Введение в инженерную интеграционную механику

5)Уравнение равновесия работ реакций связи на действительных перемещениях:

6)Дифференцируем по времени уравнение (1.49), т. е. переходим к новому «нулю», условию равновесия мощностей на действительных перемещениях, учитывая стационарность связей:

7)Выбираем зависимости упругих сил от перемещений, удобные для математической реализации. Удобство заключается в том, что нам необходимо уменьшить число неизвестных, для чего вводится экспериментальная или известная расчетная информация — коэффициенты упругости тел:

8)Выбираем основное перемещение из всех трех, которым в дальнейшем будем задаваться, а два другие будут определяться расчетом. Таким основным перемещением выбираем x1.

9)Задаемся передаточным отношением скоростей тел 1 и 2 под действием

Уравнение (1.52) позволяет управлять процессом движения.

10)Учитывая особенность ускорительного механизма (вращения ускорителя относительно точки K), можем записать:

11) Вводим экспериментальный коэффициент неидеальных связей η в

На этом первый этап подготовки исходной информации заканчиваем. Второй этап — переход к подсистемам тел для получения традицион-

ного метода Ньютона. Суммируем уравнения (1.45), (1.46), (1.47), (1.48):

m1(¨x1 + x¨3) + m2(¨x2 + x¨3) + m3x¨3+

(1.55)

+P3 − P1 + P1 − P2 + P2 + R1 − R2 − R3 = 0.

Уравнение (1.55) есть уравнение равновесия всей системы с «внутренними» нулями.

Выделяем все три подсистемы:

m3x¨3 − P1 + P2 − P3 − R3 = 0.

Аналогия со статическими задачами очевидная, можем взять условие равновесия всей системы (1.45), тогда два других условия выбираем из трех уравнений равновесия подсистем.

В окончательном виде составляем девять уравнений с девятью неизвестными:

m1(¨x1 + x¨3) + m2(¨x2 + x¨3) + m3 x¨3 = −P3, m1(¨x1 + x¨3) + P1 + R1 = 0,

m2(¨x2 + x¨3) − P2 − R2 = 0,

Как далеко лежат общие принципы, приводящие к системе типа (1.57), от реального рассмотрения объекта, где требуется многократное использование «внутренних» нулей, физических гипотез, экспериментальной информации (коэффициент η), управление самим процессом динамики объекта −b = b(x1) задается конструктором из дополнительных условий.

Уравнение (1.57) хорошо известно в технической литературе для досылки тел при ударном нагружении с кулачковым ускорительным механизмом. Системный метод составления уравнений движения с выделением «внутренних» нулей и отдельной группировкой физических гипотез ясно показывает качественное отличие реального составления уравнений движения от общепринятых методов.

В системном методе составления уравнений движений вводится информация о конечной цели работы механизма.

Этим методом системного составления уравнения автор пытается разрешить восьмой парадокс классической механики.

ГЛАВА 2

O взаимосвязи теоретической механики, теории упругости, сопротивления материалов, прикладной теории удара

2.1.Классификация «физических» тел в инженерной интеграционной механике

2.1.1.О взаимодействии теоретической механики, теории упругости, сопротивления материалов, прикладной теории удара в инженерной интеграционной механике

Втеоретической механике интеграционная механика представлена специальными системными операторами (общий оператор информации, оператор информации нулевого действия, основной оператор теоретической механики), компактом законов динамики Ньютона, компактом механики Лагранжа, системным методом составления уравнений движения.

Классический курс начинается с понятия физических тел, а интеграционная механика им заканчивается. Очевидная инверсия.

Все компакты, которые будем рассматривать, имеют единую структуру — общий оператор информации с дополнительным внутренним делением. Прежде всего, необходимо ясно представлять взаимосвязанность теоретической механики с другими разделами общей механики (теория упругости, сопротивление материалов, прикладные теории удара).

Инженерная интеграционная механика рассматривает больший круг задач, поэтому необходим специальный компакт «физических» тел. Компакт «физических» тел состоит из трех групп тел (физическая группа тел, математическая группа тел, системная группа тел). Каждая из групп разбивается на две подгруппы, в результате имеем шесть подгрупп «физических» тел:

1)физико-математическая группа тел;

2)физико-системная группа тел;

В данном параграфе рассмотрим физико-математические тела и физико-системные тела.

Физико-математическая группа тел включает в себя абсолютно твердое тело и деформируемое тело, при этом тело может быть интегральным (большое тело) или дифференциальным (малое тело). Физико-системная группа тел представляет синтез физико-математических тел с использованием идей системного подхода (абсолютно твердое тело плюс пластика при ударном нагружении; абсолютно твердое тело плюс упругая деформация в месте контакта; деформируемое тело плюс принцип освобождения от связей, и т. д.).

Введение в классификацию абсолютно твердого тела малого тела (дифференциальное тело) позволяет убрать третий парадокс. Материальная точка, которая имеет возможность только перемещаться, а не вращаться, перенесена в математико-системные тела.

Комплекс физико-системных тел представляет четыре группы тел, две относятся к абсолютно твердым телам, но с малой добавкой пластического тела (стереомеханическая теория удара Ньютона, коэффициент восстановления, который всегда меньше единицы из-за наличия пластических деформаций). Второй вариант, когда не учитывается общая деформация тела по сравнению с местной деформацией тела в упругой зоне контакта. Это характерно для контактной теории Герца. Эти две группы относятся к физикосистемным телам, которые обозначены (+ −). Именно к этим группам относится коэффициент β, определяющий возможность применять основные положения классической механики. Но и для деформируемых тел (обозначено − +), где габариты тел небольшие, также при выполнении условия коэффициента β можно применять механику Ньютона. Сопротивление материалов (тела − +) использует физико-системные тела, где используются отдельные положения теории упругости, но с существенным упрощением технических задач за счет применения принципа освобождения от связей. Часто применяется синтезированная теория удара Сирса, где все тело деформируемое и учитывается волновой процесс, а в месте контакта волновым процессом пренебрегают и используют контактную теорию Герца.

2.1.2.Математическое моделирование, системные и линеаризованные теории в классификации «физических тел»

Математико-физическая группа тел предназначена для переноса комплексных задач колебаний, статики, устойчивости, удара (модель эквивалентного стержня в цилиндрических пружинах переносит созданный математический аппарат теории прямых балок на цилиндрические пружины). Эта

группа тел существенно использует единство математической оболочки решения, например, волновое уравнение, для различных физических задач. В табл. 2.1 представлены условия формирования модели эквивалентного бруса для цилиндрических пружин. Высота стержня (балки) и пружины одинакова, жесткости стержня и пружины равны (продольная, крутильная, поперечные в двух плоскостях), массы стержня и массы пружины также равны. Но физически эти модели не эквивалентны, это приводит к дополнительным парадоксам в пружинах по отношению к хорошо известной теории прямых балок. Очень часто для анализа параметрических колебаний конкретная задача упрощается, чтобы использовать готовую математическую оболочку (уравнение Матье и его графическое решение в виде диаграммы Айнса–Стретта).

Математико-системная группа тел представлена материальной точкой, невесомой пружиной, гибкой нерастяжимой невесомой нитью (жесткость на растяжение бесконечна, поперечная жесткость нулевая) и другими аналогичными телами.

Эта группа тел представлена для составления уравнения движения. Обычный прием — вся масса абсолютно твердого тела сосредоточивается в центре тяжести, а упругие тела не учитывают массу тел, а только жесткость. Сюда отнесены абсолютно жесткие тонкие нити, для которых линия действия силы и линия действия скорости точек отслеживает форму этой нити.

Системно-физическая группа тел, в отличие от первых четырех групп, где были единичные тела, представляет системы тел, имеющих единый физический процесс. Например, неупругий удар груза по стержню, система тел теоретической механики.

В табл. 2.1 для системно-физических тел приведена зависимость контактной силы от сжатия двух тел (контактная теория Герца). В этом случае имеем дело с двумя телами из группы физико-системных тел, так как имеем систему тел.

Системно–математическая группа тел представляет систему тел, где возможна замена точного решения задачи (удар двух тел по контактной теории Герца) на систему тел другой физической природы (линеаризованная теория удара). Эта группа тел позволяет создавать эффективные инженерные методики. В кратком комплексе [14] по удару нами рассмотрена линеаризованная теория удара, но для получения простой и эффективной теории удара потребовалось и знание самой точной теории (в данном случае теории Герца). Две различные физики объединены в линеаризованной теории удара. Классический пример системно-нелинейной задачи.

вится больше, чем предлагаемая классификация на основе общего оператора информации. Но существенное преимущество данной классификации — единая структура для классификации движения, физических тел, системных векторов. В табл. 2.2 приведена данная классификация. Физикоматематические силы — это реальные внутренние и внешние силы, соответствующие классификации А.Ю.Ишлинского. Физико-системные силы — реакции связи. Математико-физические силы — система реальных сил и реакций связей, вызывающих равновесие тел. Математико-системные силы — система сил, искусственно реализующих для состояния динамического равновесия всей системы или ее части (эффект антирезонанса). Системно-физические силы — это силы, которые используются для анализа сложных движений (кориолисовы силы, эйлеровские силы). Системноматематические силы, создаваемые для удобства сжатия информации, — это пара сил, пара вращений, представляющие свободные вектора.

Таблица 2.2

2.3.Классификация векторов в курсе «Теоретической механики» на основе общего оператора информации

Классификация векторов, представленная в табл. 2.3, имеет так же, как и предыдущие классификации, шесть групп. Физико-математическая группа — классические скользящие вектора (сила, угловая скорость и т.д.); математико-физическая группа — опорный математический вектор; системно-физическая группа — классические свободные вектора (пара сил,

пара вращений); системно-математическая группа — классические закрепленные вектора, представляющие произведение других векторов с различной физикой, например, перемещение и сила; физико-системная группа векторов неявно всегда существовала, но не включалась в классическую классификацию, — это вектор силы, перемещающийся по изгибающейся абсолютно жесткой нити без изменения, а также вектор скорости точек данной нити, модуль скорости не изменяется. Предыдущие пять групп из шести — это просто классификация известных векторов для удобства рассмотрения векторов на основе общего оператора информации.

Наиболее существенным уточнением классификации векторов является математико-системная группа, в которой вводятся новые вектора, позволяющие снять противоречия в классической механике. Этой группе дадим название системной группы векторов, что позволяет их отличать от классических векторов. К этой группе относятся «проекции» векторов: проекция векторов скорости конца отрезка на сам отрезок, скорость вдоль стержня имеет физический смысл для деформируемого стрежня; проекция главного вектора момента сил на направление главного вектора сил.

Главный вектор момента сил в каждой точке имеет переменное направление, линию действия и модуль, а его «проекция» на направление главного вектора сил является свободным вектором. Момент силы относительно оси представляет системный вектор, где силу можно переносить вдоль плоскости по линии действия и по образующей цилиндра, которую описывает вращающийся вектор перемещения. Сами системные вектора могут быть свободными, скользящими и закрепленными. Вектор скорости точки при вращении абсолютно твердого тела относительно оси также обладает особенностями системного вектора, так как он переносится как скользящий вектор по образующей цилиндра, параллельной оси вращающегося тела. Но для максимального сохранения понятий классической механики он отнесен к системно-математической группе. Введение системных векторов позволяет дать ясную аналогию между моментом силы относительно оси и скорости точки относительно оси, а также по-иному представить физический смысл пары сил.

Для классификации векторов в классической механике вектор пары сил отнесли как свободный вектор в группу системно-физических векторов. Пара сил как свободный вектор вызывает наибольшие трудности у изучающих механику, так как имеет условную ось вращения, пара сил свободно переносится в плоскости и параллельно плоскости. Более ясного понимания возможности переноса пары сил в плоскости можно получить за счет двух новых системных векторов. Прежде всего, это особый вектор силы, который можно переносить не только вдоль линии силы, но и параллельно

самому себе в плоскости, параллельной заданной оси. Этот особый вектор силы не попадает под классическую классификацию векторов (скользящий, свободный, закрепленный), так как является скользящим, как обычный вектор силы, свободным — можно его переносить параллельно самому себе, закрепленным — фиксирована плоскость, по которой он перемещается. Данный вектор назван системным вектором силы. Момент силы относительно оси является комбинированным системным вектором, так как представляет векторное произведение данного системного вектора силы на радиус-вектор перемещения. Этот вектор момента относительно оси является скользящим вектором, кратчайшее расстояние силы до оси вместе с перемещением вектора момента силы описывает цилиндрическую поверхность, на которую наматывается плоскость, по которой перемещается системный вектор силы.

Пара сил представляет разность двух системных векторов момента силы относительно общей оси, проходящей через центр тяжести, где модули векторов сил одинаковые, расстояния до оси вращения различны, направления взаимно противоположны. Сложность восприятия момента силы относительно оси компенсируется простотой интерпретации пары сил.

Аналогичный подход можно рекомендовать для объяснения мгновенного поступательного движения. В этом случае пара вращения также представляет собой свободный вектор и разность двух системных векторов, описывающих сложное движение твердого тела относительно двух параллель-