Интеграл Фурье и его приложения. Учебное пособие

Далее восстанавливаем само температурное поле:

Если сюда внести еще интеграл (3.35) и применить обозначение (3.17), то наше решение предстанет в виде

0 −∞

Очевидно, что если неоднородное уравнение (3.32) дополнить неоднородным же начальным условием (3.8), то решение такой задачи будет представлять собой сумму решений (3.21) и (3.37).

3.4.Смешанная задача для уравнения теплопроводности на полуоси

Смешанной задачей для уравнения теплопроводности на полуоси называется задача определения температурного поля u(x, t), удовлетворяющего в области x > 0, t > 0 уравнению

Считая, что u(x, t) = 0, когда x < 0, ищем решение задачи (3.38), (3.39), (3.40), (3.41) в виде интеграла Фурье:

41

руем его по аргументу х от 0 до ∞. В результате задача (3.38), (3.39), (3.40), (3.41) трансформируется в свой Фурье-образ:

Переносим заданные функции в правую часть уравнения

Начальное условие для спектральной плотности U( , t) вытекает из начального условия (3.39):

00

Итак, решение уравнения (3.46) записывается в виде

t

U =U( ,0)e−a2 2t −a2e−a2 2t ∫ea2 2τb(τ)dτ−

−a2i e−a2 2t ∫ea2 2τa(τ)dτ+e−a2 2t ∫ea2 2τF( ,τ)dτ.

По этой спектральной плотности восстанавливаем искомое температурное поле с помощью обратного преобразования Фу-

42

рье (3.42). Как видим, оно представляется в виде суммы четырех функций:

Вносим (3.47) в интеграл (3.50) и во всех последних четырех представлениях изменяем порядок интегрирования:

43

Используем обозначение наших стандартных интегралов (3.17), (3.18), теперь:

00

3.5.Задача теплообмена с окружающей

средой

Рассмотрим однородное уравнение теплопроводности для полубесконечного стержня. Боковую поверхность стержня будем считать теплоизолированной, а обмен теплом (остывание или нагревание) происходящим через торцевое сечение.

Начальную температуру стержня примем нулевой. Тогда имеем следующую постановку смешанной задачи.

где h – коэффициент теплообмена, а функция f(x) задает температуру окружающей среды.

Если, как и в предыдущем пункте, обозначить

44

то граничное условие (3.60) примет вид

Из четырех слагаемых (3.54), (3.55), (3.56), (3.57), составляющих температурное поле, для данной постановки задачи остаются только два. Имеем

t t

u(x,t) = −a2 ∫b(τ)G(x,t −τ)dτ−a2 ∫a(τ)Gx′ (x,t −τ)dτ. (3.63)

0 0

Подставляем сюда вместо функции b(t) (тепловой поток через торцевую стенку) ее выражение из граничного условия (3.62):

t t

u(x,t) = −a2 ∫h(a(τ) −f(τ))G(x,t −τ)dτ−a2 ∫a(τ)Gx′ (x,t −τ)dτ=

= −a2h∫a(t)G(x,t −τ)dτ+a2h∫f(τ)G(x,t −τ)dτ−a2 ∫a(τ)Gx′ (x,t −τ)dτ;

Это равенство остается верным вплоть до торцевой стенки, т.е. в точке х = 0. Так как u(0, t) = a(t), то для функции a(t) (температуры торцевой стенки) получаем такое интегральное уравнение:

t

a(t) = −a2 ∫a(τ)[hG(0,t −τ) +Gx′ (0,t −τ)]dτ+

45

После подстановки этих значений в уравнение (3.65) оно за-

представляет собой интегральное уравнение Абеля (норвежский математик). Известна явная форма его обращения (см. [2]). Она записывается следующим образом:

Из совместного рассмотрения равенств (3.67), (3.68) легко выводится линейное дифференциальное уравнение для функции a(t), определяющей температуру торцевой стенки:

Наиболее простая и естественная ситуация, когда температура окружающей среды принимается постоянной, т.е. когда f(t) =f0 =const . В этом случае

46

или, если заменить переменную интегрирования на x = ah2 τ:

Для функции ошибок при x → ∞ имеет место такая асимптотическая формула:

Согласно этой формуле, заменяя интеграл в (3.72) его асимптотикой, получим для закона нагревания (или остывания, если f0 < 0) торцевой стенки стержня следующую приближенную формулу:

Внося (3.74) в (3.62), получим приближенный закон протекания теплового потока через торцевую стенку:

Чтобы получить приближенное распределение теплового поля вдоль всего стержня, нужно эти две последние формулы

47

внести в выражение (3.63). При этом получающиеся интегралы тоже могут быть вычислены приближенно.

Упражнение

1. Используя приближенные формулы для нагревания торцевой стенки стержня (3.74) и теплового потока через торцевую стенку (3.75), получить приближённую формулу для распределения теплового поля вдоль всего стержня.

48

Глава 4 Уравнение Лапласа в бесконечной полосе

Вносим эти интегралы в уравнение (4.1) и получаем уравнение для спектральной плотности:

Граничные условия для него получаются из граничных условий (4.2) как обратные преобразования Фурье, взятые на прямых у = 0 и y = b:

49

и, соответственно, согласно представлению (4.3), имеем решение исходного уравнения:

Вносим в (4.13) интегралы (4.7), (4.8) с граничными функциями и изменяем порядок интегрирования:

50