Введение в инженерную интеграционную механику

гебраического момента силы относительно оси или любой точки, лежащей на этой оси.

Сложение двух параллельных сил

Простейшим примером информационной механики («решить задачу, не решая задачи») является сложение двух параллельных сил. Сначала пе-

Рис. 1.4. Сложение двух параллельных сил

В точке D «проявляем» нулевой вектор информации, который пред-

ставлен нулевым математическим вектором силы (силы S1 и S2 противоположны по направлению, равны по модулю). Цель — временно повернуть параллельные силы на углы, добиться их пересечения, уничтожить нулевой вектор информации для силы. Найдена линия действия, направление и мо-

дуль результирующей силы R. Внесение нулевого математического вектора для силы и его «уничтожение» позволило получить реальный результат, что напоминает известную сказку, как солдат из топора кашу сварил.

Момент силы относительно оси

В механике, как и в математике, принято [1, 2] проекцию вектора на ось считать скаляром, а проекцию вектора на плоскость вектором. Поэтому момент силы относительно оси называется алгебраический момент проекции

этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью [1]. Эти два положения классической механики будем подвергать сомнению с позиции интеграционной механики. В интеграционной механике введено понятие основной информации и вспомогательной. В данном случае основной информацией является информация о векторе силы, а точка, ось, плоскость — это вспомогательная информация. Из вектора силы в классическом понимании момента силы относительно оси изымается в пользу оси направление и линия действия. В кинематике проекция вектора скорости на звено называется проекцией скорости — полная аналогия с проекцией силы на ось, а вектор скорости точки относительно оси остается вектором. Пока подметим эти противоречия между статикой и кинематикой.

Пара сил

Пара сил возникает из нулевого оператора силы F (рис. 1.5), когда точка O приложения двух равных противоположных сил раздваивается и эти два нуля O и O раздвигаются на расстояние h. Эквивалентность двух пар сил как любое понятие эквивалентности несет знак =, т. е. является оператором информации нулевого действия. В одной плоскости различные пары будут эквивалентны, если их действие постоянно, что количественно определяется равенством алгебраического момента. Пара сил представляет математически свободный вектор, который несет инварианты: плоскость действия; направление вращения; постоянство алгебраического момента пары сил. Пару сил можно переносить в параллельную плоскость, в самой плоскости пару сил можно поворачивать как угодно и переносить в ее плоскости действия; можно менять плечо и силы, сохраняя при этом алгебраический момент пары и плоскость действия. Эти операции не изменяют их действия на твердое тело (принимаем под действием условное вращение, где сама ось точкой приложения не фиксирована).

Теорема о сумме моментов сил пары — сумма векторных моментов сил, входящих в состав пары, относительно любой точки не зависит от выбора точки и равна векторному моменту этой пары сил — показывает, что плоскость действия пары эквивалентна линии действия силы. Сложению двух пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях, соответствует сложение двух пересекающихся сил. Условие равновесия пар сил:

является оператором информации нулевого действия, так как система находится в равновесии под действием внешних пар сил только в том случае, когда они равны нулю.

Что наиболее сложно для понимания действия пары сил? Это перенос оси вращения пары в плоскости. Если внести новое понятие момента вектора силы относительно оси как вектора, то наглядность переноса оси в плоскости действия пары сил улучшится, так как пара сил будет определяться разностью двух векторов относительно одной оси, а разность векторов не зависит от места расположения самой оси.

h

Рис. 1.5. Формирование пары сил

Параллельный перенос силы

Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной параллельно данной силе в другой точке этого тела и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. Параллельный перенос силы в другую точку необходимо уравновесить дополнительным моментом (парой сил). Информационная составляющая данной леммы меняется как математически, так и физически (вместо одной силы появляется сила и момент), но реального физического изменения твердого тела не происходит. Опять видим важность применения оператора информации нулевого действия.

Основная теорема статики

Основная теорема статики (теорема Пуансо) является оператором информации нулевого действия. В соответствии с этой теоремой всю пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы и одной пары сил, приложенных к выбранному центру приведения. Эта единственная сила является главным

вектором для данной системы сил. Аналогично единственная пара именуется главным моментом системы сил относительно выбранного центра приведения.

Главный вектор системы сил:

Главный момент системы сил относительно точки приведения O:

Оператор информации нулевого действия выполняется только для системы в целом, так как главный момент системы сил в различных точках приведения имеет переменными линию действия, направление и модуль. Главный вектор системы сил соответствует оператору информации нулевого действия.

Теорема Вариньона

Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любой точки равен сумме моментов сил относительно той же точки [1]. Теорема Вариньона по сравнению с теоремой Пуансо показывает, что главный момент системы сил заменен просто суммой моментов относительно той же точки приведения. Опять имеем дело с оператором информации нулевого действия.

Равновесие тела под действием системы сил

Если тело под действием системы сил находится в равновесии, то и само механическое действие должно отсутствовать (перемещение и вращение):

Главный момент системы сил определяется относительно точки приведения O, в которой приложена и равнодействующая сила. Оператор информации нулевого действия показывает, что механическое равновесие не изменится от перемещения равнодействующей силы в другую точку, так как при этом поменяется и главный момент системы сил.

Инварианты системы сил

Чтобы механическое действие не изменялось, необходимо выполнение двух инвариантов. Первый инвариант системы сил: главный вектор системы сил не зависит от центра приведения:

Второй инвариант: скалярное произведение главного вектора и главного момента системы сил для любого центра приведения есть величина постоянная:

Информация меняется (A, B произвольны), но действие не меняется, поэтому проекция главного вектора системы сил на направление главного вектора всегда постоянна. Если рассматривать проекцию главного момента системы сил на направление главного вектора сил за вектор, то данный вектор будет свободным, как и главный вектор системы сил. Интеграционная механика — это механика изобретения, поэтому нами и изучаются те моменты в теоретической механике, которые лучше отражают физический смысл задач и общность методов творчества.

Парадоксы статики можно представить по граням и основанию информационной пирамиды интеграционной механики: математические парадоксы, физические, системные (прикладная философия, или методы творчества), места механики как науки.

Аксиомы статики, как стало ясно, можно сжать, поэтому это стремление сделать механику такой же точной наукой, как и математика.

Парадоксы вектора силы относительно оси и парадокс пары сил являются причиной одного порядка. Векторное исчисление является примером информационной математики, как и основной курс классической математики, включающий матричное исчисление, преобразования Фурье, разнообразные операторные методы. Вектор представляет сжатую информацию: направление, линия действия, модуль. Ось, на которую проектируется вектор, также имеет линию действия и направление. Поэтому происходит перераспределение информации: вектор силы отдает только модуль, ось оснащает данный отрезок направлением и линией действия.

В интеграционной механике должны существовать свои законы, которые и будут рождаться по мере внедрения ее в реальную практику преподавания и в решение сложных нелинейных задач. Если имеем дело с

вектором, который оснащен информацией, то он должен быть инвариантен к объектам, на которые он проектируется.

1.4.Приемы сжатия информации и аналогии в кинематике

Особенности кинематики как идеальной теории

Часть признаков идеальной теории присуща кинематике. Простота кинематики связана с тем, что в ней отсутствует понятие силы. Кинематика условно занимает по существующей классификации промежуточное положение между статикой и динамикой. Но в системном подходе это не совсем точно, так как если рассматривать основной задачей статики равновесное состояние покоя, то кинематика взаимно противоположна статике. В кинематике нет сил, есть движение, а в статике есть силы, но нет движения. Информативность кинематики достаточная, знание перемещений, скоростей и ускорений в точках, где в дальнейшем будут заданы массы, позволяет просто определить динамические силы.

Определенная системная классификация в кинематике существует: движение точки по отношению к неподвижной системе отсчета, простейшие движения твердого тела, сложное движение тела. В кинематике ярко проявляется аналогия со статикой, в частности при вращении твердого тела относительно нескольких осей. Но всех отмеченных признаков «идеальной» теории в кинематике недостаточно, чтобы считать ее «идеальной» теорией. Кинематика возникла исторически как прелюдия к пониманию более сложной механики, учитывающей и силы, и движения.

Принцип сжатия информации в способах задания движения точки

Приемы системного подхода существуют в кинематике и являются важным ее достижением.

В неподвижной системе координат задание положения, скорости и ускорения точки определяются:

В подвижной системе координат сжатие информации позволяет иметь более компактную запись:

где ρ1 — кривизна кривой в данной точке.

Сжатие информации идет по математической компоненте оператора информации, по физической этого не происходит, так как надо отслеживать орт τ (касательная к траектории движения), а также орт n (нормаль в соприкасающейся плоскости).

Дифференцирование вектора постоянного модуля

В векторной форме дифференцирование вектора постоянного модуля

где ω — вектор угловой скорости вращения вектора b.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси в форму-

ле (1.16) необходимо вектор b заменить на радиус-вектор r относительно полюса O, взятого на оси вращения твердого тела.

Формула

будет известной формулой Эйлера.

Если возьмем вращение твердого тела относительно неподвижной точки, то формула (1.16) сохраняется, но ω будет определять мгновенную угловую скорость вращения относительно мгновенной оси. Здесь очевиден прием «идеальной теории», так как сохраняется математическая оболочка формулы, но физическое содержание меняется. Это очевидно, когда переходим к определению ускорения точки при вращении твердого тела относительно неподвижной оси и при вращении относительно неподвижной точки. Если в первом случае угловое ускорение совпадает с угловой скоростью относительно неподвижной оси, то мгновенное угловое ускорение не совпадает с мгновенной угловой скоростью. Аналогия продолжается и для известных формул Пуассона:

C

VAB

A

VA

O

Рис. 1.6. Определение скоростей

B

C

α

A

aA

O

Q

B1

Рис. 1.7. Определение ускорений

Определению скорости в точке C предшествует нахождение мгновенного центра скоростей PV . Для определения мгновенного центра скоро-

стей не требуется знания VB и VA , а только линии их действия (прием информационной механики). В теоретической механике нет официального

30 ГЛАВА 1

имеет постоянную линию действия (звено AB),

признания скорости вдоль звена. Обозначим эту скорость VAB , модуль ее равен проекции скорости звена в точке A на само звено AB. Эта скорость направление и постоянный

модуль. Переносим эту скорость в точку C, где нам уже известна линия действия скорости в точке C (перпендикулярно CPV ), восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с направлением скорости точки C (операция обратная той, что делали в точке A). Этот метод известен большинству преподавателей теоретической механики, но в учебниках он не пропагандируется. Определение мгновенного центра ускорений без знания ускорения в точке B (вторая точка звена AB) предлагается в данной работе.

В 1927 году А. П. Котельников предложил редуцированные вектора и определение с их помощью ускорений при плоском движении твердого тела.

Пропаганда этого метода начата Ю. М. Зингерманом (Об одном мало известном способе определения ускорений при плоском движении твердого тела: Сб. научно-методических статей по теоретической механике. Вып. 17. М.: Высшая школа, 1986. C. 69–79). В этой работе мгновенный центр ускорения определяется при известных ускорениях в точках A и B на пересечении окружностей, имеющих диаметрами модули векторов ускорений точек A и B. Такой подход противоречит поставленной задаче кинематики. Для построения мгновенного центра ускорения Q строим редуцированное

угол α

α = arctg (A1B1 · AB−1),

приводим к вектору ускорения aA под углом α прямую линию и опускаем

−−→

на нее перпендикуляр с конца вектора AA1. Найден мгновенный центр редуцированного ускорения Q для звена AB.

Определение ускорений для колеса, катящегося без скольжения по плоскости, вызывает затруднения у студентов. На рис. 1.8 показан простой графический способ определения ускорений для любой точки колеса. Дано:

радиус колеса R, скорость центра колеса V0, ускорение центра колеса a0. Точка M — мгновенный центр скоростей, легко определить угловую скорость колеса ω, редуцированное ускорение a0. Опускаем перпендикуляр на отрезок M A и получаем мгновенный центр ускорения для редуцированных