Интеграл Фурье и его приложения. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

F(I) ( ) =e−i lf(l) +i F( ) =2A

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.08.2026

Размер:

331 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

В этом случае они запишутся так:

F(I) ( ) =i F( ) −f(0);

F(ΙΙ) ( ) = −2F( ) −i f(0) −f′(0).

Отметим еще одно свойство преобразования Фурье, которое называют теоремой запаздывания.

Если мы сместим значения функции f(x) вправо на расстояние х0, т.е. рассмотрим функцию f(x– x0), то носителем ее значений будет отрезок [a +x0,b +x0 ] и ее спектральная плотность будет такой:

b+x0
Fx0 ( ) = ∫ f(x −x0 )e−i xdx =e−i x0 F( ).	(1.25)

a+x0

1.4. Вещественная форма преобразования Фурье

Пусть функция f(x), заданная на отрезке [a,b], вещественная. Тогда переход в интеграле Фурье (1.19) к комплексно сопряженным величинам даст равенство

F ( ) = F(−).

(1.26)

Выделим в спектральной плотности ее вещественную и мнимую части:

F( ) = A( ) −iB( ).

(1.27)

С учетом соотношения (1.26) запишем

F ( ) = A( ) +iB( ) = A(−) − jB(−).

(1.28)

Поэтому:

А( ) = А(– ) – четная функция; B( ) = –B(– ) – нечетная функция.

Вносим (1.27) в (1.20) и отделяем вещественную и мнимую части:

∞

f(x) = 1 ∫ (A( ) −iB( ))(cos x +isin x)d=

2π −∞

∞

= 1 ∫ (A( )cos x + B( )sin x)d−

2π −∞

∞

− 1 ∫ (A( )sin x −B( )cos x)d .

2πi −∞

Принимая во внимание четности подынтегральных функций, видим, что мнимая часть в этом равенстве обращается в ноль. Поэтому имеем

	1	∞	(A( )cos x + B( )sin x)d .
f(x) =	1	∫		(1.29)
f(x) =	π	∫		(1.29)
		0

Внося (1.27) в (1.19) и приравнивая отдельно вещественные и мнимые части, получим

b
A( ) = ∫f(x)cos xd ;	(1.30)
a
b
B( ) = ∫f(x)sin xdx.	(1.31)

Интеграл (1.29) представляет данную функцию как сумму ее четной и нечетной составляющих:

f(x) = u(x) +v(x); f(−x) = u(x) −v(x)				,	(1.32)
2			2
где
		2	∞
u(x) =		2	∫A( )cos xd ;		(1.33)
u(x) =		π	∫A( )cos xd ;		(1.33)
			0
	2		∞
v(x) =	2		∫B( )sin xd .		(1.34)
v(x) =	π		∫B( )sin xd .		(1.34)
			0

нулевой частоте. Ширина основной частотной полосы ∆ =

1.5. Примеры вычислений спектральных плотностей

1. Одиночный импульс прямоугольной формы определяется так:

A, −l <x <l
f (x)=	0,	x < −l, x >l	.

С учетом того, что f(x) четная, имеем

∞	l
F( )= ∫ f (x)e−i xdx =2∫Acos xdx;
−∞	0

= sin l F( ) 2Al l .

(1.35)

(1.36)

Графики данного импульса и его спектральной плотности представлены на рис. 1.1. Нули спектральной плотности при-

ходятся на частоты n = πl n (n = ±1, ±2, ). Свое максималь-

ное значение Fmax =2Al спектральная плотность достигает на 2π

обратно пропорциональна длительности импульса (это свойство является общим для импульсов любой формы: чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр).

f(х)

Fmax = 2Al

–l

−

2π

−

2π

Рис. 1.1. Одиночный импульс прямоугольной формы (а) и его спектральная плотность (б)

Если сместить импульс вправо на половину его длительности, т.е. на l, то его спектральная плотность запишется так:

F ( ) =2Al	sin l	e−i xl.	(1.37)

l	l

Если амплитуду импульса А принять равной 21l , то пло-

щадь, перекрываемая импульсом, окажется равной единице и выражения (1.36), (1.37) примут вид

		F( ) =		sin l		;	(1.38)

				l
	F	( ) =	sin l		e−i l.		(1.39)

	l		l

Переходя здесь	к	пределу при l → 0,					видим, что
F( ) →1, Fa ( ) →1,	а наш импульс принимает форму беско-

нечно высокого и бесконечно короткого импульса, но при этом перекрывая им площадь остаётся всё той же величиной, равной единице. Такая функция называется импульсной функцией или d-функцией и относится к классу так называемых обобщенных функций. Соответственно, для d-функции пара преобразований Фурье записывается так:

∞
1 = ∫ d(x)e−i xdx;				(1.40)
−∞
	1	∞
d(x) =	1	∫ e−i xd .		(1.41)
d(x) =	2π	∫ e−i xd .		(1.41)
		−∞
2. Гауссов импульс задается функцией
f (x)= Ae−			x2
f (x)= Ae−			2σ2 .	(1.42)

В теории вероятностей он определяет нормальный (гауссов) закон распределения. Для вычисления интеграла

∞ − x2

F ( )= A ∫ e 2σ2 e−i xdx

−∞

выделяем в показателе экспоненты полный квадрат:

x 2

σ 2

+i x =

+ i

− i

2σ

2 σ2

2σ

Делаем замену переменной интегрирования: z = x2σ +i σ2 ; dz = 12σdx;

∞

2 σ2

2 σ2 ∞

F ( )= A ∫ e−z

−

σdz =

σAe−

2 ∫ e−z2 dz.

−∞

Учитывая, что

∞

∫ e−z2 dz =

−∞

получаем

2 σ2

(

)

2πσAe− 2 .

(1.43)

Видим, что спектральная плотность гауссова импульса также есть гауссов импульс, но с другой амплитудой и шириной. Параметр σ в (1.42) имеет смысл половины длительности им-

−1

пульса, определяемой на уровне e 2 =0,606 от амплитуды импульса. Соответственно половина ширины спектра, определяе-

−1

мой на том же уровне e 2 =0,606 , от амплитуды спектральной плотности в (1.43) равна 1σ .

Графики гауссова импульса и его спектральной плотности представлены на рис. 1.2.

f(х)

0,606A

–σ σ

F(i )

2πσA

0,6062πσA

–1/σ 1/σ

Рис. 1.2. Гауссов импульс (а) и его спектральная плотность (б)

Если амплитуду гауссова импульса (1.42) положить равной

, то он и его спектральная плотность (1.43) примут вид

2πσ

−

f(x) =

e 2σ

;

(1.44)

2πσ

F( ) =e

− 2σ2

2 .

(1.45)

При этом площадь, ограниченная гауссовой кривой (1.44), всегда вне зависимости от параметра s будет равна единице. Опять в пределе при s → 0 импульс (1.44) становится d-функцией, а его спектральная плотность (1.45) – единицей.

3. Убывающая экспонента. Пусть

	−lx	,	x >0
ae		,	x >0	,	(1.46)
f (x)=			x <0	,	(1.46)
belx,			x <0

причем параметр l >0 .

0	∞		0			∞
F( )= ∫belxe−i xdx + ∫ae−lxe−i xdx =b ∫ e(l−i )xdx +a∫e−(l+i )xdx;
−∞	0			−∞		0
	F ( )=	a	+	b
					.	(1.47)
		l+i		l−i

В частности, если: а) a =b= 2l, тогда

−lx

, x >0

f(x) =

, F( ) =

;

+ 2

elx, x <0

б) b=0, a =1, тогда

−lx

, x >0

f(x) =

, F( ) =

;

x <0

l+i

в) b=1, a =0, тогда

0, x >0

f(x) =

, F( ) =

;

l−i

elx, x <

г) a = −b=1, тогда

−lx

, x >0

f(x) =

F( ) = −

+ 2

−elx, x <0

4. Два одинаковых прямоугольных импульса противоположного знака определяются выражением

1,		0 <x <l
		−l <x <0 .	(1.48)
f (x)= A −1,
	0,	x < −l, x >l

Данная функция нечетная, поэтому

∞

(

F =

∫

x e−i x = −2i

∫

Asin xdx =

1−cos l

;

( )

)

(1.49)

−∞

F( )=

sin2

2 .

5. Треугольный импульс. Вид такого импульса представлен на рис. 1.3.

	A
		x
–1	0	1
Рис. 1.3. Треугольный импульс

Его аналитическая запись:

0, x < −l

x	+1, −l <x <0
l	.	(1.50)
f(x) = A	.	(1.50)
−x +1, 0 <x <l
	l
	x >l
0,	x >l

Вычисляем спектральную плотность. Функция f(x) четная, поэтому

∞

−i x

2A l

F( ) =

∫

f(x)e

dx =2A

−

+1 cos xdx =

−

1 dsin x =

∫

−∞

1 l

−

+1 sin x

∫

sin xdx

(−cos l)

(1−cos l)=

sin2 l.

l 2

Итак:

F( ) =	4A	sin2 l.	(1.51)
	2
	l	2

Заметим, что если мы эту спектральную плотность умножим на i , то получим выражение спектральной плотности кусочной производной от функции (1.50), которая представляет собой два прямоугольных импульса противоположного знака. Эти импульсы, очевидно, совпадут с импульсами (1.48), разобранными в предыдущем примере, если в последних ам-

плитуду А заменить на амплитуду − Al . В этом случае спек-

тральная плотность (1.49) в точности совпадает со спектральной плотностью (1.51), умноженной на i , как и должно быть для всякой непрерывной первообразной.

6. Трапециевидный импульс. Вид такого импульса представлен на рис. 1.4.

	f(x)
A
		x
0	x0	1
Рис. 1.4. Трапециевидный импульс

Аналитическая запись:

0, x <0

	x	, 0 <x <x

		0	.	(1.52)
f(x) = A x0
1,		x <x ≤l
		0
0, l >x

Вычисляем спектральную плотность:

∞	x0	x	l
F( ) = ∫ f(x)e−i xdx = A ∫		x	e−i xdx + A ∫e−i xdx =
F( ) = ∫ f(x)e−i xdx = A ∫		x	e−i xdx + A ∫e−i xdx =
−∞	0	0	x0

−i x

(

−i l

−i x

)

− ∫xe

−e

= −i x xe

− i

= −

x e−i x0

e−i x

−

(e−i l −e−i x0 )=

i x0

= −

A 1

−i x

−1)+e

−i l

i x

Итак:

A 1−e

−i x0

F( ) =

−e−i l .

(1.53)

i x0

Так как функция (1.52) разрывная, то, чтобы вычислить выражение спектральной плотности ее кусочной производной, нужно использовать формулу (1.23). Имеем

То есть получили известную спектральную плотность оди-

ночного прямоугольного импульса с амплитудой A и дли- x0

тельностью х0. Чтобы получить выражение спектральной плотности второй кусочной производной, нужно применить формулу (1.24). Тогда

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]