Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическая статистика. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

569 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Наименьшее значение варианты xmin							x1 3,3 , наибольшее зна-
чение		xmax xm 6,9 .				Длина	частичного	интервала
h	xm x1	6,9 3,3	0,6		. Расчеты приведены в табл. 2.5.
h	l	6,9 3,3	0,6		. Расчеты приведены в табл. 2.5.
	l	6
								Таблица 2.5

Номер		Частичный		Середина частичного			Сумма частот	Плотность
интервала i		интервал			интервала		вариант интервала	частоты ni
		[xi ; xi+1)			x*	x x		h
					x*	i i 1	ni n j	h
					i	2	ni n j
					i
							[xi ;xi 1)
1		[3,3; 3,9)				3,6	13	21,7
2		[3,9; 5,5)				4,2	8	13,3
3		[4,5; 5,1)				4,8	7	11,7
4		[5,1; 5,7)				5,4	7	11,7
5		[5,7; 6,3)				6,0	11	18,3
6		[6,3; 6,9)				6,6	14*	23,3
__________
* Интервалы [6,3; 6,9) и 6,9;						объединены.

2. Построим эмпирическую функцию распределения.

Для того чтобы построить эмпирическую функцию распределения

F xi nni ,

можно считать, что все значения непрерывной случайной величины, попавшие в интервал [xi ; xi+1), совпадают со значением xi :

F x0 P X 3,3 0 ;

F x	P X 3,9 13 0,217 ;
1	60

F x	P X 4,5 13 8	21 0,35 ;
2	60	60

F x	P X 5,1 21 7 28 0,467 ;
3	60	60

F x	P X 5,7 28 7	35 0,583 ;
4	60	60

F x	P X 6,3 35 11 46 0,767;
5	60	60

F x	P X 6,9		n nx 6,9		60 2 0,967 ;

6				n	60

F x P X 6,9 60 1.
Таким образом:		60

		0		при	x 3,3;
		0, 22		при	3,3 x 3,9;

				при	3,9 x 4,5;
	0,35
		0, 47		при	4,5 x 5,1;
		0,58		при	5,1 x 5,7;
	F x
	0,77			при	5,7 x 6,3;
				при	6,3 x 6,9;
	0,97
				при	x 6,9.
	1,00

Построим график эмпирической функции распределения (рис. 2.3) и гистограмму (рис. 2.4).

F(x)

1,00

0,97

0,77

0,58

0,47

0,35

0,22

3,3

3,9

4,5

5,1

5,7

6,3

6,9

Рис. 2.3. График эмпирической функции распределения к примеру 2

ni h

23,3

21,7

18,3

13,3

11,7

3,3

3,9

4,5

5,1

5,7

6,3

6,9

Рис. 2.4. Гистограмма к примеру 2

3. Рассчитаем точечные оценки для математического ожидания и дисперсии.

Найдём точечные оценки для интервального вариационного ряда. Расчёт приведен в табл. 2.6.

												Таблица 2.6

Номер интервала i				xi*				ni			ni xi*	ni (xi*)2
1				3,6				13			46,8	168,487
2				4,2				8			33,6	141,12
3				4,8				7			33,6	161,287
4				5,4				7			37,8	204,12
5				6,0				11			66,0	396,00
6				6,6				14			92,4	609,84
								60			310,2	1680,84
				x	l	ni xi*	310, 2
					i 1		310, 2			5,17 ;
						n		60		5,17 ;
						n		60
	1		l						1	1680,84 60 5,172
S 2	1	ni (xi* )2 n(x )2							1
S 2	n 1	ni (xi* )2 n(x )2
	n 1	i 1						59

17,10659 1,3069;

S S2 1,3069 1,143.

4. Выберем закон распределения и по критерию Пирсона проверим гипотезу о его согласованности с результатами наблюдений при уровне значимости 0,05 . По виду гистограммы – распределение

равномерное (прил. 1). Для этого:
1) оценим параметры	a и b	концы интервала, в котором на-
блюдались возможные значения X, по формулам
a* x S	3 5,17	3 1,143 3,19;
b* x S	3 5,17	3 1,143 7,15,

где a* и b* – оценки параметров;

2) найдём дифференциальную функцию (плотность вероятности) предполагаемого распределения

f x

;

b* a*

7,15

3,19

3,96

3) найдём теоретические вероятности

P1 f x x1 a*

3,9 3,19

0,1793;

3,96

... P

xi xi 1

0,6

0, 227

i 2; 3; 4; 5 ;

b* a*

3,96

b* x

7,15 6,3

l 1 ;

0, 2146.

b* a*

3,96

Для вычисления наблюдаемого значения критерия Пирсона набл2 составим расчётную табл. 2.7.

									Таблица 2.7
					n nP
Номер	Интер-	Час-	Гипотети-	Теорети-	n nP		ni nPi	2	ni nPi	2
интер-	вал	тота	ческаяверо-	ческая	i	i	ni nPi		ni nPi
вала i		ni	ятностьPi	частота nPi					nPi
1	[3,3; 3,9)	13	0,1794	10,758	2,242		5,0266		0,467
2	[3,9; 4,5)	8	0,1515	9,090	–1,090		1,1881		0,131
3	[4,5; 5,1)	7	0,1515	9,090	–2,090		4,3681		0,481
4	[5,1; 5,7)	7	0,1515	9,090	–2,090		4,3681		0,481
5	[5,7; 6,3)	11	0,1515	9,090	1,910		3,6481		0,401

						Окончание табл. 2.7

6	[6,3;6,9]	14	0,2146	12,876	1,124	1,2634	0,098
	–	60	1	–	–	–	набл2	2,059

4) сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k l 1 r 6 1 2 3 ,

так какравномерноераспределениезависитотдвух r 2 параметров. По табл. П3 (прил. 3) найдем критическую точку правосторонней

критической области кр2 0,952 3 7,8 .

Так как набл2 2,059 кр2 7,8 , то наблюдаемое значение набл2 меньше критического кр2 , следовательно, нет оснований отвергнуть

нулевую гипотезу о равномерном распределении генеральной совокупности

Рассмотрим конкурирующую гипотезу H1. Предположим, что полученное эмпирическое распределение случайной величины похоже на нормальное. Проверим гипотезу о нормальном распределении с

математическим ожиданием M X x 5,17 и средним квадрати-

ческим отклонением S 1,143 .

Вычислим гипотетические вероятности Pi попадания случайной величины в интервалы ai ; bi по формуле

P a x b b M X a M X ,

где x функция Лапласа.

Параметры распределения М(Х) и σ заменим на найденные их оценки:

P1 P x 3,9 3,9 5,17

1,1431,11 0,3665 0,5 0,1335;

P P 3,9	x 4,5	4,5 5,17	3,9 5,17
2		1,143		1,143
		1,143		1,143

0,59 1,11 0,2224 0,3665 0,1441;

P P 4,5	x 5,1	5,1 5,17 4,5 5,17
3		1,143		1,143
		1,143		1,143
0,06 0,59 0,0239 0,2224 0,1985;
P P 5,1	x 5,7	5,7 5,17	5,1 5,17
4		1,143		1,143
		1,143		1,143
0,46 0,06 0,1772 0,0239 0,2011;
P P 5,7	x 6,3	6,3 5,17	5,7 5,17
5		1,143		1,143
		1,143		1,143

0,99 0,46 0,3389 0,1772 0,1617;

P6 P 6,3 x 6,3 5,171,143

0,5 0,99 0,5 0,3389 0,1611.

Для определения набл2 составим табл. 2.8.

										Таблица 2.8
					n nP
Номер	Интервал	Час-	Гипотети-	Теоретиче-	n nP		n nP		2	n nP		2
интер-		тота	ческая ве-	ская частота	i	i	n nP			n nP
интер-		тота	ческая ве-	ская частота			i	i		i	i
вала i		ni	роятность Pi	nPi	4,99					nPi
1	(–∞; 3,9)	13	0,1335	8,01	4,99		24,900			3,109
2	[3,9; 4,5)	8	0,1441	8,646	–0,646		0,417			0,048
3	[4,5; 5,1)	7	0,1985	11,91	4,91		24,108			2,024
4	[5,1; 5,7)	7	0,2011	12,066	–5,066		25,664			2,127
5	[5,7; 6,3)	11	0,1617	9,702	1,298		1,685			0,174
6	[6,3; )	14	0,1611	9,666	4,334		18,783			1,943
					–
	–	60	1	–	–		–			набл2	9, 425

Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерияПирсона, принявчисло степеней свободы k l 1 r 5 1 2 2 ,

так как нормальное распределение зависит от двух r 2 параметров M(X) и . По табл. П3 (прил. 3) находим критическую точку правосторонней критической области кр2 0,952 2 5,99 .

Так как набл2 9,425 кр2 5,99 , то наблюдаемое значение набл2 превышает критическое значение кр2 . Это означает, что результаты

эксперимента не согласуются с гипотезой о нормальном распределении случайной величины.

Пример 3

Имеютсярезультаты50 измерений некоторойслучайнойвеличины: 38, 30, 34, 32, 40, 31, 10, 33, 24, 11, 35, 37, 35, 10, 12, 20, 31, 18, 21, 32, 22, 24, 33, 25, 37, 12, 13, 15, 16, 28, 16, 19, 17, 20, 23, 17, 34, 29, 26,

25, 28, 18, 15, 13, 14, 13, 22, 26, 24, 32.

Принять l = 5.

1. Составим вариационный ряд:

j		1	2		3	4	5	6	7	8	9	10	11	12		13	14	15	16	17	18	19		20
xi	10		11		12	13	14	15	16	17	18	19	20	21		22	23	24	25	26	28	29		30
ni		2	1		2	3	1	1	2	2	2	1	2	1		2	1	3	2	2	2	1	1
							22											26
j			21				22		23			24			25			26		27		28
xi			31				32		33			34			35			37		38		40
ni				2			3		2			2			2			2		1		2

ni 50 n .

Составим интервальный вариационный ряд (табл. 2.9).

Длина частичного интервала			h		xN x1		40 10 6 .
Длина частичного интервала			h				40 10 6 .
			5				5
									Таблица 2.9

Номер ин-	Частичный ин-	Середина частич-				Сумма частот вари-			Плотность
тервала i	тервал [xi ; xi+1)	ного интервала					ант интервала		частоты
		*		xi xi 1				n j	ni
		x					ni		h
		x	2
		i	2
		i
								[xi ;xi 1)
1	[10;16)		13,0					11	1,83
2	[16;22)		19,0					10	1,67
3	[22;28)		25,0					10	1,67
4	[28;34)		31,0					11	1,83
5	[34;40)		37,0					8*	1,33

___________

* Интервалы 34; 40 и 40; объединены.

2. Построим эмпирическую функцию распределения.

Для того чтобы построить эмпирическую функцию распределения

F xi nni ,

можно считать, что все значения непрерывной случайной величины, попавшие в интервал [xi; xi+1), совпадают со значением xi :

F xo P X 10 0 ;

F x	P X 16 11 0,22 ;
1		50
		50
F x	P X 22 11 10			21 0,42 ;
2			50	50
			50	50
F x	P X 28 21 10			31 0,62 ;
3			50	50
			50	50
F x	P X 34 31 11			42 0,84 ;
4			50	50
			50	50
F x5	P X 40 n nx 40				50 3 0,94 ;
		50	n		50
F x P X 40		50	1 .
Таким образом:		50
Таким образом:
			0	при	x 10;
				при	10 x 16;
		0,22		при	10 x 16;
				при	16 x 22;
	F x	0,42		при	16 x 22;
	F x	0,62		при	22 x 28;
		0,84		при	28 x 34;
				при	34 x 40;
		0,94		при	34 x 40;
				при	x 40.
		1,00		при	x 40.

Построим график эмпирической функции распределения (рис. 2.5)

игистограмму (рис. 2.6).

3.Рассчитаем точечные оценки для математического ожидания и дисперсии.

Найдём точечные оценки для интервального вариационного ряда:

			x	l	ni xi*
				i 1		,
					n	,
					n
где	x	xi xi 1	– серединные значения вариант в интервалах.
где	x		– серединные значения вариант в интервалах.
	i	2
		2

F(x)

1,00

0,94

0,84

0,62

0,42

0,22

Рис. 2.5. График эмпирической функции распределения к примеру 3

ni h

1,83

1,67

1,33

							x
0	10	16	22	28	34	40	x

Рис. 2.6. Гистограмма к примеру 3

x	1	11 13 10 19 10 25 11 31 8 37,0 122050						24,40 ;
x	50	11 13 10 19 10 25 11 31 8 37,0 122050						24,40 ;
		Dв*	l	ni (xi* )2	x	2
			i 1				;
				n			;
				n

Dв* 501 11 132 10 192 10 252 11 312 8 37224,42 3324250 595,36 69,48 .

Найдём исправленную выборочную дисперсию, которая служит несмещённой оценкой генеральной дисперсии:

S 2 nn 1 Dв* 5049 69,48 70,898 ;

70,898 8,42 .

4. Выберем закон распределения и по критерию Пирсона и проверим гипотезу о его согласованности с результатами наблюдений при уровне значимости 0,05 .

По виду гистограммы – распределение равномерное. Для этого: 1) оценим параметры a и b – концы интервала, в котором наблю-

дались возможные значения X, по формулам

a* x	3	в	24,4	3 8,42 9,816,
в		в
b* x	3		24,4	3 8,42 38,984,
в	в

где a* и b* – оценки параметров;

2) найдём дифференциальную функцию (плотность вероятности) предполагаемого распределения

f x

0,0343 ;

b* a*

38,984 9,816

3) найдём теоретические частоты

n1 nP1 n f x x

a* n

x1 a*

50 0,0343 16 9,816 10,6 ;

n2 n3 ... ns 1

xi xi 1

i 2, 3, 4,..., s 1 ;

b* a*

n2 n3 n4 50 0,0343 22 16

50 0,033 28 22 50 0,0343 34 28 10,3 ;

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

j		1	2		3	4	5	6	7	8	9	10	11	12		13	14	15	16	17	18	19		20
xi	10		11		12	13	14	15	16	17	18	19	20	21		22	23	24	25	26	28	29		30
ni		2	1		2	3	1	1	2	2	2	1	2	1		2	1	3	2	2	2	1	1
							22											26
j			21				22		23			24			25			26		27		28
xi			31				32		33			34			35			37		38		40
ni				2			3		2			2			2			2		1		2

j		1	2		3	4	5	6	7	8	9	10	11	12		13	14	15	16	17	18	19		20
xi	10		11		12	13	14	15	16	17	18	19	20	21		22	23	24	25	26	28	29		30
ni		2	1		2	3	1	1	2	2	2	1	2	1		2	1	3	2	2	2	1	1
							22											26
j			21				22		23			24			25			26		27		28
xi			31				32		33			34			35			37		38		40
ni				2			3		2			2			2			2		1		2

j		1	2		3	4	5	6	7	8	9	10	11	12		13	14	15	16	17	18	19		20
xi	10		11		12	13	14	15	16	17	18	19	20	21		22	23	24	25	26	28	29		30
ni		2	1		2	3	1	1	2	2	2	1	2	1		2	1	3	2	2	2	1	1
							22											26
j			21				22		23			24			25			26		27		28
xi			31				32		33			34			35			37		38		40
ni				2			3		2			2			2			2		1		2