Физика. Электричество и магнетизм. Учебное пособие для практических занятий

Задача  3–02

Плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого равно d, заряжен до напряжения U и помещен в однородное магнитное поле с индукцией B. Частица с удельным зарядом q/m, пройдя ускоряющую разность потенциалов U0, влетает в конденсатор параллельно его пластинам и продолжает двигаться внутри конденсатора с постоянной по величине и направлению скоростью. Определите неизвестную величину.

Задача  3–03

Отрицательно заряженная частица влетает с некоторой начальной скоростью в область, где создано однородное магнитное поле с индукцией B. В магнитном поле частица движется по дуге окружности радиуса R. После вылета из магнитного поля частица попадает в область однородного электрического поля и движется в направлении линии напряженности электрического поля, проходя разность потенциалов U. Конечная скорость частицы v отличается от начальной в n раз. Определите неизвестную величину. Силой тяжести, действующей на частицу, пренебречь.

31

Задача  3–04

Ион с удельным зарядом q/m, пройдя ускоряющую разность потенциалов U, влетает в область однородного магнитного поля с индукцией В под углом α к направлению вектора магнитной индукции и движется по винтовой линии, радиус витков которой равен R. За некоторое время ион совершает N полных оборотов по этой траектории. За то же время перемещение электрона равно S. Определите неизвестную величину.

Задача  3–05

Горизонтально летящий электрон с кинетической энергией W попадает в область однородного электрического поля с напряженностью E. Линии напряженности направлены вертикально вверх. Ширина области, в которой создано электрическое поле, равна L. При вылете из данной области смещение электрона в вертикальной плоскости от направления первоначального движения равно d. Сразу после вылета из области электрического поля электрон попадает в однородное поперечное магнитное поле с индукцией B, в котором движется по дуге окружности радиуса R. Определите неизвестную величину.

Задача  3–06

В области пространства, представляющей собой плоскопараллельный слой толщины d, создано однородное магнитное поле с индукцией В. Линии магнитной индукции направлены вертикально вверх и параллельны границам слоя. Протон, уско-

32

ренный разностью потенциалов U, влетает в область магнитного поля перпендикулярно границам слоя. Пройдя внутри слоя путь S, частица покидает магнитное поле, отклонившись от первоначального направления на угол a. Определите неизвестную величину.

33

4  Квазистационарные электромагнитные поля

4.1  Теория

Электрическое и магнитное поля являются компонентами единого электромагнитного поля. Связь между электрическим и магнитным полями обнаруживается в явлении электромагнитной индукции, которое заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре при любом изменении магнитного потока F, связанного с этим контуром, появляется индукционный электрический ток. Возникающая в контуре ЭДС индукции определяется как

где a – угол между направлением вектора магнитной

→

индукции B и вектором нормали к плоскости контура.

Знак минус в формуле (4.1) связан с правилом Ленца:

индукционный ток в контуре направлен так, что создаваемый им магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, стремится препятствовать тому изменению потока, которое вызывает данный ток.

Зная ЭДС индукции и сопротивление контура R, можно вычислить силу индукционного тока, величина которого оп­ ределяется в соответствии с законом Ома для замкнутого контура:

34

Заряд, протекший по контуру при изменения магнитного потока на величину DF равен

q = DFR .

Если контур с током или отдельные его части движутся, то причиной возникновения тока в контуре, является действие силы Лоренца на заряженные частицы, это действие приводит к направленному движению заряженных частиц. ЭДС индукции в проводнике длиной l, который движется со скоростью v→, равна

ei =l vB .

Если в контуре течет изменяющийся со временем ток, то изменение магнитного поля этого тока приводит к изменению магнитного потока через контур, и, как следствие, возникает

ЭДС самоиндукции eis:

is dt

где L – индуктивность контура.

Она определяется как отношение магнитного потока к силе тока в контуре:

eis = FI .

Знак минус в (4.4) показывает, что eis всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока.

Создание тока I в контуре с индуктивностью L требует совершения работы против ЭДС самоиндукции, в связи с чем контур с током обладает энергией

W = LI22 .

35

Электромагнитные колебания происходят в колебательном контуре, содержащем катушку индуктивности L и конденсатор емкостью C. Если активное сопротивление контура пренебрежимо мало, то возникают периодическое во времени изменение заряда и напряжения на конденсаторе и тока через катушку –

свободные электромагнитные колебания. Циклическая частота таких колебаний

w= LC1 .

Период колебаний

T=2pLC.

Вте моменты времени, когда ток через катушку максимален, напряжение на конденсаторе равно нулю, и наоборот: когда максимально напряжение, ток равен нулю. Полная энергия, запасенная в контуре, сохраняется, она лишь переходит из одних форм в другие: энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля.

4.2  Пример решения и оформления задачи

Круговой контур, диаметр которого D, находится в однородном магнитном поле, линии магнитной индукции которого перпендикулярны плоскости контура. Индукция магнитного поля меняется во времени с постоянной скоростью dB/dt. Сопротивление контура равно R. Выделяющаяся в контуре тепловая мощность равна P. Определите неизвестную величину.

Решение.

При изменении магнитного поля меняется магнитный поток Φ через поверхность, ограниченную круговым контуром. В соответствии с законом электромагнитной индукции (4.1), в контуре возникает ЭДС индукции. Как следствие, в проводящем контуре возникает индукционный ток I.

36

→

В случае однородного магнитного поля с индукцией B магнитный поток F (4.2) через площадь S, ограниченную плоским контуром, вычисляется по формуле

Ф = BScosa,

где a – угол между вектором нормали n→ к плоскости кон-

тура и вектором →. Как следует из условия задачи, a = 90° (ри-

B

сунок  4.1).

Рисунок  4.1 – Магнитный поток через плоскость кругового контура

Учтем, что площадь S кругового контура постоянна и

равна

S = p D2 . 4

Тогда, подставляя в (4.1) выражения для F и S, получим для модуля ЭДС индукции |ei| следующее выражение:

Значение силы тока I вычисляется по формуле (4.3):

37

Тепловую мощность P, выделяющуюся в контуре с сопротивлением R, находим по закону Джоуля-Ленца:

P = I2R.

С учетом полученного выше выражения для силы тока, окончательная формула для тепловой мощности P принимает вид

4.3  Домашние задания

Задача  4–01

Металлический диск радиуса R помещен в однородное магнитное поле с напряженностью H. Линии магнитной индукции поля параллельны оси диска. Диск вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг своей оси. Разность потенциалов между центром и ободом диска равна U. Напряженность электрического поля в точке, отстоящей на расстояние R/2 от центра диска равна E. Линейная скорость точки на краю диска равна v. Определите неизвестную величину.

38

Задача  4–02

Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L и плоского воздушного конденсатора. Площадь каждой обкладки – S, расстояние между ними – d. Сопротивление контура пренебрежимо мало. Максимальный заряд и максимальное напряжение на конденсаторе равны соответственно q и U, максимальный ток в контуре равен I. Определите неизвестную величину.

Задача  4–03

По длинному соленоиду с плотностью числа витков n протекает ток, сила которого меняется с течением времени по закону I = I0sin(wt). На соленоид плотно надет круговой виток радиуса r, имеющий сопротивление R. За время, равное периоду изменения тока в соленоиде, в витке выделяется количество тепла Q и протекает заряд q. Определите неизвестную величину. Самоиндукцией контура пренебречь.

Задача  4–04

Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L и конденсатора емкости C. Сопротивление контура пренебрежимо мало. Сила тока в контуре меняется со временем по закону I = I0sin(wt). Напряжение и заряд конденсатора в начальный момент времени соответственно равны U0 и q0. Определите неизвестную величину.

39

Задача 4–05

Круговой контур, имеющий площадь S и сопротивление R, вращается в однородном магнитном поле с постоянной частотой n вокруг оси, совпадающей с диаметром, который перпендикулярен линиям индукции однородного магнитного поля. Индукция магнитного поля равна B. За один полный оборот через контур протекает электрический заряд q. Максимальное значение тока в контуре равно I. Определите неизвестную величину. Самоиндукцией контура пренебречь.

Задача  4–06

Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L и двух параллельно соединенных конденсаторов, емкости которых C1 и C2. Сопротивление контура пренебрежимо мало. В начальный момент тока в контуре нет, конденсаторы заряжены до напряжения U0, а заряд батареи конденсаторов равен q0. Когда значение напряжения на конденсаторах равно U, ток в контуре равен I. Определите неизвестную величину.

40