итоговую величину можно назвать

брутто-ставкой.

Определим брутто-ставку (обозначим ее r) при условии полной компенсации инфляции.

При наращении по сложной процентной ставке находим бруттоставку из равенства

где - средний темп инфляции за период.

На практике скорректированную по темпу инфляции ставку часто рассчитывают проще

r i 100h .

Предпоследняя формула по сравнению с последней содержит один дополнительный член, которым при незначительных величинах i и h можно пренебречь. Если же они значительны, то ошибка (не в пользу владельца денег) станет весьма ощутимой.

При наращении по простым процентам имеем

r 1 ni I p 1 , n

где I p - индекс цен за учитываемый период.

Очевидно, что при больших темпах инфляции корректировка ставки имеет смысл только для краткосрочных или, в крайнем случае среднесрочных операций.

Теперь перейдем к измерению реальной доходности финансовых операций, т.е. доходности с учетом инфляции. Если r - объявленная норма доходности (или брутто-ставка), то реальный показатель доходности в виде годовой процентной ставки i можно определить при наращении сложных процентов следующим образом

Если брутто-ставка определяется по упрощенной формуле, то

19

i r 100h .

Аналогичный показатель, но при начислении простых процентов, находим как

Как видим, реальная доходность здесь зависит от срока операции. Положительная простая ставка i может быть только при условии, что

1 nr I p .

6. Постоянные финансовые ренты

Виды потоков платежей и их основные параметры

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени, например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций и т.д. Такого рода последовательность платежей называют потоком платежей. Отдельный элемент такого ряда платежей называется членом потока.

Классификация потоков

Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. Члены потоков могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными величинами (выплаты).

Поток однонаправленных платежей с одинаковыми временными интервалами между платежами называют финансовой рентой или просто рентой. Например, рентой является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д.

Часто финансовые ренты называют аннуитетами. Исторически сначала в качестве аннуитета рассматривались ежегодные поступления (anno

– год (лат.)). В дальнейшем аннуитетами стали называть поступления и с другими равными периодами.

Рента описывается следующими параметрами:

член ренты – размер отдельного платежа, период ренты – временной интервал между двумя последовательными

платежами,

20