Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Введение в инженерную интеграционную механику

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

606 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

1.6. СИСТЕМНЫЙ ВЫВОД УСКОРЕНИЯ КОРИОЛИСА				31
			K1
	aK
		ao	A
α	O
K			Q
			Q
	M	α
		α

Рис. 1.8. Графический способ определения мгновенного центра ускорения для колеса, движущегося без скольжения по прямому рельсу

векторов нашей задачи. Графически получили нужный нам угол α, соединяем мгновенный центр ускорения Q с точкой K, строим угол α. Направление угла выбираем из условия, что вектор ak должен

вращаться относительно мгновенного центра ускорения для редуцированных ускорений, как и век-

тор a0. Восстанавливаем перпендикуляр к отрез-

−−→

ку QK и получаем вектор KK1.

1.6. Системный		VA
вывод ускорения Кориолиса		VA
вывод ускорения Кориолиса
Рассмотрим простейший пример (рис. 1.9).
Диск вращается относительно оси с угловой
Диск вращается относительно оси с угловой
скоростью ω, при неподвижном диске задано дви-

жение по диску со скоростью V (VA — это скорость
движения точки A). Исходная информация задана
не для системы в целом, а для двух независимых	ω
подсистем. Первая подсистема — диск только вра-

щается, а точка A неподвижна. Вторая подсисте-
ма — диск не вращается, а движется только точка A	Рис. 1.9

со скоростью V .

ГЛАВА 1

Движение в первой подсистеме — переносное. Движение во второй подсистеме — относительное. Имеем основную опорную информацию для ускорения Кориолиса: ω e — угловая скорость в переносном движении

(основная информация первой подсистемы), Vr — скорость точки в относительном движении (основная информация второй подсистемы). В табл. 1.1 представим эти две взаимно противоположные задачи.

Таблица 1.1

+	Переносное движение	+ −	Переносное движение в относи-
	ωe = 0, Vr = 0		тельном движении ωe			V
					× r
−	Относительное движение	− +	Относительное движение в пере-
	Vr = 0, ωe = 0		носном движении ωe	×		V
						r

К этим двум задачам добавляются их взаимосвязанные задачи: переносное движение в относительном движении; относительное движение в переносном движении. Что считать за относительное движение, что за переносное — это условно. Поэтому оба этих движения должны быть равными и состоять из основной информации. Само ускорение Кориолиса, определяемое этими двумя дополнительными движениями,

ac = 2	ω	e	r	.	(1.20)
			× V

Сейчас необходимо определить, что будем считать за относительное ускорение. Если координаты относительного движения (подсистема 2) примем неподвижными, то ускорение точки в этом случае и будем считать относительным ускорением всего движения в целом.

Обозначим относительное ускорение

ar = d V , (1.21) d t

где знак ~ означает для производной, что она является локальной — отсутствует вращение осей. Общее ускорение в случае сложного движения представим в виде:

aA = ak + ar + ae,

(1.22)

где ae — переносное ускорение точки для сложного движения. Математически это значит, что нами выделено из сложного выражения ускорения точки A два простых выражения, а все остальные члены объединены в ae.

1.6. СИСТЕМНЫЙ ВЫВОД УСКОРЕНИЯ КОРИОЛИСА								33
При выводе абсолютного ускорения при сложном движении точки
необходимы: формулы Пуассона:

			d j
d i						d k
d t	= ω × i ;		d t	= ω × j	;	d t	= ω × k ,	(1.23)
формула Бура:

		dR	=	d R				(1.24)
			=	dt + ω		R.		(1.24)
Вывод формулы Бура: dt					×

	R	= Rx · i		+ Ry · j	+ Rz · k,

dR d t

обозначим

dRy

d j

d i

d t

k + Rx d t

+ Ry

d t

dR		dR	x		dRy		dR	z
d t	=			i +		j +			k .
		d t			d t		d t

+ Rz ddkt ,

(1.25)

Из (1.25) ясно видно понятие локальной производной. Необходимо знать особенности смешанного произведения векторов:

(c × a),

a · (b × c) = b ·

преобразовать

d j

d i

d k

Rx d t + Ry

d t

+ Rz d t = Rx(ω × i) + Ry (ω × j) + Rz (ω

× k) =

= ω × i Rx + ω

× j Ry + ω

× k Rz = ω ×

(Rx i + Ry j + Rz k) = ω

× R.

Перемещение точки M (рис. 1.10) будет состоять из двух перемещений:

переносного — rA и относительного — ρ:

rM = rA + ρ;

(1.26)

ρ = x · i

+ y · j

+ z · k .

Абсолютная скорость точки M :

d t

d rA

d ρ

d rA

d ρ

+ ω

VM =

d t

ρ.

(1.27)

ГЛАВА 1

Принимаем

	d ρ
	d t	= Vr ,

VM = VA + ω		× ρ + Vr .

(1.28)

(1.29)

Если мы сохраняем наше деление на относительное и переносное движение, то относительная скорость в (1.27) по определению (1.28) уже заняла свое место, поэтому сложное выражение для переносной скорости:

Рис. 1.10
e		× ρ.	(1.30)
V	= VA + ω

Нам известны две составляющие полного ускорения (ar , ac), осталось определить третью составляющую. Вывод полного ускорения для точки M выполняем по известной методике [1]:

→−

= ( V

V ) =

d→−

d ω

ρ + ω

d→−

;

→− A+ω

×ρ+→−

× ×

dρ

d→− r

−→r

+ ω

ρ;

→− ;

dρ

→−

d V

→−

dρ

= ω

→−

+ ω

[ ω

ρ];

× dt

→− A

d→− r

+ →− × + × [→− × ] + →− ×

→− ×

→− r

a =

ω ρ ω

ω ρ

ω V +

+ ω V

A + ε × ρ + →−

× [→−

] +

C ;

aMe = aA + ε × ρ + ω × [ω × ρ];

aM = aMe + ar + ac.

(1.31) При выводе ускорения точки при сложном движении применен принцип инверсии, сначала получены основные компоненты уравнения, а только потом все значения уравнения. Имеет ли ускорение Кориолиса физический смысл? Ускорение Кориолиса является информационным ускорением, так как появляется при задании исходной информации не в целом для всей системы, а через подсистемы. Если можно подобрать параметры системы, в которой останется только ускорение Кориолиса, тогда оно

1.7. ПАРАДОКСЫ ДИНАМИКИ В ИНЖЕНЕРНОЙ ИНТЕГРАЦИОННОЙ МЕХАНИКЕ 35

принимает физический смысл. Ускорение Кориолиса необходимо считать информационно-физическим. Такой подход совпадает с понятием силы Кориолиса, как информационной силы, в работах А. Ю. Ишлинского [8, 9].

1.7.Парадоксы динамики в инженерной интеграционной механике

Из рассмотрения парадоксов статики и динамики становится очевидным, что и в динамике парадоксы являются следствием недостаточной стыковки математики, физики и прикладной философии. В начале главы были отмечены следующие парадоксы динамики: в первом законе Ньютона объединены два взаимно исключающих физических явления: движение и покой; при решении динамической задачи инженер имеет достаточное число произвольных условий, существенно изменяющую саму задачу.

Аналогично аксиомам статики возможно сжатие аксиом динамики. Все парадоксы статики сохраняются и для динамики, так как известен прием объединения динамики и статики за счет учета в статике дополнительной силы Даламбера.

Принцип Даламбера позволяет реальное движение свободного тела привести в условное равновесное состояние. Естественно, что это парадокс. Природа этого парадокса та же, что и для пары сил. Мы изменили информацию — реальное движение заменили условным равновесием — с целью изучить реальное движение. Все парадоксы векторного исчисления остаются и в динамике твердого тела для свободного и несвободного движения.

Все аксиомы и теоремы статики объединяются оператором информации нулевого действия, поэтому он применяется и в динамике. Интересно рассмотреть взаимосвязанность основных законов Ньютона, что позволит избежать парадокса в первом законе.

В теоретической механике стереомеханическая теория удара является важной составной частью, но для ее понимания необходима гипотеза соударения тел. Это логическое объединение можно выполнить внесением специального тела, имеющего неупругое соударение. Аналогичные проблемы возникают в контактной теории удара и в линеаризированной теории удара. Эти моменты будут отражены в следующей главе.

1.8. Системность законов Ньютона

Рассмотрим материальную точку в абстрактных условиях изолированности, т. е. в бесконечной удаленности от других тел. Для такой точки характерны два состояния: первое — покой, второе — прямолинейное равномерное

36 ГЛАВА 1

движение, которое называют движением по инерции. Эти два возможных состояния изолированной точки постулируются первым законом Ньютона, или законом инерции.

Как только мы поместим точку в непосредственной близости от других тел, действующих от нее непосредственно или посредством поля, скорость точки, в общем случае, изменится. Причиной этого изменения является механическое действие на точку окружающих тел, а меру интенсивности этого действия принято называть силой. Необходимо упомянуть о том, что движение точки по инерции возможно и в том случае, когда к ней приложены силы, но только при условии их уравновешенности. Таким образом, если обнаруживается, что точка движется прямолинейно и равномерно, по отношению к неподвижной системе отсчета, то это означает, что она либо изолирована, либо приложенные к ней силы уравновешены. В связи с этим интересно отметить, что можно дать динамическую трактовку известной из статики аксиомы о равновесии системы двух сил: две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, уравновешены в том случае, если не изменяют его скорости, т. е. не сообщают ему ускорения. Количественную связь между приложенной к точке силой и вызываемым этой силой изменением движения дает второй закон Ньютона или основное уравнение динамики:

¨		(1.32)
mr	= F .	(1.32)

Изменение движения пропорционально приложенной силе и происходит в направлении линии действия этой силы.

Уравнение (1.32) было бы неправильно рассматривать как определение силы, так как действие силы в механике проявляется не только в ускорении тел, но и в их деформациях, когда ни о каких ускорениях нет и речи.

Третий закон Ньютона говорит о том, что во взаимодействии двух тел каждое из тел действует на другое тело силой, одинаковой по величине, но противоположной по направлению. Этот закон часто называют законом о равенстве сил действия и противодействия. Однако третий закон Ньютона имеет более глубокое физическое содержание, чем просто равенство сил действия и противодействия. Запишем уравнение (1.32) для каждой из двух взаимодействующих точек:

	d						d
	dt	(m1V1) = F1			,		dt	(m2V2) = F2.	(1.33)
										=
По третьему закону Ньютона должно выполняться равенство F1										=

= −F2.
Сложим уравнения (1.33),
			d
			dt	(m1V1		+ m2V2) = 0,

	1.8. СИСТЕМНОСТЬ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА			37
откуда следует, что			= const.	(1.34)
	m1V1	+ m2V2	= const.	(1.34)

Третий закон Ньютона можно сформулировать как требование сохранения суммы импульсов (количество движения) взаимодействующих тел при отсутствии внешних, для этой системы, сил.

Применяя прием инверсии, продифференцируем по времени уравнение (1.34). В результате получим:

m1a1 + m2a2 = 0.

	в правую часть уравнения m1a1 = m2a2,
Перенесем член m2a2 = F2


и с учетом того, что m2a2 = F2, а на основании третьего закона Ньютона

−F2	= F1, приведем к уравнению, выражающему второй закон для первой
точки m1a1
точки m1a1		= F1.

	Если F1	= 0, то m1V1	= const или, в частном случае, V1 = 0, т. е. при-

ходим к первому закону Ньютона. Однако было бы неправильным считать первый закон частным случаем второго, ибо только в случае выполнения закона инерции соотношение (1.34) приобретает однозначное физическое толкование.

y

V1	V2
m1	m2

P1	P2
	x

Рис. 1.11. Соударение двух шаров

Покажем на примере прямого соударения двух шаров, что решение некоторых простых задач методами классической механики невозможно в рамках модели абсолютно твердого тела. Поскольку внешние силы для системы двух шаров отсутствуют, то количество движения системы до и после

38 ГЛАВА 1

удара должно быть одинаковым (рис. 1.11).

m1V01x + m2V02x = m1V1x + m2V2x,

(1.35)

где V01x , V02x — проекция скоростей шаров на ось 0x до соударения; V1x , V2x — проекция скоростей шаров на ось 0x после соударения.

Уравнение (1.35) содержит две неизвестные скорости V1x и V2x , поэтому задача становится неопределенной. Ньютон сделал возможным решение этой задачи, введя дополнительную информацию о коэффициенте восста-

новления

K = V1x − V2x .

V01x − V02x

Понятие о коэффициенте восстановления K введено Ньютоном в терминах кинематики, фактически K отражает реальные упругие свойства соударяющихся тел и определяется экспериментально. Данный пример свидетельствует о том, что еще в ХVII веке Ньютон использовал приемы, которые мы сейчас называем приемами системного подхода, в частности, ввод дополнительной информации.

Таким образом, при системном изложении законов Ньютона нами использовались в основном два типовых приема системного подхода: инверсия и ввод дополнительной информации.

1.9.Информационный компакт векторной механики Ньютона

Введем системный оператор, сущность которого можно представить в

виде следующего набора математических операторов и символов:
	0	=	0
	d

					(1.36)
dt				.	(1.36)
	•

В первой строке системного оператора (1.36) размещены взаимно противоположные математические операторы: дифференцирования и интегрирования. Вторая строка символизирует равенство или неравенство нулю какого-либо математического выражения или величины, что соответствует законам сохранения и законам изменения. Третья строка посредством математического оператора суммы символизирует переход от одной материальной точки к системе материальных точек и далее снова к материальной точке, имеющей физический смысл центра масс механической системы.

1.9. ИНФОРМАЦИОННЫЙ КОМПАКТ ВЕКТОРНОЙ МЕХАНИКИ

Используя в качестве базовой информации массу m и радиус-вектор r, а также системный оператор (1.36), законы векторной динамики Ньютона можно представить в сжатом виде в форме (1.37), которую далее будем именовать информационным компактом динамики Ньютона:

−→		˙	¨
		d/dt

	r	r	r
	r	r	r
	0	r mr˙	r mr¨
	0	r mr˙	r mr¨
		mr˙	mr¨	.	(1.37)
mr		mr˙	mr¨	.	(1.37)
		×	×


←−

Раскроем смысл информационного			компакта	динамики Ньютона. Пер-

вая строка компакта (1.37) образована применением к базовой информации r математических операторов d/dt и , размещенных в первой строке

	применяя к	математический опера-
системного оператора (1.36). При этом,		r ˙	¨
тор d/dt, получаем соответственно вектор скорости r и вектор ускорения r.
¨		, получаем соответствен-
Обратно, применяя к r математический оператор		, получаем соответствен-
˙	образована кинематическими харак-
но r и r. Итак, первая строка компакта	образована кинематическими харак-
но r и r. Итак, первая строка компакта

теристиками движения r, V и a.

Вторая строка компакта образуется путем умножения элементов первой строки на скалярный коэффициент m (массу). Получаем ряд, состоящий из следующих величин: mr — статический момент точечной массы

относительно некоторого центра, mr — вектор количества движения точки,

mr — вектор, равный по величине и направлению силе, действующей на

точку массой m, имеющей ускорение r. Третья строка компакта получена векторным умножением r на элементы второй строки компакта. При этом

˙
получаем ряд, состоящий из: r ×mr = 0, r ×mr — вектора кинематическо-
¨	=
го момента относительно некоторого центра; r × mr	=	m0(F ) — вектора
момента силы относительно некоторого центра.

Рассмотрим законы динамики Ньютона, сжатые посредством компакта (1.37). Применим первую и вторую строки системного оператора (1.36)

ко второй и третьей строкам компакта. Действительно, d					2	/dt	2	¨
ко второй и третьей строкам компакта. Действительно, d						/dt		(mr) = mr

или, записывая это выражение в виде d/dt(mV ) = F , а затем, переходя к
			t2
интегральной форме mV1	−mV0 =		t1	F dt, убеждаемся в том, что получено
математическое выражение		теоремы об изменении движения материальной
математическое выражение

точки: приращение вектора количества движения точки за некоторый про-

40 ГЛАВА 1

межуток времени равно импульсу равнодействующей приложенных к точке

сил за этот же промежуток времени. При этом, если t2 ≈ t1, то

F dt

называется конечным импульсом мгновенной силы или ударом.

Применяя

оператор суммы, получим Q =

mk Vk – главный вектор количества дви-

жения системы материальных

точек, и

– главный вектор внеш-

R =

них сил, действующих на систему. Тогда dQ/dt

R и с учетом того, что

ское

mkrk и M Vc =

mk Vk , имеем M ac

= R, т. е. математиче-

M rc

выражение теоремы о движении центра масс системы материальных точек: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы, под действием силы, равной главному вектору внешних сил, приложенных к точкам системы. Таким образом, реализована третья строка системного оператора (1.36).

В частном случае равенства нулю главного вектора внешних сил получаем закон сохранения количества движения и закон сохранения движения


центра масс: m1V1 − mV0 = 0		и ac = 0 или Vc = const. Таким образом
реализуется вторая строка системного оператора (1.36).
Подобные рассуждения можно применить и к третьей строке компак-
	¨
та. Действительно, (r × mr) =		r × F или, записывая это выражение в
˙
виде d/dt(r × mr) =	m0(F ), убеждаемся в том, что получено математи-

ческое выражение теоремы об изменении кинетического момента материальной точки: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-либо неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра. Применяя

	=			— главный вектор момента
оператор суммы, получим L0		(rk × mk Vk
количества движения системы	точек, или кинетический момент механиче-

ской системы относительно центра O, и M0			=	m0		(Fk ) — главный момент
							, т. е. получено
внешних сил, действующих на систему. Тогда dL					0/dt = M0

математическое выражение теоремы об изменении кинетического момента механической системы.

В частном случае равенства нулю главного момента внешних сил по-

= 0

лучаем закон сохранения кинетического момента системы: dL0/dt , т. е.

0 = const.

Итак, компакт (1.37) совместно с системным оператором (1.36) позволяет в наглядной сжатой форме представить основные понятия и законы векторной динамики Ньютона. При этом символ «= 0» во второй строке системного оператора (1.36) соответствует законам изменения (движения центра масс, количества движения, кинетического момента), а «0» — соответствующим законам сохранения.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]