Математическая статистика. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Практикум

4) сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k s 1 r 5 1 2 2 ,

так какравномерноераспределениезависитотдвух r 2 параметров. По табл. П3 (прил. 3) найдем критическую точку правосторонней

критической области кр2 0,952 2 5,99 .

Так как набл2 0,1066 кр2 5,99 , то наблюдаемое значение набл2 меньше критического кр2 , следовательно, нет оснований отвергнуть

нулевую гипотезу о равномерном распределении генеральной совокупности.

Рассмотрим конкурирующую гипотезу H1.

Предположим, что полученное эмпирическое распределение случайной величины похоже на показательное, сдвинутое на 10 единиц вправо по оси 0x. Получим несдвинутое показательное распределение, вычитая из всех членов вариационного ряда число 10, т.е. переходя от случайной величины xi к новой величине ui (табл. 2.11):

ui xi 10 .

wi 1.

31

Таблица 2.11

Среднее выборочное несдвинутого распределения u x 30 24,4 10 14,4 .

Если случайная величина распределена по показательному закону с параметром , то её математическое ожидание M u 1 .

Так как M u u 14,4 , то M1u 14,1 4 0,0694 .

Проверим гипотезу о показательном распределении с помощью критерия согласия Пирсона (критерий 2 – «хи квадрат»).

Вычислим гипотетические вероятности Pi попадания случайной величины U в каждый интервал по формуле

P U b e e b ,

где и b концы интервала.

P1 P 0 U 6 e 0 e 0,0694 6 1 0,6592 0,3408 ;

P2 P 6 U 12 e 0,0694 6 e 0,0694 12 0,6592 0,4346 0,2246 ;

P3 P 12 U 18 e 0,0694 12 e 0,0694 18 0,4346 0,2865 0,1481 ;

P4 P 18 U 24 e 0,0694 18 e 0,0694 24 0,2865 0,1889 0,0976 ;

P5 P 24 U e 0,0694 24 e 0,1889 0 0,1889 .

Интервал 24; 30 объединён с интервалом 30; .

Для вычисления наблюдаемого значения критерия Пирсона набл2 составим расчётную табл. 2.12.

32

Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

ских точек распределения .2 (прил. 3). Уровень значимости задан:0,05 . Подсчитаем число степеней свободы

k l 1 r ,

где l – число групп (частичных интервалов) выборки;

r – числопараметровпредполагаемогопоказательногораспределения.

Так как l = 5, r = 1 (подсчитан всего 1 параметр ), то k 5 1 1 3 . По табл. П3 (прил. 3) найдем критическую точку пра-

восторонней критической области кр2 0,952 3 7,8 .

Так как набл2 11,094 кр2 7,8 , то наблюдаемое значение набл2 превышает критическое значение кр2 . Это означает, что результаты

эксперимента не согласуются с гипотезой о показательном распределении случайной величины.

Пример 4

Имеютсярезультаты50 измерений некоторойслучайнойвеличины: 2,2; 2,9; 2,5; 2,7; 3,2; 2,8; 3,1; 3,5; 2,0; 3,6; 2,4; 2,6; 2,8; 2,9; 3,0; 2,9; 3,1; 2,7; 3,9; 2,5; 3,8; 3,3; 2,3; 4,0; 2,4; 2,8; 3,0; 3,5; 3,1; 2,1; 3,6; 3,0; 2,0; 3,1;

2,6; 2,9; 3,3; 3,0; 2,2; 3,8; 2,7; 3,0; 2,1; 2,3; 2,0; 3,3; 2,9; 3,5; 2,8; 3,0.

Принять l = 5.

1. Составим вариационный ряд:

33

2. Построим эмпирическую функцию распределения.

Для того чтобы построить эмпирическую функцию распределения

F xi nni ,

можно считать, что все значения непрерывной случайной величины, попавшие в интервал от xi до xi+1, совпадают со значением xi.

F x0 P X 2,0 0 ;

F x P X 4,0 5050 1.

34

Построим график эмпирической функции распределения (рис. 2.7) и гистограмму (рис. 2.8).

F(x)

1,00

0,98

0,88

0,74

0,36

0,18

Рис. 2.7. График эмпирической функции распределения к примеру 4

3. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии. Найдём точечные оценки для интервального вариационного ряда:

35

ni h

Найдём исправленную выборочную дисперсию, которая служит несмещённой оценкой генеральной дисперсии:

4. Выберем закон распределения и по критерию Пирсона проверим гипотезу о его согласованности с результатами наблюдений при уровне значимости 0,05 .

По виду гистограммы – распределение нормальное. Проверим гипотезу о нормальном распределении с математическим ожиданием

M X x = 2,936 исреднимквадратическимотклонением = S = 0,494.

36

Вычислим гипотетические вероятности Pi попадания случайной величины в интервалы ai ; bi по формуле

P a x b b Sx a Sx ,

где Ф x функция Лапласа.

37

Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k l 1 r 5 1 2 2 , так какнормальноераспределениезависитотдвух(r = 2) параметровM(X) и .

По табл. П3 (прил. 3) найдем критическую точку правосторонней критической области кр2 0,952 2 5,99 .

Так как набл2 4,02 кр2 5,99 , то наблюдаемое значение набл2 меньше критического значения кр2 . Это означает, что результаты

эксперимента согласуются с гипотезой о нормальном распределении случайной величины, т.е. нулевая гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.

Рассмотрим конкурирующую гипотезу H1.

Предположим, что полученное эмпирическое распределение случайной величины похоже на показательное, сдвинутое на 2 единицы вправо по оси 0x.

Получим несдвинутое показательное распределение, вычитая из всех членов вариационного ряда число 2, т.е. переходя от случайной величины xi к новой величине ui (табл. 2.15).

wi 1 .

Среднее выборочное несдвинутого распределения u x 2,0 2,936 2,0 0,936 .

Если случайная величина U распределена по показательному за-

38

Проверим гипотезу о показательном распределении с помощью критерия согласия Пирсона (критерий 2 – «хи квадрат»):

где ni эмпирические частоты;

ni nPi – теоретические частоты.

Вычислим гипотетические вероятности Pi случайной величины U в каждый интервал по формуле

P U b e e b ,

где и b концы интервала.

P1 P 0,0 U 0,4 e 0 e 1,068 0,4 1 0,6523 0,3477 ;

P2 P 0,4 U 0,8 e 1,068 0,4 e 1,068 0,8 0,6523 0,4255 0,2268 ;

P3 P 0,8 U 1,2 e 1,068 0,8 e 1,068 1,2 0,4255 0,2776 0,1479 ; P4 P 1,2 U 1,6 e 1,068 1,2 e 1,068 1,6 0,2776 0,1811 0,0965 ;

P5 P 1,6 U e 1,068 1,6 e 0,1811 0 0,1811.

Интервал 1,6 U 2,0 объединён с интервалом 2,0 U .

Для вычисления наблюдаемого значения критерия Пирсона набл2 составим расчётную табл. 2.16.

Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

39

Критическую величину 2 2 k найдём по таблице критиче-

кр 1

ских точек распределения .2 (прил. 3). Уровень значимости задан:

0,05 .

Подсчитаем число степеней свободы k l 1 r , где l число групп (частичных интервалов) выборки; r число параметров предполагаемого показательного распределения. Так как l = 5, r = 1 (подсчитан всего 1 параметр ), то k 5 1 1 3 .

По табл. П3 (прил. 3) найдем критическую точку правосторонней критической области кр2 0,952 3 7,8 .

Так как набл2 24,723 кр2 7,8 , то наблюдаемое значение набл2 превышает критическое значение кр2 . Это означает, что результаты

эксперимента не согласуются с гипотезой о показательном распределении случайной величины.

40