Математическая статистика. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Практикум

2) принять в качестве оценки параметра показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

i 1

5)сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

При этом число степеней свободы k l 1 r l 2 , так как пока-

зательное распределение определяется одним параметром и этот параметр оценивается по выборке, т.е. r 1; l – число интервалов.

1.3.3. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности

Для этого надо:

1) оценить параметры a и b – концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам

где a* и b* – оценки параметров;

2) найти дифференциальную функцию (плотность вероятности) предполагаемого распределения

3) найти теоретические частоты:

11

4) сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k l 3 , где l – число интервалов, на которые разбита выборка.

12

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Пример 1

Имеютсярезультаты50 измеренийнекоторойслучайнойвеличиныХ: 36, 30, 34, 32, 40, 31, 32, 33, 30, 32, 35, 37, 35, 30, 32, 30, 31, 38, 31, 30, 32, 42, 30, 35, 37, 32, 31, 45, 30, 33, 31, 35, 37, 30, 33, 32, 41, 38, 39,

36, 35, 33, 30, 43, 34, 45, 32, 39, 31, 34.

Принять l = 5.

1. Составим вариационный ряд.

Пусть значение случайной величины xj встречается nj раз.

m

nj 50 n.

j 1

Составим интервальный вариационный ряд.

Наименьшеезначение варианты xmin x1 30 , наибольшее значение

____________

* Интервалы [42; 45) и [45; ) объединены.

13

2. Построим эмпирическую функцию распределения.

Для того чтобы построить эмпирическую функцию распределения

F xi nni ,

можно считать, что все значения непрерывной случайной величины, попавшие в интервал [xi; xi+1), совпадают со значением xi :

F x0 P X 30 0 ;

Построим график эмпирической функции распределения (рис. 2.1) и гистограмму (рис. 2.2).

14

F(x)

1,00

0,96

0,92

0,84

0,70

0,46

Рис. 2.1. График эмпирической функции распределения к примеру 1

ni h

7,67

4,00

2,33

1,33

Рис. 2.2. Гистограмма к примеру 1

3. Рассчитаем точечные оценки для математического ожидания и дисперсии.

Найдём точечные оценки для интервального вариационного ряда:

15

Dв* 501 23 31,52 12 34,52 7 37,52 4 40,52 4 43,5234,742 61 50078,5 1206,87 14,7.

Найдём исправленную выборочную дисперсию, которая служит несмещённой оценкой генеральной дисперсии:

S*2 nn 1 Dв* 5049 14,7 15 .

4. Выберем закон распределения и по критерию Пирсона проверим гипотезу о его согласованности с результатами наблюдений при уровне значимости 0,05 .

По виду гистограммы – распределение показательное, сдвинутое на 30 единиц вправо по оси 0x (см. рис. 2.2).

Получим несдвинутое показательное распределение (прил. 1). Вычитая из всех членов вариационного ряда число 30, т.е. переходя от случайнойвеличиныX кновойвеличинеU, получаем ui xi 30 (табл. 2.2).

Таблица 2.2

16

l wi 1. i 1

Среднее выборочное несдвинутого распределения u x 30 34,74 30 4,74.

Если случайная величина распределена по показательному закону с параметром , то её математическое ожидание M U 1 . Так как

M U u 4,74 , то

Проверим гипотезу о показательном распределении с помощью критерия согласия Пирсона (критерий 2 – «хи квадрат»):

где ni эмпирические частоты;

ni nPi – теоретические частоты.

Вычислим теоретические вероятности Pi попадания случайной величины U в каждый интервал по формуле

P u b e e b ,

где и b концы интервала.

P1 P 0 u 3 e 0 e 0,211 3 1 0,5309 0, 4691;

P2 P 3 u 6 e 0,211 3 e 0,211 6 0,5309 0,2819 0,2490 ; P3 P 6 u 9 e 0,211 6 e 0,211 9 0,2819 0,1497 0,1322 ;

P4 P 9 u 12 e 0,211 9 e 0,21112 0,1497 0,0,0795 0,0702 ;

P5 P 12 u e 0,21112 e 0,0795 0 0,0795 .

Интервал 12 u 15 объединён с интервалом 15 u .

17

Для вычисления наблюдаемого значения критерия Пирсона набл2 составим расчётную табл. 2.3.

Таблица 2.3

Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

Подсчитаем число степеней свободы k l 1 r ,

где l – число групп (частичных интервалов) выборки;

r – число параметров предполагаемого показательного распределения.

Так как l = 5, r = 1 (подсчитан всего 1 параметр ), то k 5 1 1 3 .

Потабл. П3 (прил. 3) находимкритическуюточкуправостороннейкритической области кр2 0,952 3 7,8 . Так как набл2 0,1167 кр2 7,8 ,

то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о показательном распределении генеральной совокупности.

Рассмотрим конкурирующую гипотезу H1. Предположим, что полученное эмпирическое распределение случайной величины похоже на нормальное (прил. 1). Проверим гипотезу о нормальном распреде-

18

Вычислим гипотетические вероятности Pi попадания случайной

где x функция Лапласа.

Значения функции Лапласа (интеграла вероятностей) приведены в табл. П2 (прил. 2). Параметры распределения М(U) и σ заменяем на

1,876 1,1 0,4696 0,3643 0,1053;

P5 P 12 U 12 4,743,87

0,5 1,876 0,5 0,4696 0,0304.

Для определения набл2 составим табл. 2.4.

Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k l 1 r 5 1 2 2 , так как нормальное распределение зависит

от двух r 2 параметров M(X) и . По табл. П3 (прил. 3) находим

19

превышает критическое значение кр2 . Это означает, что результаты

эксперимента не согласуются с гипотезой о нормальном распределении случайной величины.

Пример 2

Имеютсярезультаты60 измеренийнекоторойслучайнойвеличиныХ: 4,1; 3,4; 5,7; 5,1; 4,5; 6,8; 5,0; 3,8; 6,1; 6,3; 6,9; 5,6; 6,3; 5,9; 3,8; 5,6; 6,0; 4,6; 3,4; 6,9; 3,5; 6,4; 3,9; 5,8; 3,7; 3,9; 3,3; 5,9; 4,9; 6,8; 6,4; 4,7; 6,2; 3,3; 5,2; 4,4; 6,7; 3,6; 4,0; 6,6; 6,5; 5,5; 4,2; 6,1; 4,8; 5,8; 3,5; 6,7;

5,3; 4,4; 3,6; 6,6; 5,9; 5,2; 3,7; 6,5; 4,9; 4,3; 5,7; 3,8.

Принять l = 6.

1. Составим вариационный ряд:

nj 60 n .

Составим интервальный вариационный ряд.

20