Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика предел функции. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Сборник задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

543 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Вариант 19

tg 3x

;

cos

(x 4)ln x dx ;

;

6x 10

x 5

dx ;

x2 3

dx ;

1)(x

cos2 4x sin3 4x dx ;

;

3sin x cos x

2 3х

dx .

Вариант 20

e2 x dx

;

2 x

1 e

(x 2)cos x dx ;

;

6x 8

4x 1

dx ;

3x 1

x 4

dx ;

3)(x

sin3 5x dx ;

cos5x

;

4sin x cos x

x dx

x 2

Вариант 21

1.sin 2x2x dx ;

2.(3x 1)ex dx ;

;

2x 8

4x 2

dx ;

2x 1

3x2 3x 1

dx ;

(x 3)(x 1)

cos3 x

;

sin

;

cos x 2

5х 3

dx .

Вариант 22

1.2 ln(x 2) dx ;

2.(7x 2)e9 x dx ;

;

2x 5

2x 1

dx ;

x 5

dx ;

2)(x

sin5 x dx ;

;

7cos x 4sin x 8

х 1

dx .

x 1 1

Вариант 23

1.x sin(x2 2)dx ;

2.(x 4)e x dx ;

3.						dx						;
3.			x		2	4x 13						;
			x			4x 13
4.				5x 1					dx ;
4.		x	2						dx ;
		x		5x 1
5.						x2 x					dx ;
5.		(x		3)(x			2	1)			dx ;
		(x		3)(x				1)
6.	sin3 8x cos4 8x dx ;
7.						dx						;
7.		sin x 2cos x										;
		sin x 2cos x
8.					x dx					.
8.			2x 1					1		.
			2x 1					1

Вариант 24

1.1 92 x ;

2.(4x 3)cos 2x dx ;9 dx

3.						dx					;
3.		x			2	4x 5					;
		x				4x 5
4.			5x 2							dx ;
4.		2x		2		x			3	dx ;
		2x				x			3
5.					3x2 1							dx ;
5.		(x		1)(x				2	1)			dx ;
		(x		1)(x					1)
6.	ctg3 x dx ;
7.							dx						;
7.		3sin x 2cos x 3											;
		3sin x 2cos x 3
8.					dx				.
8.						x		2	.
		1				x


Вариант 25
1.			x2 dx				;
1.			3				;
			x			2
2.	(5x 2)sin x dx ;
3.					dx						;
3.			x		2						;
			x			8x 15
4.				x 3					dx ;
4.		2x		2					dx ;
		2x				2x 1
5.						3x2 8						dx	;
5.		(x 4)(x						5)		2		dx	;
		(x 4)(x						5)
	sin				3
6.	sin					5 x dx ;
		cos				x
7.						dx		;
7.		5	2sin x					;
		5	2sin x
8.						dx				.
8.			5			6x 7				.
			5			6x 7

Вариант 26

1.2x cos(x2 7)dx ;

2.(x 8)e 2 x dx ;

;

6x 13

5x 2

dx ;

3x 4

x2 2x

dx ;

(x 2)(x

cos5 3x sin3 3x dx ;

;

cos x sin x

1 х

dx .

1 x

Вариант 27

1.(x 2)ex2 4 x 2dx ;

2.(3x 1)ln x dx ;

;

8x 15

x 4

dx ;

4x 1

x 3

dx ;

5)(x

6. sin3 5x cos2 5x dx ;

7.	dx		;
7.	sin x cos x		;
	sin x cos x
8.	x 1	dx .
8.	2x 1	dx .
	2x 1

Вариант 28

1.x2 sin(x3 4)dx ;

2.xe3x 1 dx ;

;

8x 7

x 3

dx ;

x3 1

dx ;

3)(x

sin7 x cos3 x dx ;

;

cos x sin x

3 х

dx .

x 1

Вариант 29

x2 dx

;

(2x 7)e2x dx ;

;

10x 16

2x 3

;

4x 3

3x 1

dx ;

(x 1)(x

sin

3x dx ;

cos

;

4 cos x

1 2х

dx .

1 2x 1

Вариант 30

1.arcsin2 3x dx ;

19x2

2.(5x 1) ln 2x dx ;

3.							dx						;
3.				x		2							;
				x			6x 5
4.					x 5						dx ;
4.			2x		2						dx ;
			2x				7x 1
5.							2x 1							dx ;
5.			(x 3)(x							4)		2		dx ;
			(x 3)(x							4)
						5
6.	sin 3 x dx ;
			cos				x
7.					dx				;
		2		sin x
8.				dx				.
8.			3	x 1				.
				x 1

IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

1.Определенный интеграл и его свойства. Площадь криволинейной трапеции, заданной в декартовых координатах.

2.Площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах или параметрически.

3.Длина дуги кривой, заданной в декартовой системе координат.

4.Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями.

5.Длина дуги кривой, заданной в полярной системе координат.

6.Объем тела вращения.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в декартовых координатах:

1.1.y 4 x2 , y x2 2x .

1.2.y x2 4x 4 , y 4 x , y 0 .

1.3.xy 6 , x y 7 .

1.4.y (x 1)3 , x 1 , x 3 , y 0 .

1.5.y2 94 (2 x)3 , x 1 .

1.6.y2 x3 , x y2 2 .

1.7. y 1 x2 2x ,

y x 2 2 1

(x 2) .

1.8.y ln x , x y e 1, y 0 .

1.9.y2 10x 25 , y2 6x 9 .

1.10.x2 y2 16 , y2 4x 4 (x 1) .

1.11. x 3 2 y 1 2 2 ,

y x2 6x 10

( y 1) .

1.12.x y 5 , x 4 y .

1.13.y 0 , y x 2 3 1 , x 0 .

1.14.y x 2 2 2 , y 0 , x 3 , x 1 .

1.15.y x2 4x 5 , y 1, x 0 .

1.16.	x 1 2 y 1 2	1, y	x 1 .
1.17.	y x2 2x 2 ,	x 0 , y 4x 7 .

1.18.y x3 2 , y 2 , y 3 , x 0 .

1.19.x y 2 2 2 , x ( y 2)2 , y 2 .

1.20.y ex 2 , x 2 , y e2 .

1.21.x ey 0 , y 0 , x e2 .

1.22.y cos x , y 0 , x 0 , x 2 .

1.23.x 2 2 y 2 2 4 , x 2 , x 3 .

1.24. y

2 x ,

x 0 ,

x 1 ,

y 0 .

1.25.y 16 x2 , y 0 , x 0 , x 2 .

1.26.y 9 x2 , y 0 , x 0 , x 3 .

1.27.y (x 1)2 , y2 x 1.

1.28. x 1 2 y 1 2 2 ,

y 0,

y 0 .

1.29.x 4 y2 , y 0 , y 1, x 0 .

1.30.y x2 2x 2 , y x 6 .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах (для вариантов 2.1–2.15) или параметрически (для вариантов 2.16–2.30):

2.1. r a sin 3

(a 0) .

2.2.r cos 4 .

2.3.r 2(1 sin ) .

2.4.r 3 2cos .

2.5.r aem .

2.6.r a .

2.7.r sin cos .

2.8.r 1 cos2 , 2 , .

2.9. r cos , r	1	sin		(r cos , r			1	sin ) .
	3						3

2.10. r 3 sin 2 ,	r		3	(r	3	, r 3	sin 2 ) .
			2		2

2.11. r 2arccos3 ,					r a (r a) .
2.12. r 1 cos ,				r	1		(r 1 cos , r 1) .
2.13. r		2	,	r			1	,		( 0) .
	1	cos				sin cos			2

2.14.r sin3 3 , 0; 3 .

2.15.r 2 sin 2 , r 2 cos (r 2 sin 2 , r 2 cos ) .

		1	cost,
2.16.	x	3	cost,
2.16.		3

	y 2sin t.

x 2 3cost,

y 3 2sin t.

x a cost,

2.18.

x a cos

(a 0) .

y a sin3 t,

y a sin t

2.19.

(площадь петли кривой).

y t t3

x a cost

2.20.

( a 0,b 0 ).

y bsin t cos2 t

2.21.

x t sin t

(две первые арки циклоиды и прямая y = 2).

y 1 cost

2.22.

x at bsin t

( 0 b a , одной ветвью и касательной к ней

y a b cost

в низших ее точках).

2.23.

x a sin 2t

( a 0,b 0 ).

y bsin t

2.24.

)

(площадь петли кривой).

y t

2.25.

4cos

( y 3

3 ).

y 8sin3 t

2.26.	x 10(t sin t)								( y 15, 0 x 20 ) .
2.26.	y 10(1 cost)								( y 15, 0 x 20 ) .
								t
2.27.	x cost ln tg								( y 0 , x 0 , 0 t		) .
	x cost ln tg						2
							2			2
										2
	y sin t
		t	2
	x	t
	x			2
2.28.		1 t		2		(площадь петли кривой).
2.28.		1 t				(площадь петли кривой).
		t(1 t2 )
	y	1 t			2
		1 t

x cost(1 cost),

y sin t(1 cost).

2.30.x 2t t2 (площадь петли).

y 2t2 t3

3. Найти длину дуги кривой, заданной уравнением в декартовой системе координат:

3.1. y ln sin x (		x			2	) .
	3				3
			1			1) .
3.2. y ln(1 x2 )	(			x
			2			2

3.3.y 2(e4 e 4 ) ( 4 x 4) .

3.4. y 1 y2 1 ln y (1 y 2) .
4	2
3.5. y arcsin(e x )			(0 x 1) .
3.6. y	x x2	arcsin		x (0 x 1) .
x			(		) .
3.7. y	costdt			x
			2		2
2
3.8. y 2 ex (ln			3 x ln		8) .
3.9. y 3	x2 1	(8 x 27) .

	x
3.10. y		t2 1dt				(1 x 3) .
	1
3.11. y		1 x x 1 2					(0 x 1) .
		3
3.12. y		(x2 2)3				(	2 x 7) .
3.13. y	2 3 x2			1		x	(1 x 4) .
	3			2
3.14. y	5 5 x6			5 5		x4	(1 x 32) .
	6			8
3.15. y	1 x4		1			(1 x 2) .
3.15. y	1 x4		8x2			(1 x 2) .
	4		8x2
	x
3.16. y		t 1dt			(1 x 4) .
	0
3.17. y ex 13				(ln		15 x ln 24) .

3.18.y (x 1)3 (3 x 8) .

3.19.y 1 ln sin x x .

3 2

3.20.y 1 ln cos x 0 x .

3.21.y 12 (1 ex e x ) (0 x 3) .

3.22. y ln 7 ln x						(	3 x 8) .
3.23. y	1 (3	e2 x			e 2 x ) (0 x 2) .
	4
3.24. y	4 x			2	1
3.24. y	4 x				2	x 1 .
					2
3.25. y ln(x2 1)						(2 x 3) .
3.26. y	x2		ln x			(1 x 2) .
3.26. y	4			2		(1 x 2) .
	4			2
3.27. y	1 x		x		x		(0 x 3) .
	3

3.28. y x	x (0 x 5) .
3.29. y 1	x (x 3) (0 x 3) .
3
3.30. y ln	ex 1	(ln 2 x ln 3) .
3.30. y ln	ex 1	(ln 2 x ln 3) .
	ex 1

4. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями:

4.1.	x cost									(0		t ) .
4.1.	y sin t									(0		t ) .
4.2.			t		(cost sin t)								(0 t ) .
4.2.	x e				(cost sin t)								(0 t ) .
	y et				(cost sin t)

4.3.	x 2(cost t sin t)												(0 t ) .
4.3.	y 2(sin t t cost)												(0 t ) .
4.4.			t		sin t							(0 t ) .
4.4.	x e				sin t							(0 t ) .
	y et				cost								2

4.5.				2		2)sin t 2t cost										(0 t ) .
4.5.	x (t					2)sin t 2t cost										(0 t ) .
	y (2 t2 )cost 2t sin t

4.6.	x 2cost cos 2t													t
4.6.													0	t			2	.
	y 2sin t sin 2t																2
							3	t
4.7.	x cos							t				0 t
4.7.												0 t	.
	y sin					3		t					2

4.8.	x t sin t											(0 t	) .
4.8.	y 1 cost											(0 t	) .
			6
	x t
4.9.		6									(0 t 4 8) .
4.9.		6					t4				(0 t 4 8) .
							t4
	y 2							4
								4
										5	t
4.10.		x 3cos									t
4.10.									5			0 t		2	.
		y 3sin							5		t			2

			2
4.11.	x t						t3					(			3 t			3) .
4.11.							t3					(			3 t			3) .
	y t						3
							3
4.12.	x 5(t sin t)														(0 t ) .
4.12.		5(1 cost)													(0 t ) .
	y	5(1 cost)
4.13.	x 8t sin t 8cost
4.13.		8sin t 8t cost														0 t				.
	y	8sin t 8t cost																		4
	x	1 cost 1 cos 2t																			2
4.14.		2											4						t		2
4.14.		2											4					2	t		3	.
		1			sin t								1	sin 2t				2			3
	y	2			sin t								4	sin 2t
		2											4
		8cos								3	t
4.15.	x	8cos									t				0 t
4.15.															0 t			.
	y	8sin							3		t						6

4.16.				3 t				2				( 1 t 1) .
4.16.	x			3 t								( 1 t 1) .
	y t t3

						2a sin t
4.17.	x 4					2a sin t
4.17.															0 t				2	.
	y a sin 2t																		2

							4			t
4.18.	x cos									t			0 t
4.18.						4							0 t			2	.
	y sin					4			t							2

4.19.				t	cost								(0 t			) .
4.19.	x e				cost								(0 t			) .
	y et				sin t											2

4.20.	x 8cost 4cos 2t															(0 t ) .
4.20.		8sin t 4sin 2t														(0 t ) .
	y	8sin t 4sin 2t
4.21.	x 3(2cost cos 2t)																(0 t 2 ) .
4.21.	y 3(2sin t sin 2t)																(0 t 2 ) .
			3
	x t
4.22.		3										(0 t 2					2) .
4.22.		3					t2					(0 t 2					2) .
		4					t2
	y	4						2
								2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]