Интеграл Фурье и его приложения. Учебное пособие

Как и должно быть!

Упражнения

1.Получить выражения автокорреляционной функции одиночного импульса прямоугольной формы (1.35) в явном виде и в виде разложения в интеграл Фурье. Записать равенство Парсеваля. Сделать чертежи.

2.Получить выражения автокорреляционной функции гауссова импульса (1.44) в явном виде и в виде разложения в интеграл Фурье. Записать равенство Парсеваля. Сделать чертежи.

3.Пусть f(x) – финитная функция, т.е. функция, отличная от нуля лишь в пределах некоторого отрезка [a, b]. Записать две формы явного выражения ее автокорреляционной функции. Показать четность автокорреляционной функции. Представить автокорреляционную функцию в виде интеграла Фурье. Записать равенство Парсеваля.

4.Пусть f(x) и g(x) – финитные функции, определенные на одном и том же отрезке [a, b]. Записать две формы явного выражения корреляции функций f(x) и g(x). Представить эту корреляцию в виде интеграла Фурье. Определить отрезок, на котором корреляция функций f(x) и g(x) отлична от нуля.

5.Пусть f(x) – финитная функция, f′(x) – ее производная,

тоже финитная. Записать различные формы явного выражения корреляции функции f(x) и ее производной f′(x). Представить эту корреляцию в виде интеграла Фурье и вычислить его

вточке x = 0. Записать различные формы явного выражения автокорреляционной функции производной f′(x). Получить

выражение спектра автокорреляционной функции производной f′(x) через спектр самой функции f(x) (с учетом четности). Записать равенство Парсеваля.

21

1.6. Еще о некоторых свойствах спектральных плотностей финитных функций

−∞

С заменой здесь буквы а на букву b записываются такие же формулы для функции (1.56). С учетом того, что b ≤ a, имеем

bb

∫e−i xdx = ∫ηa (x)e−i xdx =

=2 ∞∫ sina ′ sinb(−′) ′ π −∞ ′ −′ d .

22

Таким образом:

Положим

=l−l′,

тогда последнее равенство может быть записано так:

Обратим внимание на то, что интегралы в левых частях последних равенств не зависят от величины параметра а, лишь бы выполнялось неравенство a ≥ b > 0. Более того, после замены а = b, u = al, u′ = al′, s = ax этот параметр вообще сокращается и равенство (1.59) приобретает вид

Если здесь аргументам u и u′ присвоить дискретные значения:

u = πn; u′= πm,

где n, m – целые числа,

то получим равенство

говорящее о том, что функции

образуют ортонормированную систему во всем бесконечном промежутке –∞ < s < ∞.

23

Найдем представления коэффициентов разложения некоторой функции F(s) по этой системе. Имеем

Пусть F(s) есть спектральная плотность некоторой функции f(x). Другими словами, пусть имеет место пара преобразований Фурье:

В силу (1.58) получаем

24

Что мы видим? Разложение (1.63) будет однозначным, если функция F(s) есть интеграл Фурье от финитной функции с носителем x [–1, 1], т.е. если

В этом случае коэффициенты в разложении (1.63) такие:

Преобразование (1.69) само по себе тоже примечательно. Заменяя в нем аргумент pn на непрерывную переменную s, перепишем его так:

Итак, для функции F(s), представленной интегралом (1.68), имеем два, по сути дела, тождественных преобразования (1.70) и (1.71).

Если рассмотреть финитную функцию fl(x) на отрезке [–l, l] произвольной длины, т.е. если вместо (1.68) взять преобразование

−l

то разложения (1.70), (1.71) надлежащими заменами приводятся к разложениям

25

Еще важно отметить, что если в преобразовании (1.72) перейти к пределу при l → ∞, то формула (1.74) сохранится. При этом имеют место следующие предельные переходы:

Этот предел следует понимать в обобщенном смысле, и он представляет собой обобщенную d-функцию, упоминавшуюся в предыдущем пункте.

Посредством d-функции равенство (1.74) при предельном переходе l → ∞ запишется так:

−∞

Это равенство считается справедливым для любой непрерывной функции F(s).

Упражнения

Записать разложения (1.73), (1.74) для спектров: а) гауссова импульса (1.42);

б) двух одинаковых прямоугольных импульсов противоположного знака (1.48);

в) треугольного импульса (1.50).

26

Глава 2 Решение обыкновенных

линейных дифференциальных уравнений

2.1. Линейное уравнение первого порядка

Пусть дано линейное однородное уравнение первого порядка с постоянным положительным коэффициентом

Его аналитическое решение на всем бесконечном промежутке от –∞ до +∞ таково:

Применение преобразования Фурье позволяет записать решение этого уравнения в виде финитной функции, т.е. в виде отличного от нуля решения лишь на некотором конечном отрезке [0, l]. Наверное, можно применить и термин «кусочное решение».

Умножаем обе части уравнения (2.1) на экспоненту e

и интегрируем его по отрезку [0, l]. Эта процедура переводит уравнение (2.1) в его алгебраический Фурье-образ:

По спектральной плотности U( ) восстанавливаем решение исходного уравнения (2.1):

27

Интеграл (2.7) представляет собой разрывную функцию. Его значения известны и легко вычислимы, например, по вычету подынтегральной функции. Имеем

В соответствии с этими значениями кусочное решение (2.8) по отдельным промежуткам распределяется так:

x<0, u(x) =0;

x→0 +0, u(0 +0) =u(0); 0 <x <l, u(x) =u(0)e−ax;

x→l −0, u(l −0) =u(l) =u(0)e−al;

x>l, u(x) =u(0)e−ax −u(l)e−a(x−l) =e−ax (u(0) −u(l)eal )=0.

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

u′+au =f(x), (2.10)

у которого правая часть f(x) – финитная функция с носителем x [0, l]. По той же методике представления решения инте-

28

гралом Фурье строим его как финитную функцию с тем же носителем.

Снова умножив обе части уравнения (2.10) на экспоненту e–i x и проинтегрировав его по отрезку [0, l], получим

Из (2.11) находим

Внося сюда (2.13) и используя уже введенное обозначение (2.7), записываем данное кусочное решение в виде

u(x) =u(0)g(x) −u(l)g(x −l) +

0

x

+∫f(x′)g(x −x′)dx′.

0

29

Здесь тоже в соответствии с определением функции g(x) будет u(x) = 0, когда x [0, l], а на отрезке [0, l] имеем известную формулу

Отметим, что выражение решения в виде (2.16) включает как бы две произвольные постоянные u(0) и u(l). На самом деле эти постоянные связаны условием

То есть решение уравнения первого порядка имеет только одну произвольную постоянную, как и должно быть.

2.2. Линейное уравнение второго порядка

Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами записывается так:

Его общее решение, аналитическое на всей оси, дается формулой

считаем, что a2 < b2.

С помощью постоянных С1, С2 можно удовлетворить любым граничным и начальным условиям.

Покажем, как работает преобразование Фурье для решения начальных и граничных задач на конечном отрезке [0, l]. Ищем решение уравнения (2.19) в виде интеграла Фурье:

∞

u(x) = 1 ∫U(x)ei xd . (2.22)

2π −∞

30