Интеграл Фурье и его приложения. Учебное пособие

u(x,y) =

Здесь внутренние интегралы вычисляются в явном виде. Их значения могут быть взяты из таблиц интегралов.

Теперь формула (4.14) приобретает такой вид:

∞∞

U( ,y) = ∫ ϕ(x)J(x−x,b −y)dx+ ∫ ψ(x)J(x−x,y)dx. (4.17)

Для функций J(s, y) и J(s, b – y) из их определений (4.15), (4.16) вытекают следующие предельные переходы:

а) при y → 0 + 0:

51

в) при переходе от полосы к полуплоскости, т.е. при b → ∞, можно показать, что

Внося (4.20), (4.21) в (4.17), получим решение уравнения

Видим, что оно представляется известным интегралом Пуассона, что, конечно, и следовало ожидать.

Упражнение

1. Вывести предельные переходы (4.18), (4.19), (4.20),

(4.21).

52

Библиографический список

1.Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. - М.: Наука,1965.

2.Краснов М.Л. Интегральные уравнения. - М.: Наука,

1975.

3.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции

комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. - М.: Наука, 1971.

4.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексной переменной. - М.: Наука, 1973.

5.Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. - М.: Наука, 1973.

6.Треногин В.А., Недосекина И.С. Методы математической физики. – М.: Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2012.

7.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, Т. 3. - М.: Наука, 1969.

8.Цапенко Н.Е. Аналитические функции и интегральные преобразования. - М.: Физматлит, 2012.

53