Математические методы исследования. Сборник задач

9. Составить матрицы инцидентности и смежности для следующих графов:

12. Для графов из предыдущего задания построить матрицы инцидентности.

Список рекомендуемой литературы:

1.Акимов, О. Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы [Текст] / О. Е. Акимов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. –С. 234–238.

2.Москинова, Г. И. Дискретная математика [Текст] / Г. И. Москинова. –

М.: Логос, 2007. – С. 195–209, 215–221.

31

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 6

4 часа

Элементы теории массового обслуживания

Цель работы: познакомиться с особенностями использования теории массового обслуживания для анализа документальных и читательских потоков.

Задачи работы:

1.Рассмотреть основные модели систем массового обслуживания.

2.Приобрести навыки вычисления характеристик эффективности системы массового обслуживания при анализе документальных и читательских потоков.

Основные теоретические сведения:

Система массового обслуживания (СМО) – система, которая произ-

водит обслуживание поступающих в неё заявок.

СМО называется открытой, если интенсивность поступающего на неё потока заявок не зависит от состояния самой СМО.

Поток заявок называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа заявок в определённый промежуток времени зависит только от длины промежутка и не зависит от того, когда начинается этот временной промежуток.

Поток заявок называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся промежутков времени число заявок, попадающих на один из них, не зависит от числа заявок, попадающих на другие.

Поток заявок называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок времени двух или более заявок пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной заявки.

Если поток заявок стационарен, ординарен и не имеет последейст-

вия, то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: z – среднее число заявок в СМО;

r – среднее число заявок в очереди;

32

tсист – среднее время пребывания заявки в СМО; tоч – среднее время пребывания заявки в очереди; tобсл – среднее время обслуживания заявки;

k – среднее число занятых каналов;– интенсивность потока заявок;

– интенсивность потока обслуживаний;

А– абсолютная пропускная способность; Q – относительная пропускная способность; Ротк – вероятность отказа.

Для любой открытой системы массового обслуживания в предельном

стационарном режиме среднее время пребывания заявок в системе tсист выражается через среднее число заявок в системе z с помощью формулы:

tсист z / . (1)

Среднее время пребывания заявки в очереди tоч выражается через среднее число заявок в очереди r формулой Литтла:

tоч r / . (2)

Формулы (1) и (2) справедливы для любой открытой СМО (одноканальной, многоканальной, при любых видах потоков заявок и обслуживаний); единственное требование к потокам заявок и обслуживаний – чтобы они были стационарными.

Аналогично универсальное значение для открытых СМО имеет фор-

33

Если граф состояний СМО представлен в виде схемы гибели и размножения, показанной на рисунке 1, то финальные вероятности при этом выражаются следующими формулами:

Для среднего числа заявок (в очереди или в системе) применяется следующая формула:

kxk 1 xx2 . (5)

k 1

Ниже приводятся формулы, выражающие финальные вероятности состояний и характеристики эффективности для некоторых часто встречающихся типов СМО.

1. Простейшая СМО с отказами (задача Эрланга).

На n-канальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с параметром 1/ tобсл . Состояния СМО нумеруются по числу заявок, находящихся в СМО (в силу отсутствия очереди, оно совпадает с числом занятых каналов):

x0 – СМО свободна;

x1 – занят один канал, остальные свободны; ...

xk – занято k каналов, остальные свободны (1 k n ); …; xn – заняты все n каналов.

Финальные вероятности состояний выражаются формулами Эрланга:

При больших значениях n вероятности состояний (6) удобно вычислять через табулированные функции:

P(m,a) am e a (распределение Пуассона) (8) m!

из которых первую можно выразить через вторую:

P(m, a) R(m, a) R(m 1, a) . (10)

Пользуясь этими функциями, формулу Эрланга (5) можно переписать в виде:

pk P(k, ) / R(n, ) (k=0, 1, ..., n). (11)

2. Простейшая одноканальная СМО с неограниченной очередью.

На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок

синтенсивностью λ. Время обслуживания – показательное с параметром

1/ tобсл . Длина очереди не ограничена. Финальные вероятности существуют только при / 1 (при 1 очередь растет неограниченно).

Состояния СМО нумеруются по числу заявок в СМО, находящихся в очереди или обслуживаемых:

x0 – СМО свободна;

x1 – канал занят, очереди нет;.

x2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди; …; xk – канал занят, k–1 заявок стоят в очереди; …

Финальные вероятности состояний выражаются формулами:

среднее число занятых каналов (или вероятность того, что канал занят) k / . (15)

3. Простейшая одноканальная СМО с ограничением по длине очереди.

На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с параметром

35

1/ tобсл . В очереди m мест. Если заявка приходит в момент, когда все эти места заняты, она получает отказ и покидает СМО. Состояния СМО:

x0 – СМО свободна;

x1 – канал занят, очереди нет;.

x2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди; …; xk – канал занят, k–1 заявок стоят в очереди; … xm+1 – канал занят, m заявок стоят в очереди.

Финальные вероятности состояний существуют при любом / и равны:

Характеристики эффективности СМО:

A (1 pm 1) ; Q 1 pm 1 ; Pотк pm 1 . (17)

Среднее число занятых каналов (вероятность того, что канал занят): k 1 p0 . (18)

Среднее число заявок в очереди:

r 2 1 m (m 1 m ) . (19) (1 m 2 )(1 )

Среднее число заявок в СМО:

z r k . (20)

По формуле Литтла:

tсист z / ; tоч r / . (21)

4. Простейшая многоканальная СМО с неограниченной очередью.

На n-канальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания одной заявки – показательное с параметром 1/ tобсл . Финальные вероятности существуют только при/ n 1, где / . Состояния СМО нумеруются по числу заявок в СМО:

x0 – СМО свободна;

x1 – занят один канал; …;

xk – занято k каналов (1 k n ); …; xn – заняты все n каналов;

36

xn+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди; …; xn+r – заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди; …; Финальные вероятности состояний выражаются формулами:

С помощью функций P(m, a) и R(m, a) формулы (21) могут быть приведены к виду

z r k r ; (25)

tсист z / ; tоч r / . (26)

5. Простейшая многоканальная СМО с ограничением по длине очереди.

Условия и нумерация состояний те же, что в п. 4, с той разницей, что число m мест в очереди ограничено. Финальные вероятности состояний существуют при любых λ и μ и выражаются формулами:

z r k ; (30)

tоч r / ; tсист z / . (31)

37

Упражнения:

1.В библиотеке обслуживание читателей проходит в три этапа: 1) поиск документов по электронному каталогу; 2) проверка читательского требования библиотекарем-консультантом; 3) получение документа в отделе хранения основного фонда. В библиотеку прибывает простейший поток покупателей с интенсивностью λ=45 человек/ч.

Вотделе каталогов имеется четыре компьютера, занимая которые, читатели могут самостоятельно осуществлять поиск документа по электронному каталогу. Среднее время поиска документа и распечатки

требования t1 5 минут. Выбрав книгу, читатель направляется к библиоте- карю-консультанту, где вторично становится в очередь (консультант в библиотеке один). Среднее время проверки читательского требования t2 1 минута. После этого читатель идёт в отдел хранения основного фонда, где становиться в новую очередь и получает документ. В отделе хранения основного фонда работают три сотрудника, среднее время выдачи документа t3 2 минуты. Все потоки заявок простейшие.

Рассматривая библиотеку как трёхфазную СМО, найти характеристики её эффективности: среднее число читателей в очереди к каждой фазе обслуживания ( r1 , r2 , r3 ); среднее число читателей, связанных с каждой фазой обслуживания ( z1 , z2 , z3 ); среднее время ожидания читателя в оче-

реди к каждой фазе (tоч1 ,tоч2 ,tоч3 ); среднее время пребывания читателя в ка-

ждой фазе (tсист1 ,tсист2 ,tсист3 ); общее среднее число читателей во всех трёх очередях ( r ); общее среднее число читателей в библиотеке ( z ); общее среднее время, проводимое читателем в очередях (tоч ); общее среднее время, затрачиваемое читателем на получение документа в библиотеке (tсист ).

Дополнительно ответить на следующие вопросы: 1) в каком звене и как нужно улучшить обслуживание для того, чтобы сократить затраты времени читателей? 2) Как можно было бы учесть тот факт, что не все читатели находят себе подходящий документ, и какая-то доля α из них (0< α <1) уходит из библиотеки не получив книги?

38

2.На сервер (одноканальная СМО с отказами) поступает простейший по- ток запросов с интенсивностью λ=0,4 вызов/мин. Средняя продолжительность обработки запроса tобсл 3 мин.; время обработки запроса имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что в момент обращения сервер будет свободен и вероятность того, что в это время сервер будет обрабатывать поступивший ранее запрос (финальные вероятности р0 и р1), а также характеристики эффективности системы: абсолютную пропускную способность А, относительную пропускную способность Q, вероятность отказа Ротк, среднее число занятых каналов k .

3.Отдел обработки в научной библиотеке, в который поступает простейший поток документов с интенсивностью λ=2 документа в час, пред-

ставляет собой одноканальную СМО с неограниченной очередью. Время обработки одного документа имеет показательное распределение со средним значением tобсл 20 мин. Найти финальные вероятности состояний СМО, среднее число документов z которые обрабатываются отделом, среднее время tсист пребывания документа в отделе, среднее

время tоч пребывания документа в очереди.

4.Условия предыдущей задачи усложняются тем, что в отделе обработки могут храниться одновременно не более трёх документов (включая обрабатываемый). Если документ поступает в момент, когда в отделе уже находятся три документа, его отправляют на склад на временное хранение (пока не освободиться место в отделе обработки). За один час хранения документа на складе библиотека несёт расходы x рублей. Определить среднесуточные расходы, которые придётся нести библиотеке за хранение документов на складе в ожидании обработки.

5.Оценить экономическую эффективность работы справочно-библиогра- фического отдела, имеющего двух библиографов (n=2) предоставляющих платные услуги по библиографическому поиску и систематизации документов. В отдел поступают заявки от читателей с интенсивностью λ=4 заявки/ч. Среднее время обслуживания одной заявки tобсл 0,8 ч. Каждая обслуженная заявка приносит доход с = 200 руб. Зарплата каж-

дого библиографа составляет 100 руб./ч. Решить: выгодно или невыгод-

39

но в экономическом отношении увеличить число библиографов в отделе до трёх?

6.Подсчитать характеристики эффективности А, Q, Ротк , k , r , z , tоч , tсист для простейшей одноканальной СМО с тремя местами в очереди (m=3)

нятся, если: 1) увеличить число мест в очереди до m=4; 2) число каналов обслуживания увеличится до n=2 (при этом m=3)?

7.В электронном ресурсном центре областной библиотеки работают два специалиста (n=3) оказывающих читателям услугу по поиску информации в Интернет на иностранных языках, а в коридоре имеется три стула (m=3) для ожидания приёма. Поток читателей простейший с интенсив- ностью λ=1,2 читателя/ч. Время обслуживания читателя – показательное со средним значением tобсл 20 мин. Если все три стула в коридоре заняты, читатель в очередь не становится. Определить среднее число читателей, обслуживаемых за час, среднюю долю обслуженных читателей из числа пришедших, среднее число занятых стульев в коридоре, сред- нее время tсист , которое читатель проведёт в коридоре и в кабинете; то же самое среднее время при условии, что читатель будет обслужен.

8.Отдел ксерокопирования и тиражирования документов научной библиотеки (одноканальная СМО с неограниченной очередью) оказывает услуги по ксерокопированию или сканированию документов. Читателей

желающих ксерокопировать документы приходит в среднем трое за 20 минут, а сканировать – двое за 20 минут. Поток читателей можно считать простейшим. Работник отдела в среднем обслуживает трёх читателей за 10 минут. Время обслуживания – показательное. Какие существуют финальные вероятности состояний системы, вычислить первые три из них? Найти характеристики эффективности отдела ксерокопирования и тиражирования ( z , r , tсист , tоч ).

9. В отделе периодических изданий областной библиотеки имеется два экземпляра некоторого журнала (n=2); если в момент обращения читателя интересующий его журнал находится «на руках», то он может

40