Теория групп. Практикум

УДК 512,54

Р 98

Ряднов А.В., Меренкова Т.В., Трубаев В.В.

Теория групп: Практикум. – М.: РУТ (МИИТ), 2020.

– 52 с.

Данный практикум по теории групп ставит своей целью помочь студенту самостоятельно овладеть методами решения задач по теории групп (части курса "Алгебра") по темам: определение группы, подгруппы, циклические группы, гомоморфизмы групп и факторгруппы. В каждом параграфе даны краткие теоретические сведения. Приводятся также подробно решения типовых задач с пояснениями методов их решения. Все задачи являются типовыми, и ознакомление с ними позволяет студенту при самой минимальной помощи со стороны преподавателя овладеть основными методами решения задач данного раздела. Приведены задачи для упражнений.

Практикум предназначен для студентов первого и второго курсов ИТТСУ РУТ по специальности защита информации.

© РУТ (МИИТ), 2020

Содержание

§1 Понятие группы. Подгруппы. Порядок элемента группы. Подстановки …………………………………. 4 §2 Циклические группы ……………………………… 14 §3 Гомоморфизмы групп …………………………….. 25 §4 Подгруппы и смежные классы. Нормальные подгруппы. Факторгруппа. Теоремы о гомоморфизмах

……………………………………….…………………. 35

§5 Контрольные работы ……………………………… 46 Список литературы …………………………………51

3

§1 Понятие группы. Подгруппы. Порядок элемента группы

Бинарной алгебраической операцией на множестве M называется любое отображение *: × → . Результат применения операции * к паре элементов a, b из M будем обозначать а * b.

Операция * на множестве M называется ассоциативной, если для любых элементов , , выполняется равенство

(a * b) * c = а * (b * с).

Операция * на множестве M называется коммутативной, если для любых элементов , выполняется равенство

а * b = b * а .

Определение. Множество G с заданной на нем бинарной операцией*: × → называется группой, если

1)операция * ассоциативна;

2)в G существует нейтральный элемент, т.е. такой элемент e , что e * g = g * e = g для любого g ;

3)для любого g существует обратный элемент g-1 , т.е. такой элемент, что g * g-1 = g-1 * g = e.

Для того чтобы подчеркнуть, что множество G рассматривается как группа относительно операции *, обычно пишут (G, *).

Если операция в группе обозначается как +, то она называется сложением, нейтральный элемент обозначается 0 и называется нулем, обратный элемент к g обозначается -g и называется противоположным к g. Обычно операцию в группе называют умножением и обозначают знаком •, нейтральный элемент называют единичным элементом или единицей группы.

4

Вдальнейшем мы будем придерживаться таких обозначений.

Если операция в группе коммутативна, то группу G

называют коммутативной или абелевой. Мощность группы G называется порядком группы и обозначается через |G|.

Влюбой группе существует единственный единичный элемент. Для любого элемента группы существует единственный обратный элемент. Отметим, что

(а • b)-1 = b-1 • а-1 (именно в таком порядке).

Определение. Пусть (G, •) - группа. Непустое подмножество H в G называется подгруппой, если H является группой относительно операции •. Иными словами, H является подгруппой, если выполнены следующие условия:

1)H замкнуто относительно операции • (то есть а • b для любых а, b );

2)H замкнуто относительно взятия обратного элемента (то есть а-1 для любого а ).

Рассмотрев любой элемент a , получим из свойств

1), 2), что а • а - 1 = e . Т.е любая подгруппа содержит единицу группы G.

Условия 1), 2) можно заменить на одно: а • b-1 для любых а, b .

Подмножество H = {e} и сама группа G всегда являются подгруппами в G .

5

Упражнения

Задача 1.1. Выяснить, какими свойствами обладает

операция * на множестве M, если а) M = N, x * y = x y ;

б) M = N, x * y = НОД(х,у); в) M = N, x * у = 2xy;

г) M = Z, x * у = x — y;

д) M = Z, x * y = x2 + y2;

е) M = R, x * y = sin(x) sin(y);

ж) M = R*, x * y = , где R* = R\{0}; 3) M = R×R, (x, y) * (а, b) = (x, b).

Задача 1.2. Какие из указанных числовых множеств с операциями являются группами:

а) (G, +), где G = N, Z, Q, R, C;

б) (G, •), где G = N, Z, Q, R, C;

в) (G*, •), где G = N, Z, Q,R, C (здесь G* = G\{0});

г) (nZ, +), где n N;

д) ({-1,1}, •);

е) ({аn|n Z}, •), где а R и а≠0; ж) (T1, •), где T1 = {z C| |z| = 1}; з) ({z C| |z| > 1}, •).

Задача 1.3. Доказать, что [0,1) с операцией , где

а b = {а + b} -дробная часть числа + , является группой.

Задача 1.4. Доказать, что пары (а, b) вещественных чисел, а≠0, составляют группу относительно операции

(а, b)(c, d) = (ас, ad+b).

6

Задача 1.5. Пусть (G, • ) - группа. Доказать, что G является группой относительно операции * ,

где а * b = b • а.

Задача 1.6. Какие из указанных множеств квадратных вещественных матриц фиксированного порядка образуют группу:

а) множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно сложения; б) множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно умножения;

в) множество невырожденных матриц относительно сложения; г) множество невырожденных матриц относительно умножения;

д) множество матриц с фиксированным определителем d относительно умножения;

е) множество диагональных матриц относительно сложения; ж) множество диагональных матриц относительно умножения;

з) множество диагональных матриц, у которых все элементы на главной диагонали отличны от нуля,

где λ – фиксированное вещественное число, относительно умножения;

7

м) множество матриц

Q8={± (10 01) , ± (−01 −01) , ± (−0 0)}

относительно умножения?

Задача 1.7. Доказать, что множество функций вида

= ++ , где , , , R и − ≠ 0, является группой относительно композиции функций.

Задача 1.8. Доказать, что если x2 = e для любого элемента группы G, то G абелева.

Задача 1.9. Для каждой из групп в задачах 1.2. и 1.6. приведите пример какой-либо подгруппы.

Задача 1.10. Доказать, что во всякой группе пересечение любого набора подгрупп является подгруппой.

Задача 1.11. Найти две подгруппы в группе из задачи

1.4.

Задача 1.12. Найти все подгруппы

а) в четверной группе Клейна; б) в S3; в) в A4 .

Задача 1.13. Доказать, что каждое из указанных множеств является группой. Указать нейтральный элемент. Какой элемент является обратным (противоположным)?

8

a)множество симметрических матриц относительно сложения;

b)множество невырожденных матриц относительно умножения;

c) множество матриц с определителем относительно умножения;

d)множество диагональных матриц относительно сложения;

e)множество диагональных матриц относительно умножения, если все элементы диагонали отличны от нуля;

f)множество всех ортогональных матриц относительно умножения;

относительно умножения

i) множество всех четных подстановок;

j) множество конечных произведений транспозиций; к) множество всех подстановок, оставляющих на месте символы 1 и 2;

l) множество всех подстановок, которые символы 1, 2, 3 переводят только в эти символы;

m) множество степеней данного вещественного числа с целыми показателями относительно умножения;

9

n)множество всех комплексных корней фиксированной степени из 1 относительно умножения;

o)множество комплексных корней всех степеней из 1 относительно умножения; р) множество комплексных чисел, модуль которых

равен 1 относительно умножения;

q)множество верхних треугольных матриц относительно умножения с определителем, отличным от 0.

Задача 1.14. Доказать, что указанные ниже множества не являются группами. Какое условие не выполнено?

a)множество всех нечетных подстановок;

b)множество симметричных матриц относительно умножения;

c)множество невырожденных матриц относительно сложения:

d)множество диагональных матриц относительно умножения;

e)множество верхних треугольных матриц относительно умножения;

f)множество матриц с определителем равным 3 относительно умножения;

g)множество подстановок на 5 символах оставляющих на месте ровно 2 символа;

h)множество подстановок, переводящих символ 1 в символ 2;

i)множество комплексных чисел относительно умножения если их модуль равен 2;

j)множество комплексных корней из 1 степени 2 или 3 относительно умножения; к) множество нижних треугольных матриц с

определителем, не равным 0, относительно умножения;

10