Интеграл Фурье и его приложения. Учебное пособие

Полагаем u(x) финитной функцией и определяем ее спектральную плотность так:

В первой главе были выведены выражения спектральных плотностей производных:

Заменяем, согласно этим формулам, производные в дифференциальном уравнении (2.19):

− 2U( ) −i (u(0) −e−i lu(l))−u′(0) +e−i lu(l) +

(2.26)

+2a(i U( ) −u(0) +e−i lu(0))+b2U( ) =0.

Обозначим для краткости

Подставляя (2.29) в (2.24), получим следующее выражение

Соответственно сама производная решения предстает как интеграл:

−∞

31

Чтобы записать явные выражения решения u(x) и его производной u′(x), нужно в интегралы Фурье (2.22) и (2.31) подставить соответственно спектральные плотности (2.29), (2.30). По выполнении этой процедуры получим

Последние интегралы вычисляются с помощью леммы Жордана и теории вычетов и представляют собой следующие кусочные функции:

32

Видим, что выражения (2.32) и (2.33) сконструированы так, что вне отрезка [0, l] функции u(x) и u′(x) обращаются в нули, а на отрезке [0, l] их явный вид таков:

При этом полагалось, что крайние значения нужно понимать в смысле односторонних пределов, а именно:

u(l) =limu(x), u′(l) =limu′(x);

u(0) =limu(x), u′(0) =limu′(x).

x→0+0 x→0+0

Поэтому

Эти соотношения, связывающие четыре константы A, B, C, D, всегда позволяют выразить две любые из них через две другие известные из постановки задачи.

Отметим еще, что отрезок [0, l] можно превратить в полуось, устремив l к бесконечности. Тогда B = D = 0, и решения (2.38), (2.39) станут правомочными на всей полуоси [0, ∞).

Упражнение

1. Можно ли в интегралах положить α = 0 ? Останутся ли при этом справедливы формулы (2.36), (2.37)?

33

Глава 3 Одномерное уравнение

теплопроводности

3.1. Метод разделения переменных

Метод разделения переменных – это метод нахождения возможных частных решений. Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности без правой части:

Ищем его решение в виде произведения двух функций от разных переменных:

Подставляя это представление в уравнение (3.1), имеем

где 2 – произвольная постоянная, будем считать действительной и положительной, что оправдывается с физической точки зрения.

В равенствах (3.3) заложены два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения:

1) X′′+ 2X =0,

Вносим решения (3.4), (3.5) в начальное представление (3.2) и получаем частное решение уравнения теплопроводности, зависящее от произвольного параметра :

34

Это решение заключает, по сути дела, целое множество решений, отвечающих различным значениям параметра . В силу линейности уравнения (3.1) эти частные решения можно суммировать или интегрировать по параметру и получать решения всевозможных граничных и начальных задач, поставленных для уравнения теплопроводности.

3.2. Начальная задача для уравнения теплопроводности на оси

Рассмотрим следующую начальную задачу для однородного уравнения теплопроводности:

Ищем решение в виде интеграла Фурье по пространственной координате:

−∞

Тогда пространственные спектральные плотности частных производных даются равенствами

−∞

благодаря которым, от уравнения в частных производных (3.7) переходим к обыкновенному уравнению относительно спектральной плотности:

35

Вносим спектральную плотность (3.14) в интеграл (3.9):

Остановимся на этом месте и выпишем стандартные интегралы, которые непременно возникают в теории теплопроводности:

36

Могут понадобиться еще следующие интегральные соотношения:

Возвращаемся к прерванному преобразованию решения (3.16). Вносим в него значение интеграла (3.17). Тогда

Если здесь сделать замену

то эта формула запишется так:

37

В точке х = 0

А если в (3.23) взять начальный момент времени, т.е. положить t = 0, то

∞

ϕ(x) = 1 ϕ(x) ∫ e−z2 dz,

π −∞

откуда следует известное значение:

Найдем выражение производной нашего решения. Обращаем интеграл Фурье (3.11):

38

Отмечаем, что эта же формула получается и при формальном дифференцировании решения (3.21) под знаком интеграла. Если снова воспользоваться заменой (3.22), то

или после интегрирования по частям:

−∞

То есть получим формулу, идентичную формуле (3.23), как и должно быть.

Выпишем еще формулы, представляющие решение и его производную, для двух частных случаев начальной функции:

а) начальное распределение температуры – нечетная функция, т.е. ϕ(x) = −ϕ(−x) , тогда формулы (3.21) и (3.26) надлежащими заменами приводятся к виду

при этом u(0, t) = 0 и u(х, t) – нечетная, а ux′ (x,t) – четная;

б) начальное распределение температуры – четная функция, тогда

при этом u′(0,t) =0 и u(х, t) – четная, а ux′ (x,t) – нечетная.

39

Упражнения

Записать распределение теплового поля и его производной по формулам (3.21), (3.26) в случае, когда начальное поле задано:

а) ϕ(x) = Ae−kx2 , (k ≥0);

б) ϕ(x) =(x −x )e kx , (k ≥0);

в) ϕ(x) =(x −x0 )2 e−kx2 , (k ≥0); г) ϕ(x) =e−k x , (k ≥0).

3.3. Неоднородное уравнение теплопроводности на оси

Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности с однородным начальным условием

x (−∞,∞), t [0,∞).

Так же как и в предыдущем пункте, с помощью преобразований Фурье (3.9), (3.10) переходим к уравнению для спектральной плотности:

40