Введение в инженерную интеграционную механику

Критерий применимости основных положений классической механики

Первое положение основного компакта: коэффициент применимости основных теорем теоретической механики:

Основа информации — эксперимент, если β = Tу > 3 . . . 8, то при-

2θ

меняется классическая механика Ньютона, но Tу и θ — определяются из реального процесса и связаны с положениями механики деформированного тела. Волны многократно прошли по телу, напряжения возросли и сам волновой процесс не опасен (рис. 1.12).

ε

t

2θ

Ty

Рис. 1.12

1.10.Информационная механика — «решить задачу, не решая задачу»

Комплекс приемов творчества, позволяющий решить задачу, не прибегая к общепринятой логике, выделим в отдельный тип интеграционной механики, которую назовем информационной механикой. «Чтобы решить задачу — надо знать ответ» (Д. Пойя [10]). Информационная механика — умение пользоваться логикой изобретателя, решать задачу при неполной информации. В информационную механику войдут приемы: инверсия; декомпозиция; интеграция (вместо решения отдельных простых задач решается одна общая задача); учет особенности задачи; применения дополнительной информации; философская вилка: положительная, нейтральная, отрица-

тельная теории. На рис. 1.13, 1.14, 1.15 представлены три задачи колебаний математического маятники с упругой связью. Необходимо оценить влияние ориентации на собственную частоту системы. В постановке задачи не говориться о необходимости составлять уравнения движения, требуется найти собственную частоту.

Рис. 1.13. Влияние ориентации на собственную частоту математического маятника. Задача №1

Поставим инверсионную задачу: сначала найдем влияние ориентации на собственную частоту, а потом составим уравнения движения для каждой отдельной задачи. Рассматриваем все три задачи одновременно, при этом легче оценить особенность каждой задачи в отдельности. Общим во всех трех задачах является математический маятник. Прием дополнительной информации заключается в том, что известно решение упрощенной задачи (в народе такой прием называют «танцевать от печки»).

Решающий задачу должен знать свой ум, а атлет — свое тело примерно так же, как жокей знает своих лошадей (Д. Пойя).

Рассмотрим решение для нахождения собственной частоты для математического маятника. Исходное физическое уравнение:

Подведем промежуточный итог, решали упрощенную задачу, где воспользовались готовым решением, а записали решение всех трех задач. Если мы владеем интеграционной механикой, то можно заметить ошибку в решении (1.42), но мы и ее искать не будем, постараемся найти решение иным путем. Прием «решить задачу, не решая задачу» в математике имеет классическим примером теорему Штурма о нахождении количества корней в алгебраическом уравнении по изменению знака коэффициентов алгебраического уравнения. Итак, вместо составления уравнений движения, займемся знаками в числителе выражения (1.42). Составляем таблицу (табл. 1.2).

Почему задачи располагаем по порядку 1, 2, 3? Может, удобнее другой порядок. При рассмотрении нескольких задач сразу, целесообразнее помнить о философской вилке. Можно с уверенностью предполагать, что первая и третья задачи противоположны. Третья задача — это первая задача, поставленная на «попа». Геометрическая инверсия. В какой последовательности решать задачи? Если будем решать первую, вторую, третью, то мы затрудним пользование философской вилкой. Поэтому «решаем» первую, потом третью, а затем только вторую задачу. В первой задаче: момент веса и момент упругой силы имеют одинаковый знак. В третьей задаче: момент веса и момент упругой силы имеют разный знак. Что принять за sign+. Естественно, момент упругой силы — положительная величина, он будет больше момента веса, так как не может быть величиной отрицательной. Если момент веса будет больше момента упругой силы, то колебаний не будет. Нас же интересует процесс колебаний. Как видим, неявно используется прием дополнительной информации. Поэтому sign+ относится к c ·a2, sign− относится к mgl.

Переходим ко второй задаче. Система возвращается в исходное положение, как в 1-й и 3-й задачах. Следовательно, sign + для c · a2. Sign для mgl? Мы имеем в первой задаче sign +, в третьей sign −. Учитываем философскую вилку. Интуитивно чувствуем необходимость нуля. Правильно! Почему 0, не знаем. Внимание, мы чувствуем решение интуитивно по предложенной схеме, по философской вилке. Мы получили правильный ответ,

но не знаем, как это доказать физически. Окончательный ответ:

+

0 mgl + ca2

После того, как задача решена, вернемся к началу и составим уравнения движения, чтобы понять физические особенности задачи.

Составим математические уравнения:

Перейдем к получению физического уравнения, предшествующего математическому уравнению:

Задача 1: ml 2ϕ¨ + (mgl + ca2)ϕ = 0 ;

Задача 2: ml 2ϕ¨ + ca2ϕ = 0 ;

Задача 3: ml 2ϕ¨ + (− mgl + ca2)ϕ = 0 .

Почему в задаче два не учитывается момент веса? Возвращаемся к физическому смыслу закона Ньютона:

Изменение момента количества движения системы равно изменению внешнего момента, действующего на систему.

Правильная запись уравнений движения для задач:

1.11.Резонанс (технический, математический, физический, системный)

Рассмотрим линейный осциллятор при гармоническом законе нагружения, для которого физическое уравнение движения:

Если ω → p, η → ∞. Это инженерное понятие резонанса, технический резонанс, который определяется ростом амплитуды перемещений при совпадении частоты вынужденных колебаний с частотой свободных колебаний. Свободные колебания не связаны с резонансом, с резонансом связана частота свободных колебаний. В общем операторе информации три составляющие: математическая, физическая, системная. Но системную составляющую резонанса разбиваем на две части: технический резонанс и системный резонанс. Это связано с тем, что понятие технического резонанса общепринято, а коэффициент динамичности удобен для многих инженерных задач. Зависимость η от ω · p −0 1 дана на рис. 1.16.

Совпадение по частоте сопровождающих и чисто вынужденных колебаний является истинным понятием резонанса, но дадим ему название математического. Если быть точным, то это понятие резонанса должно иметь

Системный резонанс возникает в реальных изделиях. При многократных ударных нагружениях пружинного механизма напряжения в пружине не успевают затухать к следующему удару и начинается рост напряжений от удара к удару. В более сложных системах могут возникать другие виды системного резонанса, который связан непосредственно с особенностями конструкций.

1.12. Системный метод составления уравнений движения

Структура составления уравнения движения в системном методе:

1)уравнение равновесия динамической системы в целом (аналог — составления уравнений равновесия статически неопределенных задач);

2)оператор информации нулевого действия:

а) уравнение равновесия внутренних сил; б) уравнение связей;

в) уравнение равновесия виртуальных работ; г) уравнение равновесия виртуальных мощностей;

3) дополнительная информация:

а) особенность механизмов:

–передаточные отношения внутренних скоростей подсистемы, задаваемые конструктором;

–зависимости упругих сил, сознательно задаваемые конструктором для решения технической задачи;

–законы демпфирования, определяемые конструктором;

б) особенности законов нагружения;

4) принятие гипотез дополнительной информации:

а) коэффициент восстановления; б) коэффициент неидеальности связей.

Системный метод составления уравнений движения является комплексным приемом, где применяются законы физики, математические зависимости условий равновесия, а также системная информация (принцип дополнительной информации, экспериментальные эффекты, полученные в виде опытных коэффициентов, вносим по аналогии).

Рассмотрим типичный пример из проектирования ударных механизмов [11]. Составим уравнение движения системы трех тел, связанных упругими силами и кулачковым ускорительным механизмом (рис. 1.17), для схемы на рис. 1.17 введем следующие обозначения: