Надежность механических систем. Учебно-методическое пособие

2.4. Расчет надежности механических систем

элементов (узлов и деталей) Р1, Р2, …, Рn, в зависимости от структуры соединения этих элементов используются следующие модели расчета вероятности РS безотказной работы всей системы:

– при последовательном соединении элементов

– при параллельном соединении элементов, в том числе с целью их резервирования,

– при смешанном (комбинированном) соединении элементов – сочетания выражений (2.16) и (2.17).

Нетрудно увидеть, что при последовательном соединении элементов (с учетом для любого элемента Рi ≤ 1) надежность сложной системы не превосходит надежности наименее надежного элемента и в целом снижается при увеличении количества элементов. Параллельное соединение элементов, втом числе сцелью резервирования, существенно повышает надежность системы, но при этом и усложняет ее.

Для приближенной оценки надежности механической системы часто используют экспоненциальный закон распределения времени между отказами. Тогда в соответствии с основным уравнением теории надежности (2.14) для системы с последовательным соединением элементов будем иметь

ность отказов элементов.

Так, средние значения интенсивностей отказов l составляют: для одноступенчатых редукторов 0,2 10–6 ч–1, для подшипников качения l,5× 10–6 ч–1; для ременных передач 15× 10–6 ч–1.

Пример 3. Определить ожидаемую вероятность безотказной работы одноступенчатого цилиндрического редуктора, элементы кинематической цепи которого соединены последовательно и имеют следующие вероятности безотказной работы: входной быстроходный вал – P1 = 0,999; шариковые подшипники для этого вала – Р2 = Р3 = 0,9995; шестерня – Р4 = 0,999; шпоночное

21

Глава 2. Работоспособность машин

соединение – Р14 = 0,999; выходной тихоходный вал – Р5 = 0,999; шариковые подшипники для этого вала – Р6 = Р7 = 0,9995; колесо – P8 = 0,999; шпоночное соединение – P58 = 0,999; картерное масло – Р9 =Решение0,99995; корпус редуктора – Р10 = 1.

РS = Р1 Р2 Р3 Р4 Р14 Р5 Р6 P7 Р8 Р58 Р9 Р10 ≈ 0,992.

Исходные данные для решения задач по расчету вероятности безотказной работы представлены в приложении (задачи № 1 и № 2).

2.5. Расчет надежности механических систем методом преобразования структурной схемы

При оценке надежности механизма или машины в целом с большим числом элементов расчет становится слишком громоздким из-за большого числа элементов. Задача упрощается для широкого класса систем механизмов с последовательно-параллельной структурой при использовании метода преобразования структурной схемы.

Например, электромагнитное реле состоит из якоря, двух обмоток и трех контактов. Будем считать, что реле работоспособно, если исправны якорь, одна из обмоток и один из контактов.

Втакомслучаеприменяютметодпреобразованияструктурнойсхемы (методсвертки),объединяяэлементывболеекрупныеблокииприменяя формулы расчета для элементарных схем надежности (рис. 2.2,а иб).

Рис. 2.2. Преобразования структурной схемы надежности

Для элементарных схем функции надежности соответственно

22

2.5.Расчет надежности механических систем методом преобразования...

Всхеме (рис. 2.3, а) объединим сначала в один блок элементы Э2, Э3 и Э4, Э5 (рис. 2.3, б). По формуле (2.20) получим:

Применяя формулу (2.19) к структуре (см. рис. 2.3, в), получим функцию надежности реле:

P = p1 p23 p456 = p (2 p0 − p02 )( p3 − 3 p2 + 3 p ).

Рис. 2.3. Элементарные структурные схемы надежности

Исходные данные для решения задач по расчету вероятности безотказной работы механизмов со смешанной структурной схемой представлены в приложении (задача № 3).

23

Глава 2. Работоспособность машин

2.6.Примеры расчета вероятностных количественных показателей надежности механических систем

Наиболее адекватно оценивают безопасность вероятностные количественные показатели, которые определены в ОСТ 32.17–92. Они имеют общий характер (применяются для любых систем, элементов и устройств) и могут определяться экспериментально, расчетным путем или с помощью моделирования.

Наработка до опасного отказа – наработка невосстанавливаемой системы от начала ее эксплуатации до возникновения первого опасного отказа.

Средняя наработка до опасного отказа Топ – математическое ожидание наработки невосстанавливаемой системы до первого опасного отказа.

Вероятность безопасной работы Pб(t) – вероятность того, что в пределах заданной наработки t опасный отказ системы не возникает. При этом предполагается, что в начальный момент интервала времени t система находится в исправном или работоспособном состоянии, но не находится в защитном состоянии. Это предположение естественно, так как не имеет смысла оценивать безопасность системы, которая в начальный момент времени неработоспособна. Данный показатель определяется по формуле

где Fоп(t) – функция распределения наработки до опасного отказа. Вероятность опасного отказа Qоп(t) – вероятность того, что в пре-

делах заданной наработки опасный отказ наступает хотя бы один раз:

Величины Pб(t) и Qоп(t) оценивают безопасность невосстанавливаемой системы до возникновения первого опасного отказа. При этом считается, что защитных отказов не было, поскольку при возникновении защитного отказа система больше не используется по назначению. Так как опасные отказы редки, то показатели Pб(t) и Qоп(t) удобно использовать и для оценки безопасности восстанавливаемых систем. В этом случае величины Pб(t) и Qоп(t) есть соответственно нижняя и верхняя оценки для соответствующих показателей

24

2.6. Примеры расчета вероятностных количественных показателей...

восстанавливаемых систем. Это объясняется тем, что при возникновении защитных отказов и последующем восстановлении системы надежность ее (а следовательно, и безопасность) в идеальном случае полностью восстанавливается.

Например, если в системе электрической централизации произошел защитный отказ реле (обгорание контакта, обрыв обмотки и др.), то это реле заменяют новым или исправным, ресурс которого считается равным ресурсу нового реле.

Интенсивность опасных отказов λоп(t) – условная плотность вероятности возникновения опасного отказа невосстанавливаемой системы, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник.

Рассмотрим вероятностный смысл интенсивности опасных отказов. Пусть система проработала безотказно в течение времени t, т. е. не имела опасных и защитных отказов. Тогда

где dz(t) – условная вероятность опасного отказа системы за время dt в предположении, что система проработала безотказно за период вре-

мени (0, t).

Если известны функция распределения Fоп(t) и ее плотность рас-

пределения fоп(t), то λ (t) = f (t) . (2.24)

Р (t)

Интенсивность опасных отказов – основная характеристика безопасности, с помощью которой рассчитывают остальные показатели.

где n(∆t) – число образцов системы, имевших опасный отказ за интервал времени ∆t; Nср – среднее число работоспособных образцов системы, не имевших опасных отказов в интервале ∆t (при условии, что образцы системы, которые имели защитный отказ, немедленно заменялись новыми).

25

Глава 2. Работоспособность машин

где Ni – число работоспособных образцов системы в момент времени t – ∆t/2; Ni+1 – число работоспособных образцов системы, не имевших опасных отказов к моменту времени t + ∆t/2.

Поскольку опасные отказы редки, то статистические эксперименты для определения величины λоп(t) необходимо проводить длительно, что практически невозможно. Реально в формуле (2.25) используют результаты наблюдений в процессе длительной эксплуатации системы, поэтому условием для вычислений по формуле (2.25) является то, что образцы системы, которые имели защитный отказ в интервале времени ∆t, заменялись новыми, что и происходит при эксплуатации. Это условие в экспериментах, не связанных с эксплуатацией, можно было бы не ставить, поэтому формула (2.25) дает верхнюю оценку величины λоп(t).

Пример 4. Электронное устройство непрерывно работает в течение t = 4300 ч. Число входящих в него элементов и режимы их работы приведены в табл. 2.1. Вычислить вероятность безотказной работы и среднюю наработку до отказа.

Решение. Определим интенсивность отказов системы:

n

λ (t) = ∑a j λ j (t) = nk ak λk + np a p λ p + n a λ +

j

+nn an λn = (24 0,09 0,36 + 21 0,04 0,71 + 9 0,54 0,25 +

+94 0,003 1)10−6 = 2,871 10−6 –1.

26

2.6. Примеры расчета вероятностных количественных показателей...

Определимсреднююнаработкудоотказаэлектронногоустройства:

Наработка до отказа – эквивалентный параметр для неремонтопригодного устройства. Поскольку устройство неремонтируемое, то это просто среднее время, которое проработает устройство до того момента, как сломается.

Определим вероятность безотказной работы:

P(t) = e−λct ,

P(4300) = e−2,871 10−6 −1 4300 = 0,987.

Определим вероятность отказа:

Q(4300) =1− 0,987 = 0,013.

Исходные данные для определения параметров надежности неремонтируемых изделий представлены в приложении (задача № 5).

Пример 5. В работе находится N0 = 5800 невосстанавливаемых объектов.Числоотказовподсчитывалосьчерезкаждые t часов.Данные об отказах приведены в табл. 2.2. Необходимо определить вероятность безотказной работы Р(Dti), частоту а(Dti) и интенсивность отказов λ(Dti) на каждом интервале и построить графики этих зависимостей от времени.

27

Глава 2. Работоспособность машин

Решение. Определим вероятность безотказной работы:

..........................................................................

P(2000) = 5800 − 502 = 0,913. 5800

Определим частоту отказов а(∆t):

..........................................................................

Определим интенсивность отказов на интервале ∆t – λ(∆t):

Результаты расчетов сведем в табл. 2.3.

Следует иметь в виду, что в таблице данные P(t) приведены для концов интервалов ∆ti, а данные для a(t) и λ(t) – для середины ин-

тервалов ∆ti.

По полученным значениям построим графики этих зависимостей от времени. Зависимость P(∆ti) представлена на рис. 2.4. Зависимости а = f(∆ti) и λ = f(∆ti) представлены на рис. 2.5.

28

2.6. Примеры расчета вероятностных количественных показателей...

Рис. 2.4. График зависимости P от t

Рис. 2.5. Графики зависимости а и λ от t

29

Глава 2. Работоспособность машин

Вычислим среднее время безотказной работы, предположив, что на испытании находились только те образцы, что отказали (N0 = 502):

+ 44 1100 + 46 1300 + 51 1500 + 56 1700 + 59 1900) / 502 = 1018,7 .

Полученное значение среднего времени безотказной работы является заниженным, так как опыт был прекращен после отказа 502 образцов из 5800, поставленных на испытание.

Исходные данные для решения задач по расчету вероятностных показателей в зависимости от продолжительности работы представлены в приложении (задача № 6).

2.7. Модели и методы оценки прочностной надежности при проектировании

Практически все модели и методы оценки прочностной надежности при проектировании основываются на выбранных моделях гружения и разрушения деталей машин.

Модели гружения деталей и узлов обычно представляют собой либо типовые модели, приводимые к наиболее распространенным расчетным схемам курса «Сопротивление материалов», либо специальные модели, формируемые в процессе испытаний и эксплуатации опытных образцов конструкций.

Модели разрушения используют в качестве критериев прочностнойнадежностиконструкционныхматериаловиэлементовконструкций и записывают в форме условий прочности. В расчетах деталей машин обычно используют три основные модели разрушения: статическую, малоцикловую и усталостную. Статическая модель разрушения используется в расчетах деталей машин при действии кратковременных или длительно действующих, но постоянных по величине и направлению больших сил. Модель малоциклового разрушения является основной для конструкций, работающих в течение 102–105 циклов нагружения. Наконец, модель усталостного разрушения используется в расчетах при числе циклов нагружения более 105.

К основным методам оценки прочностной надежности деталей машин относятся:

30