Математические методы исследования. Сборник задач

Список рекомендуемой литературы:

1.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2001. – С. 206–207.

2.Мотылев, В. М. Основы количественных исследований в библиотечной теории и практике [Текст] / В. М. Мотылев. – Л.: Наука, 1988. – С. 111–121.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 4

2 часа

Элементы булевой алгебры

Цель работы: познакомиться с основами булевой алгебры.

Задачи работы:

1.Сформировать умение представлять высказывания в виде логических формул и устанавливать их логические значения.

2.Приобрести навыки равносильных преобразований формул.

Основные теоретические сведения:

Высказывание – это всякое повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» (обозначается буквой И или цифрой 1) и «ложь» (обозначается буквой Л или цифрой 0).

Среди основных логических операций над высказываниями выделяют: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию.

Отрицанием (инверсией) высказывания x называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание x ложно,

Конъюнкцией (логическим произведением) двух высказываний x и y

называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба

21

высказывания x, y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно. Обозначается символом x y (или x & y ), читается « x и y ».

Дизъюнкцией (логической суммой) двух высказываний x и y называ-

ется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний x, y истинно, и ложным, если они оба ложны. Обозначается символом x y , читается «x или y ».

Импликацией (логическим следованием) двух высказываний x и y на-

зывается новое высказывание, которое считается ложным, если x истинно, a y – ложно, и истинным во всех остальных случаях. Обозначается символом x y (или x y ), читается «если x, то y» или «из x следует y».

Эквиваленцей (эквивалентностью, равнозначностью) двух высказы-

ваний x и y называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания x, y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях. Обозначается символом x y (или x ~ y), читается «для того, чтобы x, необходимо

и достаточно, чтобы y» или «x тогда и только тогда, когда y». Таблица истинности для этих логических операций такова:

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называ-

ется элементарным (или простым).

Высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, называется сложным

(или составным).

Логическое значение формулы полностью определяется логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний. Все возможные логические значения формулы, в зависимости от значений входящих в нее элементарных высказываний, могут быть описаны полностью с помощью таблицы истинности. Если формула содержит n элементарных высказываний, то таблица истинности содержит 2n строк.

22

Две формулы булевой алгебры A и B называются равносильными ( A B ) , если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний.

Формула A называется тождественно истинной (или тавтологией),

если она принимает значение «истина» при всех значениях входящих в нее переменных.

Формула A называется тождественно ложной, если она принимает значение «ложь» при всех значениях входящих в нее переменных.

Важнейшие равносильности булевой алгебры можно разбить на три группы.

1.Основные равносильности:

1.x x x – законы идемпотентности.

2.x x x

3.x 1 x

4.x 1 1

5.x 0 0

6.x 0 x

7.x x 1 – закон противоречия.

8.x x 1 – закон исключенного третьего.

9.x x – закон снятия двойного отрицания.

10.x y x x

– законы поглощения.

11.x y x x

2.Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:

1.x y x y y x

2.x y x y

3.x y x y

4.x y x y

5.x y x y

6.x y x y

3.Равносильности, выражающие основные законы булевой алгебры:

1.x y y x – коммутативность конъюнкции.

2.x y y x – коммутативность дизъюнкции.

3.x y z x y z – ассоциативность конъюнкции.

23

4.x y z x y z – ассоциативность дизъюнкции.

5.x y z x y x z – дистрибутивность конъюнкции отно-

сительно дизъюнкции.

6. x y z x y x z – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

Используя равносильности , и групп можно часть формулы или формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул называются равносильными.

Формула A считается проще равносильной ей формулы B, если она содержит меньше букв, меньше логических операций. При этом обычно операции эквивалентность и импликация заменяются операциями дизъюнкции и конъюнкции, а отрицание относят к элементарным высказываниям.

Упражнения:

1.Какие из следующих предложений являются высказываниями:

1)Спроектированы обеспечивающие подсистемы АИС.

2)Назовите устройство ввода информации.

3)По целевому назначению сайты делятся на платные и бесплатные.

4)Какие указатели содержит «Книжная летопись»?

5)Рассеяние публикаций – факт опубликования статей определённой тематики в непрофильных журналах.

6)Это высказывание ложно.

2.Представить логическими формулами следующие высказывания:

1)Разработана инфологическая и датологическая модель базы данных.

2)Высказывание может быть истинным или ложным.

3)Документы, выходящие однократно и не имеющие продолжения, являются непериодическими.

4)Документы, распространяемые от имени государственных органов или общественных организаций, содержащие материалы нормативного или директивного характера, являются официальными.

5)Если Интернет подключен, то антивирусная система обновляется. Интернета нет, а антивирусная система обновляется.

6)Что в лоб, что по лбу.

24

3.Пытаясь вспомнить победителей прошлогодней студенческой конференции, пять бывших слушателей конференции заявили:

1)Антон был вторым, а Борис – пятым.

2)Виктор был вторым, а Денис – третьим.

3)Григорий был первым, а Борис – третьим.

4)Антон был третьим, а Евгений – шестым.

5)Виктор был третьим, а Евгений – четвёртым.

Впоследствии выяснилось, что каждый слушатель ошибся в одном из двух своих высказываний. Каково было истинное распределение мест на конференции?

4.Вычислить значение формул при указанных наборах:

1) Q (P R (R Q)) при (P, Q, R)=(0, 1, 1) и (P, Q, R)=(0, 0, 0);

2) P Q R (P Q) S при (P, Q, R, S)=(1, 0, 0, 1) и (P, Q, R, S)= (1, 1, 0, 0).

5.Составьте истинностные таблицы следующих формул:

1)(P Q) (P Q P) ; 2) S T P Q P (Q T ) ;

6.Относительно каждой из приведенной ниже формул укажите: достаточно ли приведенных сведений для определения значения формулы. Если достаточно, укажите это значение. Если недостаточно, то покажите, что формула принимает как значение 1, так и значение 0.

7.Доказать равносильность x y x y .

8.Упростить формулу A (x y x y) y .

9.Доказать, что формула A x ( y x) тождественно истинная.

10.Доказать равносильность:

25

Список рекомендуемой литературы:

1.Акимов, О. Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы [Текст] / О. Е. Акимов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – С. 7–32.

2.Лихтарников, Л. М. Математическая логика [Текст]: курс лекций, задач- ник-практикум / Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачёва. – СПб.: Лань, 2001. –

С. 9–23, 174–185.

3.Москинова, Г. И. Дискретная математика [Текст] / Г. И. Москинова. –

М.: Логос, 2007. – С. 111–120, 130–133, 142–144.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

2 часа

Основные понятия теории графов

Цель работы: познакомиться с основными понятиями теории графов.

Задачи работы:

1.Рассмотреть различные виды графов.

2.Познакомиться со способами представления графов.

Основные теоретические сведения:

Графом называется непустое множество точек и множество отрезков, оба конца которых принадлежат заданному множеству точек. Данные точки называются вершинами графа, а отрезки линий, соединяющие эти точки – ребрами графа.

Вершины, соединенные ребром, называются смежными. Ребра, имеющие общую вершину, тоже называются смежными.

26

Ребро и любая из его вершин называются инцидентными.

Граф называется ориентированным (или орграфом), если все его вершины упорядочены и ребра имеют направления.

Каждый граф можно представить в пространстве множеством точек, соответствующих вершинам, которые соединены линиями, соответствующими ребрам (или дугам – в последнем случае направление обычно указывается стрелочками) – такое представление называется укладкой графа. При изображении графов на рисунках или схемах отрезки могут быть прямолинейными или криволинейными.

Матрицей смежности графа называется матрица A=||aij||, i=1,...,n; j = 1, ..., n, у которой элемент aij равен числу ребер, соединяющих вершины vi и vj (соответственно, идущих из вершины vi в вершину vj).

Матрицей инцидентности графа называется матрица B=||bij||, i=1, .., n; j = 1, ..., m, у которой элемент bij равен 1, если вершина vi инцидентна ребру ej и равен 0, если не инцидентна.

Вершины не соединенные ни с одним ребром называются изолированными. Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами. Граф является полным, если все его вершины соединены между собой.

Если полный граф имеет n вершин, то количество ребер будет равно:

С2 n(n 1) . (1)

n 2

Ребро может начинаться и заканчиваться в одной и той же вершине, в этом случае соответствующее ребро называется петлей. Граф с петлями называют мультиграфом (или псевдографом).

Пара вершин может быть соединена двумя или более ребрами, такие ребра называются кратными.

Граф называется вырожденным, если он не имеет ребер.

Две вершины графа называются связными, если в графе существует путь с концами в этих вершинах. Если такого пути не существует, вершины называются не связными.

Граф называется связным, если любая пара его вершин – связная. Граф называется несвязным, если в нем хотя бы одна несвязная пара вершин.

Ребро, после удаления которого граф из связного превращается в несвязный, называется мостом.

Циклом называется путь, в котором совпадают начало с концом. Если все вершины цикла разные, то такой цикл называется элементарным

(или простым) циклом.

27

Упражнения:

2. Какие из данных графов являются связными?

28

3. Укажите все мосты изображенных графов, если они есть.

4.Изобразите с помощью графа связи между таблицами А, Б, В, Г, Д, Е базы данных, если:

таблица А связана со всеми другими таблицами;

таблица Б связана с Г и Д;

таблица В связана со всеми таблицами, кроме таблицы Е.

Сколько вершин и сколько ребер имеет полученный граф?

5.Среди семи таблиц базы данных установлены связи, причем каждая таблица имеет связь с каждой другой таблицей. Изобразите в виде графа результат установленных связей. Сколько ребер имеет полученный граф?

6.Сколько ребер нужно провести, чтобы достроить граф, изображенный на рисунке, до полного?

29

7.База данных «Студенты» содержит 6 таблиц: «Ф.И.О.», «Номер зачетной книжки», «Дата рождения», «Адрес места жительства», «Код специальности» и «Наименование специальности». Необходимо связать между собой все таблицы. К настоящему моменту некоторые таблицы уже связаны: «Ф.И.О.» связали с «Номер зачетной книжки», «Адрес места

жительства» и «Наименование специальности»; «Номер зачетной книжки» – с «Ф.И.О.» и «Адрес места жительства»; «Дата рождения» – с «Наименование специальности», «Код специальности» и «Адрес места жительства»; «Адрес места жительства» – с «Ф.И.О.», «Номер зачетной книжки» и «Дата рождения»; «Код специальности» с «Дата рождения»; «Наименование специальности» – с «Ф.И.О.» и «Дата рождения». Сколько таблиц уже связано к настоящему моменту и сколько еще осталось?

8.Студентам 4 курса одного из вузов предложили самостоятельно выбрать темы дипломных проектов из представленного перечня. И тут разгорелся жаркий спор.

–Электронный архив буду проектировать я! – решительно заявил Гена.

–Нет, я! – возразил Дима, – я и материалы уже начал подбирать для этой темы.

–Ну, хорошо, я готов уступить эту тему, если я буду проектировать электронное издание, – проявил великодушие Гена.

–… А я виртуальную выставку, – не уступил ему в великодушии Дима.

–Хочу проектировать мультимедийную летопись или электронную коллекцию, – сказал Вова.

–Нет, электронную коллекцию буду проектировать я, – хором закричали Алик и Борис – Или электронное издание, – добавили они одновременно.

Удастся ли распределить темы так, чтобы студенты были довольны? Если да, то как распределятся темы?

30