Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика предел функции. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Сборник задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

543 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Вариант 25

1.	lim	(x 4)(13 x)			;
			8x2 5x 2
	x
2.	lim		x2	3x 10		;
			4x2	23x 15
	x 5

3.	lim	1 x2 1				;
				x
	x 0
4.	lim		4 x2		;

	x 2 sin(2 x)
5.	lim	x tg5x			;

	x 0 arctg2 9x
				7x 4	4 x
6. lim					.
				7x 10
	x

Вариант 27

lim

(x 2)4 2x

;

3x4 5x2

lim

4x2 9x 9

;

7x2 10x 3

x 3

lim

x 1 2

;

x 5

lim

sin 2x

;

x 2 2x

lim

x arctg5x

;

x 0 arcsin2 7x

6. lim

x 11

5x 2

x 9

Вариант 26

lim

4x2 8x 5

;

lim

x3 1

;

2x2 x 5

x 1

lim

x 2

4 x

;

x 3

x 1 2

4. lim 1 cos3x ;

x 0

sin2 x

lim

tg3x

;

x 0 e6 x e2 x

lim

5x 8 x 7

5x 1

Вариант 28

lim

7x3 4x 2

;

4x 1

(10 x)3

lim

x2 3x 10

;

x 2 9x2 22x 8

lim

(x 5)2

;

6 x

x 5

lim

tg2 2x

;

sin2 3x

x 0

lim

x ln 4x 1

;

x 0

ln cos3x

lim

4x 10 3x 1

4x 7

Вариант 29

Вариант 30

2x (x 10)5

4x7 6x 1

lim

;

lim

;

3x5 3x 1

(x 3)7 3x

lim

;

lim

x2 7x 30

;

15x 2

5x2 13x 6

x 2

x 3

lim

x 4

;

lim

6 x

x 4

;

5 x 13 x

x 4

9 x

x 5

lim

3x3 8x2

;

lim 1 cos 2x

;

tg 4x sin

x 0

x sin 3x

lim

x arcsin 2x

;

lim arctg2 6x

;

1 cos5x

x 0

ln cos7x

6. lim

8x 2

2x 7

8x 1

lim

8x 3

2x 10

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.Производная функции. Основные правила дифференцирования. Производнаясложнойфункции. Логарифмическоедифференцирование.

2.Дифференцирование функций, заданных неявно.

3.Дифференцирование функций, заданных параметрически.

4.Дифференциалы функции первого и второго порядка.

5.Приближенные вычисления с использованием первого дифференциала.

6.Уравнения касательной и нормали.

7.Правило Лопиталя.

8.Построение графиков функций с помощью общей схемы исследования.

1. Найти производные заданных функций:

Вариант 1	Вариант 4

а) y 4 e5x2 6 x ;
б)	y ctg3 x arcsin(9x2 ) ;
в)	y (cos x)3x .
Вариант 2
а)	y cos4 ex ;
б)	y 5 x6 2x2	ln(3x2 ) ;
в)	y (sin x)4x .
Вариант 3
а)	y ectg3 4 x ;
б)	y esin x ln(5x2	8x 3) ;
в)	y xarctg6x .

а) y tg2 3x ;

б) y 3x2 10x ln 2x ;

в) y (sin x) x .

Вариант 5

а)	y ln(arctg 3x2 ) ;
б)	y e x7 2 x6 3 sin 3x ;
в)	y xcos( x 2) .
Вариант 6
а)	y 4 ctg 2x ;
б)	y e 2 x6 3x2 2 x cos4 x ;
в)	y (ln x)arcsin 5x .

Вариант 7

а)	y ctg		3		1
						;
					2x

б) y 5 3x2 7 ln 2x ;
в)	y xarcsin 9 x .
Вариант 8
а)	y ln 2x ;
б)	y e6x2 1 arcsin 2x ;
в)	y (cos x)x2 .
Вариант 9
а)	y esin3 5x				;
б)	y (3x5 6x2 )ln(7x2 2) ;
				1
в)	y (tg x) x .
Вариант 10
а)	y sin2 (3x2 8x) ;
б) y etg x ln(10x2 ) ;
в) y (x) x2 .
Вариант 11
а)	y ctg3 (x2 2) ;
б)	y cos5x ln(3x2 5x) ;
в)	y xarccos10 x .
Вариант 12
а)	y sin5 4x ;
б)	y cos(x3 )ln2 x ;
в)	y x	ctg		1
				x .

Вариант 13
а) y e4 x3 3x ;
б)	y arccos(3x2 )sin3 x ;
	1
в)	y (ln x) x .
Вариант 14
а)	y tg 2x ;

б) y 23x2 7 (5x4 8x 7) ;

в)	y (ln x)sin 6x .
Вариант 15
а) y ex2 3x 2 ;
б)	y sin 5x 2x10				5x ;
в)	y (cos3x)ctg x .
Вариант 16
а)	y ln2 ex		;
б)	y etg x (10x7 4x3 2) ;
в)	y (sin x)cos 4x .
Вариант 17
а)	y cos	4	1 x		;

			1 x
б) y ln(4x2			3)arcsin 2x ;
в)	y xtg 4x .
Вариант 18
а)	5x3 8x2			;
	y 3
б)	y 10x arccos2 3x ;
в)	y xsin( x 1) .

Вариант 19

а) y ln3 (4x2 7x) ;

б)	y sin2 x 4	5x3 8x ;
в)	y xcos3x .
Вариант 20
а)	y arc ctg(cos e2x ) ;
б)	y 3 sin x (x7 4x6 2x) ;
в)	y (ln x)5x .
Вариант 21
а)	y arccos	7x3 2 ;
б)	y e x2 5x	ctg 4x ;
в)	y (ln8x)sin x .
Вариант 22
а)	y sin2 10x ;
б) y ln2 x arccos(x2 5) ;
в)	y xctg5x .
Вариант 23
а)	y arccos(ln 5x) ;
б) y e3x 2 tg 2x ;
в)	y (ctg x)7 x .
Вариант 24
а)	y 4 ln(3x2 ) ;
б)	y e10x arcsin 2x ;
в)	y (tg x)5x .

Вариант 25

а)	y		1				;

		5 arcsin(3x2 )
б)	y (7x6 2x3 )arctg(x3 ) ;
в)	y (ln 3x)cos x .
Вариант 26
а)	y ln(cos53x ) ;
б)	y e x2 4 xarcctg10x ;
в)	y (sin 4x)tg x .
Вариант 27
а)	y		1		;
		3 sin 7x

б)	y e2x 10 arctg 3x ;
			1
в)	y (ctg x)			cos x		.
Вариант 28
а)	y arccos(tg2 x) ;
б)	y ln 7x sin10x ;
в)	y xarctg x2 .
Вариант 29
а)	y ln2 (10x5				4) ;
б)	y tg3x sin 20x ;
в)	y x		cos 1
			x .
Вариант 30
а)	y arcsin(cos x ) ;
б)	y e x2 сtg8x ;
в)	y xln 2 x .

2. Найти производную неявно заданной функции:

2.1. xy ey

;

2.16. y exy

2x ;

2.2. ey 2x

3x y ;

2.17. x7 y2

3xy ;

2.3. y 1 xey ;

2.18. y3 tg y 7x5 ;

2.4;

xy cos(x y) ;

2.19. x2 y sin y ;

2.5. y2 cos x x3 sin y ;

2.20. x3 y2 ln y ;

2.6. y arctg( y x) ;

2.21. y sin x x2 cos y ;

2.7. ln y x2 y3 5x2 ;

2.22. x2e y

yex ;

2.8. y sin(x

y ) ;

2.23. x ln y y2 sin x ;

2.9. exy y5

0 ;

2.24. y cos x 2x 3xey ;

2.10. x ln y yex

;

2.25. x3 y exy

;

2.11. xy2 sin y ;

2.26. y x cos(xy) ;

2.12. cos(xy) ex

;

2.27. exy 5x4

y7 ;

2.13. sin(xy) yex ;

2.28. x2 y3 cos(x y) ;

2.14. exy

y2 ;

2.29. x3 y3

xy4 ;

2.15. exy

xy 4x3 ;

2.30. xy3 x3 y exy .

3. Найтипроизводную yx

отфункции, заданнойпараметрически:

x tg

3.1.

x cos

3.6.

y t sin t.

y 1 ctg

x cost,

3.2.

3.7.

x t

sin t,

y 1 sin2 t.

y t cos(t 1).

x 2cost,

3.3.

3.8.

(t 2),

sin t.

x ln

y et

y tg t.

x e

cost,

x t sin t,

3.4.

3.9.

y t cos(t 1).

y t 3sin t.

x t sin t,

x t ln t,

3.5.

3.10.

sin2 t.

y t(1 cost).

y 1

cost,

3.11.

3.21.

x e

sin t.

y t

y t e

tg t,

x t cos(t 4),

3.12.

ln t.

3.22.

y t

sin t.

x arcsin(2t 3),

3.13.

cost.

3.23. y arccos(3t 2).

y et

x t ctg t,

cost,

3.14.

3.24.

x e

y t2 et .

y e

arccost,

x 1 arcctg t,

x 3t

3.15.

3.25.

y t arcsin(t 1).

arcsin t.

y t

arctg t,

3.16.

3.26.

y ctg3 t.

y 2t arccost.

ln t,

3.17.

3.27.

x t

y 3t et .

y (3t2 2t)e3t .

sin t,

2),

3.18.

3.28.

x cos(3t

y 6t cost.

y 1 sin 2t.

3.19.

x ln(t 1),

3.29.

(10t

3),

x sin

y 1 cost.

cos(7t3

10).

x e

sin t,

3.20.

x e

cost.

3.30.

y e2t

2t).

y ln(6t

4. Найти dy и d 2 y для заданной функции:

4.1. y e3x2 2 x 5 .

4.6. y 3

x3 2x2 .

4.2. y tg2 x .

4.7. y sin(tg x) .

4.3. y sin2 (10x) .

4.8. y ctg(ex ) .

4.4. y ctg3 x .

4.9. y cos(3x7

6x5 3x)

4 x .

4.10. y tg(ln x) .

4.5. y e2 x


4.11. y cos2 (5x) .								4.21. y sin2 3x .
4.12. y 2x2 3x .								4.22. y ln2 x .
4.13. y sin(8x						2	5x) .	4.23. y sin(ln 2x) .
								4.24. y sin( 3x ) .
4.14. y	3x x2 .
4.15. y ln(cos x) .								4.25. y 4 e3x 2 .
4.16. y tg(e				3x	) .			4.26. y ln(sin 6x) .
								4.27. y ctg(ln x) .
4.17. y ctg(ex						2) .
								4.28. y 3 3x2 x .
4.18. y ln2 (6x) .
4.19. y cos				x .				4.29. y ctg2 (7x) .
								4.30. y cos(e4x ) .
4.20. y e6 x		2	3x 2 .

5. Вычислить приближенно, используя дифференциал:

5.1. ln 0,98				5.16. log2 2,1 .
5.2.	3 8,05 .			5.17.	3 9 .
5.3.		31		5.18.
5.3.	sin		.	5.18.	cos	2	0,1 .
		30				2
5.4.	3 29 .			5.19. e0,9 .
5.5. e0,1 .				5.20.	5 30 .
5.6.	4 15 .			5.21.	17
5.7. tg 0,01.				5.21.	sin	60		.
5.7. tg 0,01.						60
5.8.	5 34 .			5.22. ln 0,99 .
5.9.		17		5.23.	17 .
5.9.	cos		.
		60		5.24.				0,2
5.10.		5 31 .		5.24.	cos	2		0,2	.
5.10.		5 31 .				2
5.11. ln1,01 .				5.25. e1,2 .
5.12. e 0,1 .				5.26.	5 33 .
5.13. sin			.	5.27 cos 0,1 .
5.13. sin			.	5.27 cos 0,1 .
		20			4
5.14. tg 0,03 .				5.28	4 17 .
5.15.		24 .		5.29. sin 0,1 cos0,1 .
				5.30.	3 7 .

6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0:

6.1.	y x4 3 , x			1 .					6.16.	y x6 2x3 ,		x				1.
			0											0
6.2.	y 3x x2 ,		x		1 .				6.17.	y 9x 4x2 ,			x			4 .
			0											0
6.3.	y 1 x4 , x		2 .						6.18.	y 6x2	4x3 ,				x			2 .
		0													0
6.4.	y x3 3x ,		x		2 .				6.19.	y 2x3	x4 ,		x			1.
			0											0
6.5.	y 1 x3	, x	2 .						6.20.	y 3x 7x3 ,			x			2 .
		0												0
6.6.	y 2x3 3x 4 ,					x		2 .	6.21.	y 10x 8x2 ,				x				1 .
							0								0
6.7.	y x5 4x ,		x		2 .				6.22.	y 2x3	7x ,		x				3 .
			0												0
6.8.	y 5x4 3x 2 ,					x		2 .	6.23.	y 6x4	3x ,		x				1.
							0								0
6.9.	y 5 x3 , x		3 .						6.24.	y 5x 3x2 ,		x				4 .
		0												0
6.10.	y 2x4	3x3		,	x		1.		6.25.	y 2x3	5x2 ,				x			2 .
						0									0
6.11.	y 3x5	2 , x				2 .			6.26.	y 3x2	2 ,	x			7 .
				0								0
6.12.	y 3x7	5x2		3 ,				x 1 .	6.27.	y 4x3	x ,	x			3 .
								0					0
6.13.	y x3 4x ,			x		4 .			6.28.	y 7x5	2x ,		x					1 .
					0										0
6.14.	y 7x3	2x ,			x		2 .		6.29.	y 3x 7x5 ,			x			1.
		7x ,			0		3 .				10 ,			0				1 .
6.15. y 2x3		7x ,			x0		3 .		6.30. y 6x6		10 ,		x0					1 .

7. Найти пределы,

Вариант 1

а) lim x2 x 12 ;

x 3 x2 5x 6

б) lim	1 x ln x
	1	2x x2
x 1

в) lim(tg x )tg 2 .

x 1 4

воспользовавшись правилом Лопиталя:

Вариант 2

	а)	lim			3x		;
				5 x		5 x
		x 0
;	б)	lim	x sin x			;

		x 0		x3
				2		x
	в)	lim			arctg x .

		x

Вариант 3

а) lim x33 6x22 20x 120 ; x 6 x 6x 12x 72

			sin2	x
			sin2
б)	lim	4				;
б)	lim		arctg(x2 )			;
	x 0		arctg(x2 )
в)	lim tg x 2 x .
	x	0
	2
Вариант 4
а)	lim		5x x		;
а)	lim		x 5		;
	x 5		x 5

ln x

б) lim 4 ; x 0 arcctg x

cos x

в) lim(1 x) 2 .

x 1

Вариант 5

а)

lim

x3 4x2

17x 68

;

x3 5x2 26x 40

x 4

б)

lim

arcsin(x4 )

;

x 0

sin4

в) lim

1 x tg

x 1

Вариант 6

а)

lim

2x 7 5

;

x 9

б)

lim

e2 x e 2 x

;

ln(1 x)

x 0

tg x

в) lim

x 5

Вариант 7

а)

lim

5x2

;

3x2

x 2

б)

lim

x sin x

;

e x 2x

x 0 ex

в)

lim x ln x .

x 0

Вариант 8

а)

lim

x2 8x 12

;

x3 4x2

x 2

б)

lim sin x x cos x ;

x 0

в)

lim tg x ctg x .

Вариант 9

а)

lim

x3 8x2 17x 10

;

5x3

2x2

11x 5

x 5

б)

lim

x sin x

;

esin x

x 0 ex

в)

lim

arctg x

Вариант 10

а)

lim

4 5x2

;

4 3x2

x 2 x

б)

lim

sin3 x

;

x 0 sin x x cos x

в)

lim cos 2x

x 0

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]