Математические методы исследования. Сборник задач

Провести дискретную группировку и ранжирование данной совокупности. Данные представить в виде таблиц 1 и 2 из задания № 5.

Список рекомендуемой литературы:

1.Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2001. – С. 151–157.

2.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2001. – С. 192–196.

3.Мотылев, В. М. Основы количественных исследований в библиотечной теории и практике [Текст] / В. М. Мотылев. – Л.: Наука, 1988. – С. 62–89.

11

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2

2 часа

Меры центральной тенденции

Цель работы: рассмотреть меры центральной тенденции, используемые для обобщённой характеристики совокупностей однородных объектов.

Задачи работы:

1.Приобрести навыки вычисления структурных и суммарных мер центральной тенденции.

2.Познакомиться с особенностями выбора и использования мер центральной тенденции при анализе документальных и читательских потоков.

Основные теоретические сведения:

Кструктурным мерам центральной тенденции относятся: мода и ме-

диана.

Медианой Ме называется вариант, стоящий в центре ранжированного ряда, так что число вариант совокупности с большим и меньшим, чем медиана, значением признака одинаково.

Пусть имеется дискретный вариационный ряд. Если всем вариантам ряда придать порядковые номера, то номер медианы в ряду с нечётным

числом членов n определится как n 2 1. Если же вариантов чётное число,

то медиану приходится определить как среднюю из двух центральных ва-

риантов, порядковые номера которых n2 и n2 1.

Для интервального распределения сначала находят медианный интервал xl xl 1 (l 1, n 1). Номер его будет соответствовать интервалу, кумулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот:

12

В случае выполнения равенства, стоящего в левой части формулы (11) номер медианного интервала равен l, в противном случае – l+1. Медиану вычисляют по формуле:

nMe

где l – порядковый номер интервала, где находится медиана, h – ве-

l 1

личина медианного интервала, ni – накопленная частота домедианного

i 1

интервала, nMe – частота медианного интервала.

Модой Мо называется наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта.

Для дискретного ряда мода определяется как значение признака с наибольшей частотой. В случае непрерывной вариации определяют модальный интервал x l x l 1 , т. е. интервал, которому соответствует наи-

большая частота nMe . Мода вычисляется по формуле:

где nl–1 и nl+1 – частоты, которые находят в соответствии с предмодальным и послемодальным интервалами.

Среди суммарных мер центральной тенденции выделяют: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую и среднюю геометрическую.

Выборочной средней (или средним значение выборки) называется среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения x1, x2, …, xn признака выборки объема n различны, то

Средней гармонической выборкой называется величина обратная средней арифметической из обратных значений вариантов:

Средней геометрической называется корень степени, равный числу вариантов из их произведения:

xгеом n x1 x2 ... xn . (7)

Упражнения:

1.Данные о количестве книг прочитанных читателями библиотеки за год, представлены в виде следующего дискретного вариационного ряда:

По представленным данным найти среднее число книг, взятых одним читателем (выборочное среднее).

2.Книгообеспеченность в четырёх библиотеках с одинаковым объёмом фонда составляет соответственно 12, 15, 10 и 17 книг на одного читателя. Определить среднюю книгообеспеченность (среднюю гармоническую).

3. Число читателей библиотеки выросло в течение позапрошлого года

в1,1 раза по сравнению с предыдущим годом, в прошлом году в 1,6 раза по сравнению с позапрошлым годом и в нынешнем в 1,2 раза по сравнению с прошлым годом. Во сколько раз увеличивалось число читателей

вгод?

Примечание: среднегодовое увеличение числа читателей рассчитывается как средняя геометрическая.

4.На полке необходимо разместить книги разной высоты: 20, 10, 25, 20, 16, 12, 25, 27, 30, 20, 16, 10, 30 и 20 сантиметров. Какой высоты полку целесообразнее заказать?

5.Найти медиану следующего вариационного ряда: 3, 6, 6, 8, 8, 12, 12, 12, 25, 25, 70, 75, 75.

14

6.Найти структурные меры центральной тенденции (моду и медиану) интервального вариационного ряда, заданного таблицей:

7.Найти структурные меры центральной тенденции (медиану и моду) дискретного вариационного ряда объема n=100, заданного таблицей:

ратуры за год.

15

10.Имеются данные о доле фондов отдельных филиалов (ωi) в общем объёме единого фонда ЦБС и книгообеспеченности читателей филиалов (xi):

Требуется рассчитать среднюю книгообеспеченность читателей ЦБС.

11.Найти структурные меры центральной тенденции (медиану и моду) для интервального вариационного ряда, заданного таблицей:

Список рекомендуемой литературы:

1.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2001. – С. 200–201.

2.Мотылев, В. М. Основы количественных исследований в библиотечной теории и практике [Текст] / В. М. Мотылев. – Л.: Наука, 1988. – С. 89–111.

16

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 3

2 часа

Показатели вариации

Цель работы: рассмотреть показатели, характеризующие количественную вариацию признака у элементов статистической совокупности.

Задачи работы:

1.Научиться вычислять показатели вариации признака у элементов статистической совокупности.

2.Приобрести навыки интерпретации показателей вариации признака у элементов статистической совокупности.

Основные теоретические сведения:

Среди показателей, характеризующих количественную вариацию признака, выделяют: размах вариации, среднее линейное отклонение, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент асимметрии, эксцесс, коэффициент вариации.

Размах вариации выборки R – это разность между наибольшим и наименьшим значениями выборки:

R xmax xmin . (1)

Отклонение каждого варианта от выборочного среднего x характеризуется абсолютной величиной разности xi x , а весь ряд отклонений

характеризует вариацию признака в совокупности.

Средним линейным отклонением называется средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их выборочной средней:

Если все значения признака x1, x2, …, xk имеют соответственно частоты n1, n2, …, nk, причем n1+n2+ …+nk= n, то

Для вычисления выборочной дисперсии также можно пользоваться формулой:

DB x2 x2 . (5)

Выборочная дисперсия имеет систематическую ошибку, приводящую к уменьшению дисперсии. Чтобы это устранить, вводят поправку,

умножая DB на n n 1 . В результате получают исправленную (или модифи-

цированную) дисперсию:

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратичным отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом)

называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

B DB . (7)

Для сравнения меры рассеяния значений признаков около выборочной средней в разных выборках служит коэффициент вариации.

Коэффициентом вариации v называется отношение выборочного среднего квадратичного отклонения к выборочной средней, выраженное в процентах:

v xB 100%. (8)

Критериальным значением коэффициента вариации v служит 33,3 %, то есть если v меньше или равен 33,3 % – вариация считается слабой, а если больше 33,3 % – сильной. В случае сильной вариации изучаемая статистическая совокупность считается неоднородной.

Совместно с коэффициентом вариации v используют коэффициент равномерности:

Кравномерности = 100 – v. (9)

18

Чем больше коэффициент равномерности Кравномерности, тем равномернее распределены элементы в выборке.

Мерой, описывающей форму распределения (направление скошенности, асимметричности) элементов в совокупности, является коэффициент асимметрии.

Коэффициентом асимметрии выборки называется число, вычисляе-

мое по формуле:

n 3 i 1

На практике асимметрия считается значительной, если коэффициент асимметрии превышает по модулю 0,25.

Форма кривой, отображающей распределение элементов в совокупности, может иметь разную крутизну. Степень островершинности кривой описывается с помощью коэффициента, который называется эксцессом.

Эксцессом выборки называется число, вычисляемое по формуле:

Упражнения:

1.В результате анализа количества запросов, поступающих в поисковую систему в течение каждого часа, были получены следующие данные:

Определить размах вариации и среднее линейное отклонение количества запросов, поступающих в поисковую систему.

2.Данные о количестве книг, прочитанных читателями библиотеки за год, представлены в виде следующего дискретного вариационного ряда:

Найти меру рассеяния (выборочную дисперсию) и среднее квадратическое отклонение количества книг, взятых читателями.

3.По имеющимся данным о ценах на услугу «Библиографический поиск» в различных библиотеках города рассчитать коэффициент асимметрии распределения: 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 3, 4, 3, 4, 6, 4, 2, 4, 6, 4, 1.

4.Проанализируйте загруженность двух учебных аудиторий вуза в первом семестре учебного года на основании данных, представленных в следующей таблице:

Рассчитайте коэффициент вариации и коэффициент равномерности загруженности учебных аудиторий. Сделайте соответствующие выводы. 5. Найти средние характеристики (выборочную дисперсию, выборочное

среднее квадратическое отклонение, среднее линейное отклонение) изменения признака для следующего дискретного вариационного ряда:

6. Найти средние характеристики (выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратичное отклонение, среднее линейное отклонение) изменения признака для следующего интервального вариационного ряда:

7. Найти коэффициент асимметрии и эксцесс распределения, заданного