Физика. Электричество и магнетизм. Учебное пособие для практических занятий
.pdfМагнитное поле на оси кругового витка с током
B = |
m |
0 |
|
IR2 |
, |
|
2 |
(R2 +r2 )3/2 |
|||||
|
|
|
||||
где R – радиус витка; r – расстояние от центра витка до точки на оси витка.
Для характеристики контура с током вводят понятие
магнитного момента контура:
pm = ISn,
где I – ток в контуре; S – площадь контура; n→ – единичный вектор положительной (правой) нормали к плоскости контура.
→
На контур с током в магнитном поле с индукцией B действует вращающий момент (момент сил), который определяется по формуле
M = pmB .
На элемент проводника с током в магнитном поле с ин-
→
дукцией B действует сила Ампера:
dF = I dl;B ,
где dl→ – вектор, совпадающий по направлению с током I и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Полученные выше выражения для магнитной индукции с учетом формулы (2.3) можно преобразовать в выражения для определения напряженности магнитного поля в вакууме.
2.2 Пример решения и оформления задачи
По двум длинным параллельным прямым проводам текут в одном направлении токи I1 и I2. Расстояние между прово-
21
дами равно d. Значение магнитной индукции в точке, лежащей на расстоянии r1 от провода с током I1 и на расстоянии r2 от провода с током I2, равно B. Определите неизвестную величину.
I1, А |
I2, А |
r1, см |
r2, см |
d, см |
B, мкТл |
0,42 |
0,83 |
45 |
30 |
37 |
? |
|
|
|
|
|
|
Решение.
Токи, текущие по проводникам создают магнитные поля,
→ →
векторы магнитной индукции которых обозначим B1 и B2 (рисунок 2.3).
Рисунок 2.3 – Магнитное поле, созданное двумя длинными параллельными проводниками
→ →
Каждый из векторов B1 или B2 образует с направлением тока в соответствующем проводнике и с вектором r→1 или r→2 правую тройку ортогональных векторов. Поэтому для выбранного на рисунке 2.3 направления токов угол между вектора-
→ |
→ |
|
и r . |
ми B |
и B оказывается равным углу между векторами r |
||
|
|
→ |
→ |
1 |
2 |
→ |
1 2 |
Индукцию результирующего магнитного поля B можно определить на основе принципа суперпозиции:
B = B1 +B2.
→ →
Для определения модулей векторов B1 и B2 воспользуемся формулой вычисления для магнитной индукции поля, созданного длинным прямолинейным проводником с током
22
(2.6). Используя эту формулу, получим следующие выражения для В1 и В2:
B |
= m0I1 |
; B |
= m0I2 . |
(2.7) |
1 |
2pr |
2 |
2pr |
|
|
1 |
|
2 |
|
→
Модуль результирующего вектора B найдем по теореме косинусов:
B2 = B2 |
+B2 |
+2B B cosa. |
(2.8) |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
Величину cosa определим также по теореме косинусов, используя расстояние между токами и расстояния от токов до точки вычисления магнитной индукции поля:
cosa = |
r2 |
+r2 |
−d2 |
|
|
1 |
2 |
|
. |
(2.9) |
|
|
2r r |
||||
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
|
|
Подставляя в (2.8) формулы (2.7) и (2.9), получим для результирующего значения магнитной индукции следующее выражение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
I |
2 |
|
I |
2 |
I1I2 |
(r12 +r22 −d2 ) |
|
|
|
B = |
|
0 |
|
1 |
|
+ |
2 |
|
+ |
|
|
. |
|
2p |
|
|
|
(r1r2 )2 |
|||||||||
|
r1 |
r2 |
|
|
|
|
|||||||
Выразим данные задачи в СИ, проверим размерность и проведем вычисления.
I1 = 0,42 |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м2кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I2 = 0,83 А |
|
|
|
|
Гн |
|
А2 |
|
|
|
|
|
А |
|
кг |
|
|
|
|
||||||
[В] |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
d = 0,37 м |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
с А |
|
|
|
|
= |
|
= Тл; |
|
|
|
|||||
м |
м |
2 |
|
|
м |
|
|
м |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
r1 = 0,45 |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с А |
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 3,14 |
10−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
r2 = 0,30 |
м В = |
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 3,14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,42 2 |
|
0,83 2 |
|
|
0,42 0,30 (0,452 +0,302 −0,372 ) |
|
|
|||||||||||||
|
|
× |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
||||
|
|
0,45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,45 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0,30 |
|
|
|
|
|
|
0,30) |
|
|
||||||||||
|
|
=0,68 10−6 Тл =0,68 мкТл. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответ: В = 0,68 мкТл.
23
2.3 Домашние задания
Задача 2–01
По двум длинным параллельным прямым проводам текут в противоположных направлениях токи I1 и I2. Расстояние между проводами равно d. В точке, лежащей на равном расстоянии d/2 от каждого провода, значение магнитной индукции равно B0. Значение магнитной индукции в точке, лежащей на расстоянии r1 от провода с током I1 и на расстоянии r2 от провода с током I2, равно B. Определите неизвестную величину.
Шифр |
I1, А |
I2, А |
r1, см |
r2, см |
d, см |
B0, мкТл |
B, мкТл |
1 |
4,1 |
7,9 |
21 |
17 |
_ |
14,1 |
? |
2 |
8,2 |
2,3 |
45 |
30 |
37 |
_ |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
_ |
3,8 |
12 |
24 |
29 |
8,82 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5,4 |
_ |
31 |
16 |
41 |
8,39 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4,5 |
2,9 |
27 |
13 |
_ |
? |
2,90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2–02
В центре плоского квадратного контура со стороной a, по которому протекает ток I1, расположен маленький круговой виток радиуса r (r << a), по которому протекает ток I2. Плоскость витка образует с плоскостью квадратного контура угол a. Магнитный момент кругового витка равен pm. Вращающий момент, действующий на круговой виток, равен M. Определите неизвестную величину.
Шифр |
I1, А |
a, см |
I2, А |
r, мм |
a, градус |
pm, мкА м2 |
М, нН м |
1 |
? |
71 |
0,85 |
6,4 |
28 |
_ |
0,78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2,7 |
67 |
_ |
_ |
35 |
66,4 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4,0 |
? |
0,48 |
3,0 |
19 |
_ |
0,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3,2 |
84 |
_ |
_ |
47 |
? |
0,70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4,9 |
58 |
0,63 |
3,5 |
? |
_ |
0,11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2–03
По трем длинным параллельным прямым проводам текут токи I1, I2 и I3. Если один из токов I < 0, то его направление противоположно направлению двух других токов. Провода проходят через три последовательные вершины квадрата, сторона
24
которого равна a. Плоскость квадрата перпендикулярна проводам. Значение напряженности магнитного поля в свободной вершине квадрата равно H. Определите неизвестную величину.
Шифр |
I1, А |
I2, А |
I3, А |
a, см |
H, А/м |
1 |
5,9 |
3,1 |
–3,4 |
25 |
? |
|
|
|
|
|
|
2 |
–4,8 |
2,5 |
1,9 |
11 |
? |
3 |
1,5 |
–4,2 |
3,7 |
18 |
? |
|
|
|
|
|
|
4 |
2,1 |
5,6 |
4,5 |
34 |
? |
|
|
|
|
|
|
5 |
1,2 |
5,5 |
–6,1 |
42 |
? |
Задача 2–04
По длинному прямому цилиндрическому проводу, радиус сечения которого равен R, течет ток постоянной плотности j. На расстояниях и r1 и r2 от центра провода значения напряженности магнитного поля одинаковы и равны H. Максимальное значение напряженности магнитного поля, созданного проводом, равно H0. Определите неизвестную величину.
Шифр |
j, кА/м2 |
R, мм |
r1, мм |
r2, мм |
H0, А/м |
H, А/м |
1 |
2,4 |
_ |
13 |
21 |
? |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
_ |
15 |
_ |
37 |
14,5 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
? |
27 |
_ |
41 |
_ |
7,14 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
_ |
32 |
18 |
_ |
10,5 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0,67 |
_ |
25 |
_ |
_ |
? |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2–05
По двум длинным параллельным прямым проводам текут в одном направлении токи I1 и I2. Расстояние между проводами равно d. Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины проводов, равна F. Значение магнитной индукции в точке, лежащей на равном расстоянии d от каждого провода, равно B. Определите неизвестную величину.
Шифр |
I1, А |
I2, А |
d, см |
F, мкН/м |
B, мкТл |
1 |
7,2 |
_ |
37 |
13,6 |
? |
|
|
|
|
|
|
2 |
6,5 |
2,9 |
_ |
? |
6,27 |
|
|
|
|
|
|
3 |
_ |
3,8 |
29 |
12,3 |
? |
|
|
|
|
|
|
4 |
5,1 |
_ |
41 |
? |
2,79 |
|
|
|
|
|
|
5 |
4,3 |
7,9 |
_ |
3,09 |
? |
|
|
|
|
|
|
25
Задача 2–06
По плоскому круговому витку, магнитный момент которого равен p, а радиус равен R, протекает ток I1. Длинный прямой провод с током I2 перпендикулярен оси витка и пересекает ее на расстоянии d от центра витка. Напряженность магнитного поля в центре витка равна H. Определите неизвестную величину.
Шифр |
I1, А |
p, мА м2 |
R, см |
I2, А |
d, см |
H, А/м |
1 |
_ |
? |
7,5 |
5,3 |
17 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6,5 |
_ |
10 |
2,4 |
? |
33 |
3 |
3,3 |
47 |
_ |
8,1 |
11 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
_ |
77 |
? |
9,7 |
23 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3,6 |
_ |
21 |
? |
9,5 |
15 |
26
3 Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях
3.1 Теория
→
В электрическом поле с напряженностью E на частицу с зарядом q действует сила
FЭ =qE.
Работа этой силы при перемещении частицы из точки с потенциалом j1 в точку с потенциалом j2 равна
A12 =q(j1 −j2 ).
Эта работа приводит к изменению кинетической энергии частицы
mv2 2 − mv2 1 =q(j1 −j2 ),
где m – масса частицы; v1,2 – скорость частицы точке 1 и 2 соответственно.
На движущуюся заряженную частицу в магнитном поле действует сила Лоренца:
FЛ =q[v B],
→
где q – заряд частицы; v→ – скорость; B – вектор магнитной индукции.
Модуль силы Лоренца равен
FЛ = q vBsina,
где a – угол между направлением скорости и направле-
→
нием вектора B.
Если частица движется параллельно линиям однородного магнитного поля, то сила Лоренца равна нулю.
27
Поскольку сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы, то работа этой силы равна нулю. Таким образом, сила Лоренца не меняет кинетическую энергию частицы и модуль
еескорости, но меняет направление движения частицы.
Воднородном магнитном поле частица движется по окружности, если скорость частицы перпендикулярна линиям магнитной индукции. Радиус окружности определяется выражением
R = mvq B.
Если скорость частицы направлена под некоторым углом a к линиям однородного магнитного поля (a ≠ 0, p/2, p), то движение частицы происходит по винтовой линии с радиусом витков
R = mvqsinB a.
Шаг винтовой линии
h =2pmvqcosB a.
3.2 Пример решения и оформления задачи
Электрон влетает в область однородного магнитного поля перпендикулярно линиям магнитной индукции. Радиус кривизны траектории частицы равен R, период обращения равен Т, на частицу со стороны магнитного поля действует сила F. Определите неизвестную величину.
R, см |
Т, мкс |
F, Н |
|
|
|
4,0 |
2,0 |
? |
|
|
|
Решение.
Поскольку скорость электрона перпендикулярна линиям магнитной индукции, то в однородном магнитном поле электрон
28
будет двигаться по окружности радиуса R (рисунок 3.1) с постоянной по величине скоростью под действием силы Лоренца:
FЛ =e v B ,
где e = –1,6 10–19 Кл – заряд электрона. Поскольку ско-
→
рость частицы перпендикулярна B то модуль силы Лоренца F равен
F |
= |
e |
vB. |
(3.1) |
|
|
|
|
|
Рисунок 3.1 – Движение электрона по окружности в однородном магнитном поле
Запишем второй закона Ньютона с учетом выражения для силы Лоренца:
maц =e v B , |
(3.2) |
где aц – центростремительное ускорение, которое определяется по формуле
a = |
mv2 |
. |
(3.3) |
|
|||
ц |
R |
|
|
|
|
|
Масса электрона m = 9 10–31 кг. Подставляя (3.3) в (3.2) и переходя к скалярной записи, получим следующее уравнение:
mv2 |
= |
|
e |
|
vB. |
(3.4) |
|
|
|||||
R |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
29
Из уравнения (3.4) можно выразить радиус окружности R
R = |
mv |
. |
(3.5) |
|
|
||||
e |
B |
|
||
|
|
|||
Период Т обращения частицы по окружности не зависит ни от скорости частицы, ни от радиуса окружности, а определяется удельным зарядом частицы и магнитной индукцией:
T = |
2pR |
= |
2pm |
. |
(3.6) |
||
|
|
||||||
v |
|
e |
B |
|
|||
|
|
|
|
||||
Выразив из (3.5) и (3.6) v и B, подставим эти параметры в (3.1) и получим окончательную формулу для силы Лоренца F:
F = 4p2mR .
T2
Выразим данные задачи в СИ, проверим размерность и проведем вычисления.
R = 0,040 м |
[F]= |
кг м |
=Н; |
|
|
|
|
Т = 2,0 10–6 с |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
||||
m = 9 10–31 кг |
|
|
с |
|
|
|
|
|
4 |
3,142 9 10−31 0,040 |
|
|
|
||
F = ? |
F = |
=3,5 10 |
−19 |
Н. |
|||
|
|
(2,0 10−6 )2 |
|
||||
|
Ответ: F = 3,5 10–19 Н. |
|
|
|
|||
3.3 Домашние задания
Задача 3–01
Электрон движется по окружности радиуса R в однородном магнитном поле с индукцией B. Кинетическая энергия электрона равна W. В некоторый момент времени параллельно магнитному полю включается однородное электрическое поле с напряженностью E. Через время t кинетическая энергия электрона увеличивается в n раз. Определите неизвестную величину.
30