Физика. Электричество и магнетизм. Учебное пособие для практических занятий

Конденсаторы – система двух или нескольких проводников,обладающаяпринебольшихразмерахбольшойемкостью,следовательно, позволяющая накопить большой заряд при сравнительнонебольшойразностипотенциалов.Емкостьконденсатора

С = Uq ,

где U – напряжение на конденсаторе (разность потенциалов между обкладками); q – заряд конденсатора.

Емкость определяется формой и размерами конденсатора и свойствами диэлектрика между его обкладками.

Емкость плоского конденсатора

С = eed0S,

где e – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конденсатор; S – площадь пластин; d – расстояние между пластинами.

Энергия заряженного конденсатора

W = qU = q2 = CU2 . 2 2C 2

1.2  Пример решения и оформления задачи

Заряд q распределен равномерно по сфере радиуса R. На расстоянии r от центра сферы значение напряженности электрического поля равно Е, а потенциал точек на поверхности сферы равен j. Определить неизвестную величину.

Решение.

В данном случае для расчета напряженности электрического поля целесообразно применять теорему Гаусса (1.2) в вакууме.

11

В формуле (1.2) поток вектора напряженности F = ∫∫EdS

S

может рассчитываться через любую замкнутую поверхность. Электрическое поле, созданное равномерно заряженной

сферической поверхностью, является центрально-симметрич-

→

ным, т.е. вектор напряженности E направлен вдоль радиуса сферы и величина напряженности зависит только от расстояния r до центра сферы. Тогда поток F удобно вычислять через сферическую замкнутую поверхность произвольного радиуса r с центром в центре заряженной сферы. На рисунке  1.1 показаны пунктиром две такие поверхности с радиусами r1 < R и r2 > R.

Рисунок  1.1 – Построение замкнутых поверхностей для вычисления потока вектора напряженности электрического поля сферы

В силу сделанных предположений о симметрии поля,

→

вектор Eсовпадает по направлению с вектором нормали в каж-

→↑↑ →

дой точке поверхности, поэтому E dS. Кроме того, значение величины напряженности Е постоянно всюду на поверхности интегрирования. Тогда:

∫∫EdS = ∫∫EdS = E ∫∫dS = ES,

S S S

где S – площадь поверхности интегрирования, т.е. S = 4pr2.

12

Окончательно для потока вектора напряженности через указанную поверхность интегрирования получим следующее выражение:

∫∫EdS =4pr2E.

S

Если r < R, то внутри поверхности интегрирования нет зарядов, т.к. заряд q распределен по поверхности сферы, следовательно:

4pr2E =0.

Поэтому при r < R, напряженность электрического поля

E = 0.

Если r > R, то внутри поверхности интегрирования находится весь заряд сферы q, следовательно:

4pr2E = q . e0

Тогда напряженность электрического поля определяют по формуле

Таким образом, внутри равномерно заряженной сферы электростатическое поле отсутствует, а вне сферы напряженность поля зависит от расстояния r так же, как поле точечного заряда (1.3), помещенного в центр системы. При r = R, функция E(r) терпит разрыв, скачком меняясь от нуля до значения

Итак, зависимость Е(r) можно представить в виде следующей обобщенной формулы:

13

Используя формулу связи напряженности и потенциала (1.4), найдем сначала потенциал точек внутри сферы при r < R:

→

При этом учтено, что вектор Eсовпадает по направлению с вектором dr→. Потенциал бесконечно удаленной точки принят за ноль. Поскольку внутри заряженной сферы E = 0, то

R

∫Edr =0.

r

Тогда, учитывая зависимость E(r) в соответствии с (1.5) при r > R, получим для потенциала внутри заряженной сферы следующее выражение:

Потенциал внутри заряженной сферы одинаков во всех точках.

Для точек вне сферы при r > R получим

Таким образом, вне заряженной сферы потенциал поля зависит от расстояния r так же, как потенциал (1.3) поля точечного заряда, помещенного в центр системы. Обобщая полученные выше формулы для потенциала, запишем зависимость j(r) для равномерно заряженной сферы в виде

14

Отметим, что при r = R потенциал, в отличие от напряженности, не испытывает разрыва.

Полагая в (1.6) r = R, выразим заряд сферы

q =4pe0Rj.

Тогда выражение для напряженности Е при r >R имеет вид

Выразим данные задачи в СИ, проверим размерность и проведем вычисления по формуле (1.7).

1.3  Домашние задания

Задача  1–01

В трех последовательных вершинах квадрата со стороной а находятся заряды q1, q2 и q3. Напряженность и потенциал электрического поля в свободной вершине равны соответственно Е и j. Определите неизвестную величину.

15

Задача  1–02

В двух противоположных по диагонали вершинах квадрата со стороной а находятся заряды q1, и q2. В центре квадрата находится заряд q3. Напряженность и потенциал электрического поля в каждой свободной вершине равны соответственно Е и j. Определите неизвестную величину.

Задача  1–03

Проводящая сфера радиуса R1, заряд которой равен q1, окружена концентрической тонкостенной проводящей оболочкой радиуса R2, по которой равномерно распределен заряд q2. В точке, лежащей на расстоянии r от центра системы, напряженность и потенциал электрического поля равны соответственно Е и j. Потенциал внутренней сферы равен j1, потенциал внешней сферы равен j2. Определите неизвестную величину.

Задача  1–04

Две проводящие сферы радиусов R1 и R2, находящиеся на расстоянии, многократно превышающем их радиусы, заряжены до потенциалов j1 и j2 соответственно, а их энергии равны W1 и W2. После того как сферы соединяют тонкой проволокой, емкостью которой можно пренебречь, потенциал сфер становится равным j. Определите неизвестную величину.

16

Задача  1–05

Пространство между обкладками плоского конденсатора целиком заполнено двумя последовательно расположенными диэлектрическими слоями с толщинами d1 и d2, диэлектрические проницаемости которых равны соответственно e1 и e2. Площадь каждой обкладки конденсатора равна S, напряжение на конденсаторе – U, энергия конденсатора – W. Определите неизвестную величину.

Задача  1–06

Внутри плоского заряженного конденсатора параллельно линиям напряженности электрического поля перемещается точечный заряд q на расстояние Dr (Dr меньше расстояния между обкладками, считать Dr > 0, если частица движется в направлении линии напряженности). При этом силы электрического поля совершают работу, равную А. Площадь каждой обкладки равна S, обкладки конденсатора притягиваются с силой F. Определите неизвестную величину.

17

2  Магнитное поле постоянного тока

2.1  Теория

Магнитное поле создается движущимися заряженными частицами или проводниками с током. Основной характеристи-

→

кой магнитного поля является вектор магнитной индукции B. Магнитное поле, созданное элементом проводника, определяется законом Био-Савара-Лапласа:

где I – ток, текущий по элементу проводника dl; вектор dl→ направлен по касательной к проводнику (рисунок  2.1); вектор r→ направлен от элемента проводника к точке пространства, в которой вычисляется магнитная индукция. Магнитная постоянная m0 = 4p10–7 Гн/м.

Рисунок  2.1 – Магнитное поле элемента проводника с током

Для магнитной индукции выполняется принцип суперпозиции: магнитная индукция, созданная несколькими проводниками с током, в любой точке пространства равна сумме

18

векторов магнитной индукции, созданных каждым проводником в отдельности:

→

Помимо вектора магнитной индукции B, для описания магнитного поля вводится вспомогательный вектор напряжен-

→ → →

ности магнитного поля H. В вакууме векторы B и H направлены одинаково и связаны соотношением

H = B . (2.3) m0

→

Для магнитного поля поток вектора B через любую замкнутую поверхность S равен нулю:

∫∫BdS =0.

S

Эта теорема выражает в форме постулата тот факт, что линии магнитной индукции замкнуты.

Другое важное утверждение, касающееся свойств магнитного поля постоянных токов, выражается теоремой о цир-

→

куляции вектора напряженности H:

Lk

→

Циркуляция вектора Hпо произвольному контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых контуром. Токи, направление которых совпадает с направлением правой нормали к контуру, входят в сумму (2.4) с положительным знаком. Направление правой нормали совпадает с поступательным движением правого буравчика, если его вращать в направлении обхода контура.

На основе закона Био-Савара-Лапласа (2.1) и принципа суперпозиции (2.2) можно получить выражение для магнитной индукции поля, созданного проводниками с током различной формы.

19

Магнитное поле, созданное отрезком прямого проводника с током, определяется следующим выражением:

где расстояние r и углы a1 и a2 обозначены на рисунке  2.2.

Рисунок  2.2 – Магнитное поле, созванное отрезком прямого проводника с током

Выражение для магнитного поля длинного прямого проводника можно получить, если в выражении (2.5) принять следующие значения углов: a1 = 0 и a2 = p:

где r – расстояние от проводника до точки пространства, в которой вычисляется магнитная индукция.

Магнитное поле на оси длинного соленоида

B =m0In,

где n – плотность числа витков (число витков на единицу длины соленоида).

20