Теория групп. Практикум

Задача 4.8. В факторгруппе Q/Z найти наименьший неотрицательный представитель и порядок смежных классов:

Задача 4.9. Доказать, что подгруппа, индекс которой есть наименьший простой делитель порядка группы, нормальна.

Задача 4.10. Доказать, что в факторгруппе Q/Z а) каждый элемент имеет конечный порядок;

б) для каждого n N существует единственная подгруппа порядка n.

Задача 4.11. Найти все подгруппы:

a)аддитивной группы всех целых чисел;

b)мультипликативной группы целых степеней числа a R , a 0 , a 1;

c)группы комплексных корней степени n из 1 если: n 7 , n 8 , n 12 , n 25 ;

d)циклической группы Сn , если n 5 , n 6 , n 24 .

Задача 4.12. Доказать, что обратимые элементы кольца Zn образуют мультипликативную группу.

Задача 4.13. Описать мультипликативную группу кольца Zn и все её подгруппы, если:

n 5 , n 6 , n 12 , n 24 .

41

Задача 4.14. Найти смежные классы:

a)аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел кратных 6;

b)аддитивной группы чисел кратных 6 по подгруппе чисел кратных 36;

c)аддитивной группы действительных чисел по подгруппе целых чисел;

d)мультипликативной группы комплексных чисел по подгруппе чисел, модуль которых равен 1;

e)мультипликативной группы комплексных чисел по подгруппе положительных чисел;

f)мультипликативной группы комплексных чисел по подгруппе действительных чисел;

g)мультипликативной группы комплексных чисел по подгруппе целых гауссовых чисел, т.е чисел a bi , где a,b - целые.

Задача 4.15. Пусть G a - циклическая группа порядка n и H b , b ak - подгруппа в G. Описать смежные классы группы G по подгруппе H если:

a) n 12, k 3; b) n 24, k 4 ; c) n 12, k 7 ;

Задача 4.16. Определить все подгруппы и смежные классы по ним:

a) группы S3 ; b) группы A4 ;

c) группы подстановок Sn по знакопеременной группе An для любого n.

42

Задача 4.17. Пусть G – группа комплексных корней степени n из 1. H – Подгруппа корней степени k

( n делится на k ). Описать смежные классы группы G по подгруппе H, если:

a) n 9, k 3; b) n 24, k 3; c) n 10, k 5.

Задача 4.18. Описать смежные классы группы невырожденных матриц порядка nxn с действительными элементами GL n, R по подгруппе:

a)матриц с определителем 1;

b)матриц, модуль определителя которого равен 1;

Задача 4.19. Описать смежные классы аддитивной группы матриц размерности 3x3 с действительными элементами по подгруппе:

a) матриц у которых все элементы первой строки равны 0;

b)матриц у которых a11 0 ;

c)матриц у которых a11 a12 a31 0 ;

d)матриц у которых элементы первого столбца одинаковые.

Задача 4.20. Описать смежные классы аддитивной группы всех многочленов степени не больше n по подгруппе многочленов степени не выше k, если:

a) n 4, k 3; b) n 2, k 1; c) n 4, k 0 .

43

Задача 4.21. Доказать, что подгруппа H нормальная в группе G, если:

a)G – аддитивная группа целых чисел. H – подгруппа чисел кратных фиксированному числу m;

b)G – аддитивная группа матриц размерности 2x3 с действительными элементами. H – подгруппа матриц, у которых равны элементы первого столбца

c)G GL n, R , H A G : det A 1 SL n, R -

специальная линейная группа

d)G GL n, R , H A G det A 1 ;

e)G Sn , H An ; f) H подгруппа индекса 2 в G;

g)G A4 , H i, j k,l все индексы различны ;

h)G S4 , H та же, что и в g)

Задача 4.22. Описать факторгруппу группы G по подгруппе H, если:

a)G – аддитивная группа целых чисел, H – подгруппа чисел кратных n;

b)G – аддитивная группа действительных чисел,

H– подгруппа целых чисел;

a)G – аддитивная группа комплексных чисел,

H– подгруппа целых гауссовых чисел;

d) G – аддитивная группа матриц размерности 2x2, H – подгруппа матриц, у которых a11 0 ;

44

e)G – то же самое, что d, H подгруппа матриц, у которых первый столбец нулевой;

f)G – то же самое, что d, H подгруппа матриц, у которых элементы первой строки совпадают;

g)G – мультипликативная группа комплексных чисел, H подгруппа положительных чисел;

h)G – то же, что d, H подгруппа чисел, модуль которых равен 1;

i)G – то же, что d, H подгруппа корней степени 4 из единицы;

j)G – аддитивная группа чётных чисел, H подгруппа чисел кратных 8;

k)G C24 - циклическая группа порядка 24, H подгруппа

порядка 6;

l)G – группа корней степени 10 из единицы, H 1, 1 ;

m)G Sn , H An ;

n)G A4 , H i, j k,l четверная группаКлейна .

45

§5. Контрольные работы

1.Докажите, что множество G с указанной операцией является группой.

2.Докажите, что подмножество H G является подгруппой.

3.Докажите, что подмножество H является нормальным делителем в G.

4.Опишите классы факторгруппы G/H и операцию в ней.

5.Опишите гомоморфизм группы G на факторгруппу G/H.

6.Какой группе изоморфна факторгруппа G/H?

(Последний вопрос не всегда имеет конкретный ответ)

Ниже приводится 30 вариантов контрольной работы.

1.G - комплексные числа, не равные нулю, операция - умножение.

H - комплексные числа с модулем, равным 1.

2.G - комплексные числа, не равные нулю, операция - умножение.

H - вещественные числа, не равные нулю.

3.G - комплексные числа, не равные нулю, операция - умножение.

H - комплексные числа с аргументами вида 2 k/6.

46

4. G - комплексные числа с аргументами вида

2 k/6, операция – умножение. H - корни степени 6 из единицы.

5 . G= Z2x2 - целочисленные матрицы порядка 2, операция - сложение.

6. G= Z2x2 - целочисленные матрицы порядка 2, операция - сложение.

7. G = Z2x2 - целочисленные матрицы порядка 2, операция – сложение.

8. G = Z2x2 - целочисленные матрицы порядка 2, операция - сложение.

9. G = Z2x2 - целочисленные матрицы порядка 2, операция - сложение.

10. G = Z2x2 - целочисленные матрицы порядка 2, операция - сложение.

11. G = Z2x2 - целочисленные матрицы порядка 2, операция - сложение.

12. G = Z2x2 - целочисленные матрицы порядка 2, операция - сложение.

13. G = Z2x2 - целочисленные матрицы порядка 2, операция - сложение.

14. G = Z2x2 - целочисленные матрицы порядка 2, операция - сложение.

15. G = Z2x2 - целочисленные матрицы порядка 2, операция - сложение.

16. G = Z2x2 - целочисленные матрицы: порядка 2, операция - сложение.

17.G - комплексные невырожденные матрицы, операция - умножение.

H – унимодулярные матрицы (их определители равны ±1).

18.G - вещественные невырожденные матрицы, операция - умножение.

H – унимодулярные матрицы (их определители равны ±1).

19.G - вещественные невырожденные матрицы, операция - умножение.

H – матрицы с положительным определителем.

48

20. G - комплексные невырожденные матрицы, операция - умножение.

H – матрицы с положительным определителем. 21 . G – вещественные матрицы с положительным определителем, операция – умножение.

Н – матрицы с определителем равным 1.

22.G - комплексные невырожденные матрицы, операция – умножение.

Н – матрицы, у которых модуль определителя равен 1.

23.G - невырожденные треугольные матрицы вида

Н – матрицы, у которых а с>0.

27. G – трехкомпонентные арифметические векторы, операция сложение.

Н – векторы, у которых сумма компонент равна 0.

49

28.G – комплексные числа, операция – сложение. Н – вещественные числа.

29.G – целочисленные векторы вида (x,y), операция

– сложение.

Н – векторы вида (3x,4y).

30.G – комплексные числа с модулем равным 1, операция – умножение.

Н – корни степени 6 из единицы.

50