Математическая статистика. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Практикум
.pdf3. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
В каждом варианте требуется:
1.Написать вариационный ряд.
2.Построить эмпирическое распределение и гистограмму, разбив интервал изменения случайной величины на l равных интервалов.
3.Найтиточечныеоценкидляматематическогоожиданияидисперсии.
4.По виду гистограммы выбрать один из законов распределения и проверить по критерию Пирсона гипотезу о его согласованности с результатами наблюдений; проверить также какую-нибудь конкурирующую гипотезу.
Варианты индивидуальных заданий
В задании все значения случайных величин являются целочисленными. Это может быть результатом округления значений измеряемых непрерывных случайных величин, особенно в том случае, когда единица измерения является относительно мелкой, например при измерении износа осей и втулок, т.е. износа их диаметров в микронах (дискретные же случайные величины в некоторых случаях могут принимать только целочисленные значения или их значения могут быть приведены к целым числам).
№ |
Наблюдаемые значения |
№ |
Наблюдаемые значения |
вари- |
|
вари- |
|
анта |
|
анта |
|
1 |
13,15,20,12,11,35,17,38,23,27,24,3 |
2 |
24,23,47,50,32,21,60,20,23,43,25,3 |
|
9,22,25, |
|
4,40,27, |
|
36,18,16,23,14,27,24,26,18,37,23,1 |
|
24,52,23,24,22,31,26,32,43,28,42,2 |
|
4,39,27, |
|
5,24,30, |
|
13,22,33,31,18,35,24,14,23,34,37,1 |
|
20,25,41,32,30,28,20,22,25,31,62,2 |
|
2,11,11, |
|
4,31,27, |
|
23,13,34,25,15,23,13,17 |
|
24,22,35,43,24,34,23,21 |
3 |
17,12,15,23,40,11,13,12,32,21,18,1 |
4 |
15,24,23,17,10,20,20,21,10,17,31,1 |
|
6,12,13, |
|
8,19,19, |
|
14,22,16,23,12,18,36,16,17,14,24,2 |
|
25,13,15,24,23,27,33,14,13,24,13,2 |
|
3,27,24, |
|
1,16,18, |
|
18,13,25,51,27,29,12,22,17,19,14,1 |
|
23,32,24,27,20,17,18,30,15,10,11,1 |
|
2,11,10, |
|
6,12,14, |
|
11,13,12,12,14,27,51,35 |
|
11,14,12,17,19,10,24,32 |
5 |
35,37,22,47,13,24,33,21,46,49,26,2 |
6 |
18,33,42,48,12,10,50,44,30,32,37,2 |
|
0,34,30, |
|
5,28,34, |
|
34,47,24,50,28,39,42,28,36,34,26,4 |
|
30,33,26,14,18,26,25,29,28,34,40,2 |
41
|
7,49,28 |
|
8,28,37, |
|
24,23,45,22,44,21,31,32,43,28,49,2 |
|
33,35,24,38,31,27,26,21,39,44,24,1 |
|
1,32,49 |
|
4,21,28, |
|
27,13,21,45,49,24,45,32 |
|
30,37,33,44,35,25,37,14 |
7 |
54,30,66,70,55,48,49,50,51,46,47,5 |
8 |
44,48,52,36,39,33,21,40,4338,39,3 |
|
5,52,46, |
|
5,39,43, |
|
52,17,38,47,54,53,36,68,69,59,35,5 |
|
40,42,48,39,37,43,36,39,35,39,474 |
|
8,47,48, |
|
9,41,40, |
|
59,54,53,49,51,53,47,54,44,47,51,4 |
|
44,42,46,41,40,40,39,38,39,46,21,5 |
|
3,42,70, |
|
0,37,42, |
|
58,48,51,42,44,53,48,38 |
|
46,40,40,35,42,39,40,37 |
9 |
20,15,10,31,40,38,14,13,22,33,34,1 |
10 |
24,20,23,31,20,22,37,21,25,22,23,3 |
|
6,18,25, |
|
1,24,23, |
|
28,37,20,24,23,39,37,35,30,13,35,1 |
|
30,20,26,25,24,26,30,27,31,29,21,2 |
|
2,16,24, |
|
4,23,27, |
|
16,18,17,40,20,22,21,18,26,19,37,1 |
|
30,24,25,33,39,40,23,22,26,28,293 |
|
0,17,20, |
|
5,21,23, |
|
13,12,11,16,13,17,38,20 |
|
27,30,22,26,37,25,21,33 |
11 |
13,15,20,12,11,35,17,38,23,27,24,3 |
12 |
24,23,47,50,32,21,60,20,23,43,25,3 |
|
9,22,25, |
|
4,40,27, |
|
36,18,16,23,14,27,24,26,18,37,23,1 |
|
24,52,23,24,22,31,26,32,43,28,42,2 |
|
4,39,27, |
|
5,24,30, |
|
13,22,33,31,18,35,24,14,23,34,37,1 |
|
20,25,41,32,30,28,20,22,25,31,62,2 |
|
2,11,11, |
|
4,31,27, |
|
23,13,34,25,15,23,13,17 |
|
24,22,35,43,24,34,23,21 |
13 |
17,20,23,16,18,19,22,20,23,30,15,1 |
14 |
20,25,30,19,25,27,18,21,26,27,23,2 |
|
0,12,24, |
|
5,28,22, |
|
14,13,12,15,26,23,18,21,19,20,22,1 |
|
19,34,24,23,25,27,22,24,26,30,16,2 |
|
9,14,13, |
|
0,22,19, |
|
27,20,22,24,16,23,24,15,19,20,14,1 |
|
28,35,25,23,33,31,28,27,27,26,31,2 |
|
9,2423, |
|
6,23,18, |
|
15,19,20,14,13,19,23,26 |
|
31,18,27,23,27,19,34,20 |
15 |
30,27,24,25,15,19,22,18,25,17,23,2 |
16 |
13,15,20,12,11,35,17,3823,27,24,3 |
|
1,20,17, |
|
9,22,25, |
|
24,18,21,22,19,26,30,16,20,26,17,2 |
|
36,18,15,23,14,27,24,26,18,37,23,1 |
|
9,30,24, |
|
4,39,27, |
|
28,16,29,20,29,17,23,28,22,15,26,3 |
|
13,22,33,24,25,35,24,14,23,34,37,2 |
|
0,20,29, |
|
4,22,35, |
|
17,16,29,25,23,28,22,19 |
|
25,15,23,28,11,11,17,13 |
17 |
24,23,47,50,32,21,60,20,23,43,25,3 |
18 |
17,12,15,23,40,11,13,12,32,21,10,1 |
|
4,40,27, |
|
7,31,18, |
|
42,24,22,31,26,32,43,28,42,25,34,3 |
|
16,12,13,14,22,15,23,12,18,35,16,1 |
|
9,20,25, |
|
7,14,24, |
|
52,41,32,30,28,20,22,25,69,24,31,2 |
|
23,27,24,18,13,25,50,27,29,12,22,1 |
|
7,24,22, |
|
7,20,14, |
|
60,34,25,35,24,34,23,21 |
|
12,11,10,11,13,18,29,16 |
19 |
15,24,23,17,18,20,21,10,17,21,18,1 |
20 |
35,37,22,47,43,24,33,21,46,49,26,2 |
|
9,19,25, |
|
0,34,30, |
42
|
20,13,15,24,23,27,22,14,14,21,13,1 |
|
47,24,50,28,39,42,28,36,34,26,47,4 |
|
6,18,23, |
|
9,28,27, |
|
14,32,24,27,18,30,15,10,16,11,14,1 |
|
36,24,23,45,22,44,21,31,32,43,28,4 |
|
2,17,19, |
|
9,28,27, |
|
17,15,30,12,13,20,14,30 |
|
44,43,49,36,47,50,39,32 |
21 |
33,18,42,48,12,10,50,44,30,32,37,2 |
22 |
54,30,66,70,55,48,49,50,51,46,47,5 |
|
5,28,34, |
|
5,52,46, |
|
30,33,26,14,18,26,25,29,28,34,40,2 |
|
44,38,47,54,53,36,68,69,59,35,58,4 |
|
9,28,37, |
|
7,48,54, |
|
33,35,24,38,31,27,26,21,39,44,26,1 |
|
53,52,40,43,48,47,49,51,56,53,47,4 |
|
4,21,28, |
|
4,47,51, |
|
26,30,31,33,18,35,26,29 |
|
58,43,52,66,51,52,47,36 |
23 |
44,48,52,36,39,33,21,40,23,38,39,3 |
24 |
15,25,10,31,40,38,14,13,22,33,34,1 |
|
5,39,43, |
|
6,18,25, |
|
40,42,48,39,37,44,36,39,35,39,47,3 |
|
40,28,37,20,24,23,26,38,37,35,30,1 |
|
7,49,41, |
|
3,36,12, |
|
40,44,42,46,41,40,40,39,38,39,46,2 |
|
16,24,34,18,26,19,22,21,18,24,37,1 |
|
1,50,37, |
|
2,13,10, |
|
42,46,40,33,44,21,46,39 |
|
20,11,40,13,16,18,17,17 |
25 |
24,20,23,31,20,22,21,37,25,23,22,3 |
26 |
24,37,23,50,31,48,44,28,37,42,48,2 |
|
1,24,23, |
|
0,23,29, |
|
30,20,26,25,24,26,30,27,31,20,21,2 |
|
37,34,42,43,26,33,36,32,31,29,45,3 |
|
4,23,27, |
|
3,32,44, |
|
30,24,25,33,39,40,23,22,26,28,29,3 |
|
50,40,36,35,23,21,28,37,24,45,48,4 |
|
5,21,23, |
|
7,42,42, |
|
27,30,22,20,24,29,30,30 |
|
25,22,31,50,44,36,28,37 |
27 |
35,37,24,10,35,32,13,40,15,17,24,1 |
28 |
16,20,23,18,19,22,20,23,30,15,10,1 |
|
5,35,14, |
|
2,24,20, |
|
28,26,34,38,32,19,18,14,26,33,23,1 |
|
30,10,20,24,23,19,14,13,12,15,26,2 |
|
4,18,31, |
|
3,18,21, |
|
24,25,26,19,21,16,18,23,38,16,17,2 |
|
19,29,18,20,22,20,23,18,20,22,24,1 |
|
8,12,11, |
|
6,23,24, |
|
22,38,36,11,15,35,26,18 |
|
15,19,20,10,12,18,24,13 |
29 |
20,25,30,19,25,27,18,21,26,27,23,2 |
30 |
35,30,31,32,40,31,32,33,30,32,36,3 |
|
5,28,22, |
|
4,35,30, |
|
23,19,34,24,25,27,22,24,26,28,23,2 |
|
32,30,31,38,31,30,32,42,30,35,37,3 |
|
2,19,20, |
|
2,34,44, |
|
26,28,35,33,24,25,23,30,31,28,27,2 |
|
30,33,31,35,37,30,33,32,41,38,39,3 |
|
4,23,28, |
|
6,35,33, |
|
27,27,26,22,25,33,30,19 |
|
32,40,31,38,30,43,38,35 |
43
Литература
Карасев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика : теория вероятностей [Текст] : практикум / В.А. Карасев, Г.Д. Лёвшина. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2015.
Карасев, В.А.Теория вероятностей и математическая статистика : математическая статистика [Текст] : практикум / В.А. Карасев, Г.Д. Лёвшина. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2016.
44
Приложение 1
Основные законы распределения
1. Равномерный закон распределения
Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, если на интервале (a;b), которому принадлежат все возможные значения X, плотность распределения
f(x) сохраняет постоянное значение |
1 |
, а вне этого интервала рав- |
||||
|
b a |
|||||
на нулю: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
0, x a |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f x |
|
|
, a x b, |
|||
b a |
||||||
|
|
|
|
|||
0, x b |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
где a и b – параметры распределения.
f x
1
b a
|
a |
. |
|
. |
b |
x |
0 |
|
|
||||
|
График функции плотности |
|
||||
Функция распределения определяется по формуле
0, x a |
|
|||
|
x a |
|
||
|
|
|||
F x |
|
|
, a x b, |
|
b a |
||||
|
|
|||
1, x b |
|
|||
|
|
|
|
|
45
F x
1
|
|
|
|
|
0 |
a |
b |
x |
|
График функции распределения
Числовые характеристики определяются по формулам
M X a b – математическое ожидание; 2
D X b a 2 дисперсия;
12
X b2 3a среднее квадратическое отклонение;
P X |
|
|
вероятность попадания в интервал ; , |
|
b a |
|
|
2. Показательный закон распределения
Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается дифференциальной функцией (плотностью вероятности)
|
0, x 0 |
|
|
|
, где параметр распределения 0 . |
f x |
|
|
e x , x 0 |
|
|
|
|
|
f x
0 |
. . |
x |
|
График функции плотности
46
Функция распределения определяется по формуле
|
0, x 0, |
|
|
|
|
F x |
e x , |
x 0. |
1 |
||
|
|
|
F x
1
0 |
x |
|
График функции распределения
Числовые характеристики определяются по формулам
M X X 1 математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение;
D X 12 дисперсия;
P x e e – вероятностьпопаданиявинтервал ; .
3. Нормальный закон распределения
Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, дифференциальная функция (плотность вероятности) которой имеет вид
f x |
|
1 |
|
x m 2 |
||
|
e |
2 2 |
, |
|||
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|||
где m, – параметры распределения (т – математическое ожидание;среднее квадратическое отклонение).
47
f x
0 |
x m |
x |
График функции плотности
Функция распределения определяется по формуле
F x |
|
1 |
x x m 2 |
||
|
e |
2 2 |
dx. |
||
|
|
||||
|
|
2 |
|||
F x
1
1 2
0 |
m |
x |
|
|
График функции распределения
Числовые характеристики определяются по формулам
М(Х) = т – математическое ожидание; D X 2 дисперсия;
|
|
|
|
m |
|
m |
|
вероятность попадания в |
|||
P x |
|
|
|
|
|
||||||
интервал ; , |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где x |
1 |
|
x x2 |
|
|
|
|
|
|
||
e 2 |
dx функция Лапласа. |
||||||||||
|
|||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
48
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение 2 |
||
|
|
|
|
|
|
Значения функции Ф(х) |
|
|
|
||||||
Значения |
|
функции |
Лапласа |
(интеграла |
вероятностей) |
||||||||||
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
e u2 /2du. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица П2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Целые |
|
|
|
|
|
|
|
Сотые доли x |
|
|
|
|
|
||
и деся- |
|
0 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
тые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
доли x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0199 |
|
|
|
|
|
0,0 |
|
0,0000 |
0,0040 |
0,0080 |
0,0120 |
|
0,0160 |
0,0239 |
|
0,0279 |
0,0319 |
0,0359 |
|||
0,1 |
|
0,0398 |
0,0438 |
0,0478 |
0,0517 |
|
0,0557 |
0,0596 |
0,0636 |
|
0,0675 |
0,0714 |
0,0753 |
||
0,2 |
|
0,0793 |
0,0832 |
0,0871 |
0,0910 |
|
0,0948 |
0,0987 |
0,1026 |
|
0,1064 |
0,1103 |
0,1141 |
||
0,3 |
|
0,1179 |
0,1217 |
0,1255 |
0,1293 |
|
0,1331 |
0,1368 |
0,1406 |
|
0,1443 |
0,1480 |
0,1517 |
||
0,4 |
|
0,1554 |
0,1591 |
0,1628 |
0,1664 |
|
0,1700 |
0,1736 |
0,1772 |
|
0,1808 |
0,1844 |
0,1879 |
||
0,5 |
|
0,1915 |
0,1950 |
0,1985 |
0,2019 |
|
0,2054 |
0,2088 |
0,2123 |
|
0,2157 |
0,2190 |
0,2224 |
||
0,6 |
|
0,2257 |
0,2291 |
0,2324 |
0,2357 |
|
0,2389 |
0,2422 |
0,2454 |
|
0,2486 |
0,2517 |
0,2549 |
||
0,7 |
|
0,2580 |
0,2611 |
0,2462 |
0,2673 |
|
0,2703 |
0,2734 |
0,2764 |
|
0,2794 |
0,2823 |
0,2852 |
||
0,8 |
|
0,2881 |
0,2910 |
0,2939 |
0,2967 |
|
0,2995 |
0,3023 |
0,3051 |
|
0,3078 |
0,3106 |
0,3133 |
||
0,9 |
|
0,3159 |
0,3186 |
0,3212 |
0,3238 |
|
0,3264 |
0,3289 |
0,3315 |
|
0,3340 |
0,3365 |
0,3389 |
||
1,0 |
|
0,3413 |
0,3438 |
0,3461 |
0,3485 |
|
0,3508 |
0,3531 |
0,3554 |
|
0,3577 |
0,3599 |
0,3621 |
||
1,1 |
|
0,3643 |
0,3665 |
0,3686 |
0,3708 |
|
0,3729 |
0,3749 |
0,3770 |
|
0,3790 |
0,3810 |
0,3830 |
||
1,2 |
|
0,3849 |
0,3869 |
0,3883 |
0,3907 |
|
0,3925 |
0,3944 |
0,3962 |
|
0,3980 |
0,3997 |
0,4015 |
||
1,3 |
|
0,4032 |
0,4049 |
0,4066 |
0,4082 |
|
0,4099 |
0,4115 |
0,4131 |
|
0,4147 |
0,4162 |
0,4177 |
||
1,4 |
|
0,4192 |
0,4207 |
0,4222 |
0,4236 |
|
0,4251 |
0,4265 |
0,4279 |
|
0,4292 |
0,4306 |
0,4319 |
||
1,5 |
|
0,4332 |
0,4345 |
0,4357 |
0,4370 |
|
0,4382 |
0,4394 |
0,4406 |
|
0,4418 |
0,4429 |
0,4441 |
||
1,6 |
|
0,4452 |
0,4463 |
0,4474 |
0,4484 |
|
0,4495 |
0,4505 |
0,4515 |
|
0,4525 |
0,4535 |
0,4545 |
||
1,7 |
|
0,4554 |
0,4564 |
0,4573 |
0,4582 |
|
0,4591 |
0,4599 |
0,4608 |
|
0,4616 |
0,4625 |
0,4633 |
||
1,8 |
|
0,4641 |
0,4649 |
0,4656 |
0,4663 |
|
0,4671 |
0,4678 |
0,4686 |
|
0,4693 |
0,4699 |
0,4706 |
||
1,9 |
|
0,4713 |
0,4719 |
0,4726 |
0,4732 |
|
0,4738 |
0,4744 |
0,4750 |
|
0,4758 |
0,4761 |
0,4767 |
||
2,0 |
|
0,4772 |
0,4779 |
0,4783 |
0,4788 |
|
0,4793 |
0,4798 |
0,4803 |
|
0,4808 |
0,4812 |
0,4817 |
||
2,1 |
|
0,4821 |
0,4826 |
0,4830 |
0,4834 |
|
0,4838 |
0,4842 |
0,4846 |
|
0,4850 |
0,4854 |
0,4857 |
||
2,2 |
|
0,4861 |
0,4864 |
0,4868 |
0,4871 |
|
0,4875 |
0,4878 |
0,4881 |
|
0,4884 |
0,4887 |
0,4890 |
||
2,3 |
|
0,4893 |
0,4896 |
0,4898 |
0,4900 |
|
0,4904 |
0,4906 |
0,4909 |
|
0,4911 |
0,4913 |
0,4916 |
||
2,4 |
|
0,4918 |
0,4920 |
0,4922 |
0,4925 |
|
0,4927 |
0,4929 |
0,4931 |
|
0,4932 |
0,4934 |
0,4936 |
||
2,5 |
|
0,4938 |
0,4940 |
0,4941 |
0,4943 |
|
0,4945 |
0,4946 |
0,4948 |
|
0,4949 |
0,4951 |
0,4952 |
||
2,6 |
|
0,4953 |
0,4955 |
0,4956 |
0,4957 |
|
0,4959 |
0,4960 |
0,4961 |
|
0,4962 |
0,4963 |
0,4964 |
||
2,7 |
|
0,4965 |
0,4966 |
0,4967 |
0,4968 |
|
0,4969 |
0,4970 |
0,4971 |
|
0,4972 |
0,4973 |
0,4974 |
||
2,8 |
|
0,4974 |
0,4975 |
0,4976 |
0,4977 |
|
0,4977 |
0,4978 |
0,4979 |
|
0,4979 |
0,4980 |
0,4981 |
||
2,9 |
|
0,4981 |
0,4982 |
0,4982 |
0,4983 |
|
0,4984 |
0,4984 |
0,4985 |
|
0,4985 |
0,4986 |
0,4986 |
||
3,0 |
|
0,49865 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3,2 |
|
0,49931 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
49
Окончание табл. П2
3,4 |
0,49966 |
3,6 |
0,499841 |
3,8 |
0,499928 |
4,0 |
0,499968 |
4,5 |
0,499997 |
5,0 |
0,499997 |
50