Учебно-методическое пособие по дисциплине Основы финансовых вычислений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра экономики связи

Учебно-методическое пособие по дисциплине

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

для студентов-заочников 2 курса

(направления: 38.03.01, 38.03.02)

Москва 2016

План УМД на 2016/2017 уч.г.

Учебно-методическое пособие по дисциплине

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Составитель Ю.В.Устинова, к.э.н.

Издание стереотипное. Утверждено на заседании кафедры.

Рецензент О.И.Шаравова, к.э.н, доцент

2

1. Наращение и дисконтирование

Учет фактора времени в финансовом анализе

Система финансов построена на основе теории временнóй стоимости денег. Теория временнóй стоимости денег – концепция, основанная на том, что деньги должны приносить процент; ценность денег, имеющихся в данный момент, выше, чем ценность той же суммы, которая будет получена в будущем.

Соответственно, неотъемлемой составляющей финансового анализа является учет фактора времени. В практических финансовых операциях суммы денег вне зависимости от их назначения или происхождения обязательно связываются с конкретными моментами или периодами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность выплат. Вне времени нет денег. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда даже и большую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования, кредитования и инвестирования и выражается в принципе неравноценности денег,

относящихся к разным моментам времени, т.е. «время – деньги».

Одинаковые суммы денег «сегодня» и «потом» оцениваются поразному. Сегодняшние деньги приравниваются к возросшей денежной массе в будущем и, наоборот, вместо денег «потом» можно согласиться на уменьшенные выплаты, но сейчас.

Неравноценность двух одинаковых по абсолютной величине разновременных сумм определяется следующим:

во-первых, имеющиеся сегодня деньги могут быть инвестированы и принести доход в будущем (полученный доход в свою очередь реинвестируется и т.д.), т.е. возможностью использования денег как приносящего доход финансового актива;

во-вторых, - неопределенностью будущего и связанным с нею риском. Деньги «в кармане» могут быть израсходованы на потребление сиюминутно. Сберегаемые же деньги подвержены всевозможным рискам в зависимости от способа сбережения. Если они хранятся на «домашнем депозите», им грозит обесценение из-за инфляции или потеря в результате ограбления, пожара и т.д.

В случае, когда деньги даются в долг, риск невозврата зависит от успешности кредитуемого мероприятия, которое может завершиться убытками и полным крахом. Поэтому возвращаемая сумма всегда должна быть больше заемной как с учетом срока ссуды, так и существующего риска потерь.

3

Очевидным следствием временной стоимости денег является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени, особенно при принятии решений финансового порядка. Их сравнение допустимо только при «приведении» таких сумм к одному моменту времени.

Наращение

Наращение – приведение денежных потоков (денежных сумм) к одному моменту времени в будущем.

Рассмотрим формулы расчета будущих сумм S по начальному вкладу Р.

В основе их построения лежит понятие единичного периода начисления (n=1) и процентной ставки i, которая фиксирует процентное увеличение исходной суммы Р за первый период. В результате сумма на конец этого периода времени составляет:

S1 P P i ,

где процентная ставка i измеряется десятичной дробью.

По отношению к следующим периодам начисления ставки процентов трактуются по-разному в зависимости от принятой схемы начисления: по простым или по сложным процентам. В первом случае приросты денежных сумм для любого периода будут составлять все ту же долю i от первоначальной суммы Р. В результате наращенная за n периодов сумма составит величину

где n – срок в годах.

В отличие от простых для сложных процентов одна и та же ставка i берется для каждого последующего промежутка не от первоначальной суммы, а от результата предыдущего начисления, т.е. от суммы, наращенной на начало данного периода. Отсюда следует, что вклад Р при ставке сложного процента i через n периодов составит сумму

соответственно по простым и сложным процентам.

Т.о. последовательность наращенных сумм Sn в случае простых

процентов представляет арифметическую прогрессию, в то время как для сложных процентов прогрессия будет геометрической.

4

Выражения (1), (2) называют формулой простых и, соответственно, сложных процентов, а под процентными деньгами или, кратко, процентами понимают величину дохода (приращения денег)

In Sn P .

В финансовых вычислениях в случае меняющихся во времени процентных ставок используют следующие формулы

Дисконтирование

Дисконтирование – приведение всех денежных потоков (денежных сумм) к одному моменту времени в прошлом.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два вида дисконтирования – математическое дисконтирование и банковский учет. В

первом случае применяется ставка наращения, во втором – учетная ставка.

Математическое дисконтирование в определенном смысле является обратной задачей по отношению к процессу наращения.

Другим вариантом дисконтирования является учет векселей в банке, когда банк, принимая вексель от предъявителя, выдает ему обозначенную на векселе сумму до срока его погашения. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг (долговых обязательств).

При дисконтировании исходной величиной выступает не начальный вклад Р, а некоторая будущая сумма S. Вопрос состоит в том, чтобы определить эквивалентную сумму Р, отстоящую на n периодов до срока выплаты S.

Существует два подхода к расчету предшествующих сумм.

Во-первых, по размеру вклада Р, который при начислении процентов через n периодов дает сумму S (математическое дисконтирование), и,

во-вторых, по размеру платежа, к которому придем при удержании процентов с финальной суммы S за n периодов (банковский учет).

Т.о. при одном толковании за базовую величину, т.е. за 100%, принимается размер вклада Р, в то время как при другом – за 100% берется

5

В отличие от этого при учете по сложной ставке последовательные по периодам снижения берутся как один и тот же процент d, но не от одной и той же величины S, а каждый раз от новой, полученной в результате дисконтирования на соседний период. Отсюда следует формула дисконтирования (учета) по сложным процентам, где в качестве процента выступает доля удержания d

простой и сложной учетной ставке.

Схема дисконтирования по процентной ставке (3), (4) широко применяется для сравнения потоков платежей и при расчете стоимости облигаций и других ценных бумаг.

Дисконтирование по учетной ставке (5), (6) используется при учете векселей.

Суть данной финансовой операции состоит в следующем. Некто выдает вексель (расписку) с обязательством уплатить сумму S на определенную дату Т. Владелец векселя в случае нужды может досрочно учесть его, т.е. получить деньги раньше срока в коммерческом банке по установленной последним учетной ставке d, которая уменьшает сумму выплаты. В зависимости от принятых условий учет проводится по простым (5) или по сложным (6) процентам.

Такой вексель, который допускает участие третьих лиц, называется переводным или траттой. В дальнейшем, на дату Т, банк предъявляет вексель тому, кто его выписал, и получает сумму S.

Отметим, что такой известный инструмент кредитно-денежной политики, как учетная ставка Центрального Банка, используется им по большей части не только для переучета векселей коммерческих банков, сколько для взыскания с них платежей по коммерческим кредитам. Подобная практика использования учетной ставки, существующая во многих странах, сложилась исторически.

Учетная ставка – ставка процента, под который ЦБ страны предоставляет кредиты коммерческим банкам. В практике РФ применяется термин «ставка рефинансирования».

Учетная ставка – учетный процент, взимаемый банком с суммы векселя при покупке его банком до наступления срока платежа.

7

Наращение по учетной ставке

Простая учетная ставка

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы (например, при определении суммы, которую нужно проставить в векселе, если задана текущая сумма долга).

Наращенная сумма определяется

.

бесконечно большим числом. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современная величина больше нуля.

Сложная учетная ставка

Наращенная сумма определяется

.

Показатели операций наращения и дисконтирования

Ставка – показатель, представляющий собой отношение приращения исходной суммы (процентных денег) к базовой величине, в качестве которой можно выбрать либо Р, либо S.

Если в качестве базовой величины выступает исходная сумма, то речь идет о процентной ставке:

.

Если в качестве базовой величины выступает наращенная сумма, то речь идет об учетной ставке:

.

Процентная и учетная ставки взаимосвязаны

Процентная и учетная ставки соотносятся между собой следующим образом:

.

8

Степень расхождения между процентной и учетной ставками зависит

Кроме процентной и учетной ставок применяется т.н. дисконт-

фактор:

.

Дисконт-фактор показывает, какую часть исходная сумма составляет в будущей сумме.

Между процентной, учетной ставками и дисконт-фактором существует соотношение

.

Применяется также индекс роста исходной суммы

.

Индекс роста показывает, во сколько раз увеличилась исходная сумма за период наращения.

2.Номинальная и эффективная ставки

Всовременных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой сложных процентов

Sn P(1 i)n .

Параметр n в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой i следует понимать ставку за соответствующий период. Например, при поквартальном начислении процентов за 5 лет общее число периодов начисления составит 5×4=20. Множитель наращения по квартальной (сложной) ставке 8% равен в этом случае 1,0820 4,6609 . На практике, как правило, в контрактах обычно фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка, и одновременно указывается период начисления процентов. Например, «18% годовых с поквартальным начислением процентов».

Пусть годовая ставка равна j, число периодов начисления в году – m. Т.о. каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют

9

номинальной. Формулу приращения теперь можно представить следующим образом:

где N – общее количество периодов начисления.

Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

Введем теперь новое понятие – действительная или эффективная процентная ставка. Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Т.о. эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу

Эффективная ставка при m 1 больше номинальной. Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Отсюда следует, что разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну величину.

По аналогии с наращением, дисконтирование может производиться не один, а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке f/m. В этом случае

где f – номинальная учетная ставка.

10