Измерение электрических величин.Ч.1. Учебно-методическое пособие

3.  Вычисляется абсолютная погрешность:

4. Определяется относительная погрешность:

dF = DFF 100 %.

Задача  2.13. Функция F является результатом косвенных измерений величин a, b, c, f, связанных соотношением

F= a3 cosb.

c −f2

Найти абсолютную и относительную погрешность результата косвенных измерений.

Решение.

1.  Абсолютная погрешность результата косвенных измерений определяется по (2.25), т. к. результат косвенных измерений вычисляется как произведение и частное результата прямых измерений.

Прологарифмируем исходное выражение:

ln F =3lna +ln(cosb)−12 ln(c −f2 ).

2.  Находим частные производные lnF:

61

3.  Определяем относительную погрешность по (2.22):

4.  Абсолютная погрешность

DF =dF F.

2.6.5.  Правилаокругления

Результаты измерений и погрешности следует округлять по сложившимся правилам.

Основные положения этих правил округления.

1.  Округление проводится только один раз при получении окончательных результатов. Все промежуточные результаты целесообразно представлять тем числом разрядов, которые удается получить.

2.  Округление начинается с округления погрешности результата измерения.

3.  Погрешность результата измерения округлятся до двух значащих цифр, если при движении слева направо первая значащая цифра округляемой погрешности меньше 3.

Погрешность результата измерения округляется до одной значащей цифры, если при движении слева направо первая значащая цифра округляемой погрешности больше 3 или равна 3.

4.  Результат измерения округляется так, чтобы он оканчивался цифрой того же разряда, что и значение погрешности. Если числовое значение результата измерения представляется десятичной дробью, оканчивающейся нулями, то нули отбрасываются только до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.

5.  Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остающиеся цифры в числе не изменяют. Если эта

62

цифра больше 5, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу. Лишние цифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают. Например, результат измерения U = 25,4587 мВ при погрешности результата D = ±0,0213 мВ. Округление начинается с погрешности. После округления погрешность D = ±0,021 мВ и результат измерения U = 25,459 мВ. Результат измерения с учетом погрешности запишется в виде U′ = (25,459 ± 0,021) мВ. Если погрешность (при том же результате измерения) D = 6,25 мВ, то после округления D = ±6 мВ, U = 25 мВ и результат измерения с учетом погрешности U′ = (25 ± 6) мВ.

6.  Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры отсутствуют или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют.

Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры отличны от нуля, то последнюю сохраняемую цифру числа увеличивают на единицу.

7.  Примеры округления:

а)  результат измерения А = 625,47; погрешность DА =

=±7,24. После округления: DА = ±7; А = 625 и результат измерения с учетом погрешности А′ = (625 ± 7);

б)  результат измерения В = 1055,53; погрешность DВ =

=±5,29. После округления: DВ = ±5; В = 1056 и результат измерения с учетом погрешности В′ = (1056 ± 5);

в)  результат измерения С = 72,85; погрешность DС = = ±0,35. После округления: DС = ±0,3; С = ±72,8 и результат измерения с учетом погрешности C′ = (72,8 ± 0,3). Остающиеся цифры в числе не изменяют.

В зависимости от назначения измерений и характера использования их результатов точность измерений может быть выражена:

•интервалом, в котором с установленной вероятностью находится суммарная погрешность измерения;

•интервалом, в котором с установленной вероятностью находится систематическая составляющая, и стандартной аппроксимацией и среднеквадратическим отклонением (СКО)

63

функции распределения случайной составляющей погрешности измерения;

•стандартными аппроксимациями и СКО функций распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения;

•функциями распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения.

Не исключенную систематическую погрешность отмечают при записи результата измерения, как правило, путем указания границ интервала, в котором с заданной вероятно-

стью Рс находится систематическая погрешность, и, если это возможно, указывают и функцию распределения системати-

ческой погрешности. Например, запись «1,018564 В; DС от 0 до 5 10–6 В; РС = 0,95» означает, что измеренное напряжение равно 1,018564 В, причем возможна систематическая погрешность от 0 до 5 мкВ с вероятностью 0,95.

Случайную погрешность, как правило, указывают обозначением вида стандартной аппроксимации и оценки СКО в

единицах измеряемой величины. Например, запись «220 В; s(D) = 0,1 В; равн.» означает, что напряжение равно 220 В, причем случайная погрешность распределена по равномерному закону со среднеквадратическим отклонением 0,1 В.

Задача  2.14. При многократных измерениях напряжения U0 = 60 В получены следующие показания исследуемого вольтметра: 60,12; 60,15; 60,16; 60,18; 60,20; 60,23; 60,25; 60,27; 60,28; 60,31 В. Предполагая, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, найти (с доверительной вероятностью Р = 0,95) систематическую, случайную и суммарную погрешности вольтметра. Верхний предел

измерения вольтметра Uнорм = 200 В.

Решение.

1.  Рассчитывается среднее арифметическое значение рассматриваемого ряда измерений по (2.20):

64

где U – среднее арифметическое значение; n – число измерений (n = 10);

Ui – значение i-го измерения.

2.  Определяется среднее квадратичное отклонение s~ по (2.21):

3.  Выявляются возможные промахи методом 3s~ и методом Греббса (табличным методом).

Метод 3s.

Для реализации этого метода подсчитывается значение 3s~ = 3 0,0628 = 0,1884~ В, которое сравнивается с модулем разностью между UП и U:

UП −U = 60,31−60,215 =0,095 <0,1884 =3s,

где UП (UП = 60,31 B).

Эту же операцию проделываем для всех значений из выборки результатов измерений:

60,12−60,215 =0,095 <0,1884 =3s;

60,15−60,215 =0,065 <0,1884 =3s;

60,16 −60,215 =0,055 <0,1884 =3s;

60,18 −60,215 =0,035 <0,1884 =3s;

65

60,20 −60,215 =0,015 <0,1884 =3s;

60,23−60,215 =0,015 <0,1884 =3s;

60,25−60,215 =0,035 <0,1884 =3s;

60,27 −60,215 =0,055 <0,1884 =3s;

60,28 −60,215 =0,065 <0,1884 =3s.

Как видим, ни одно из измеренных значений не является промахом.

Метод Греббса.

Для наибольшего Umax и наименьшего Umin результатов измерений вычисляют критерии Греббса, предполагая, что эти результаты вызваны грубыми погрешностями:

По таблице находим значение П.1 Gт принятой доверительной вероятности Р и числу измерений n.

Gт =2,29.

Поскольку значения G1 и G2 меньше Gт, эти значения не считаем промахами.

4.  Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

66

5.  Рассчитывается доверительный интервал по (2.23) – абсолютная случайная погрешность вольтметра. Коэффициент Стьюдента tpn выбирают из табл.  2.5 для заданных значений n и P.

0

D =sх tрn =0,01986 2,26 =0,045.

6.  Оценивается абсолютная систематическая погрешность вольтметра по (2.11):

DС =U −U0 =60,215−60,00 =0,215 В,

где DС – систематическая погрешность вольтметра в рассматриваемой точке шкалы или диапазона измерения;

U0 – рассматриваемая точка шкалы (диапазона измерения), значение напряжения в которой принимается за истинное значение измеряемой величины (U0 = 60,00 В).

7.  Находим отношение DС / s~:

DsС = 0,06280,215 =3,42; 0,8 <3,42 <8,

значит, необходимо учитывать и систематическую и случайную погрешности.

8.  Оценивается абсолютная суммарная погрешность вольт­ метра (2.18):

D = K DС +D0 =0,76 DС +D0 =0,76(0,215+0,045)=0,1976.

9.  Оносительная суммарная погрешность вольтметра:

d= D 100 %= 0,1976100 %=0,329 %. U0 60

67

10.  Приведенная суммарная погрешность вольтметра:

11.  Округляем полученные величины. После округления рассматриваемые величины принимают следующие значения:

D =0,2 В; U =60,2±0,3; P =0,95.

d= ±0,3 %.

Задача  2.15. Найти и представить в установленной стандартом форме результат косвенного измерения мощности Р, проведенного при помощи вольтметра, амперметра и измерителя коэффициента мощности cosj.

Решение.

Характеристики и установленные прямыми однократными измерениями показания приборов приведены в табл.  2.6. Методической и субъективной составляющими погрешности пренебречь. Условия измерения нормальные.

Таблица  2.6

Характеристики и установленные прямыми однократными измерениями показания приборов

Решение.

1.  Установим результаты и погрешности измерений аргументов.

68

Так как прямые однократные измерения U, I, cosj выполнены в нормальных условиях, то погрешность результата измерения будет равна основной погрешности прибора, а за результат примем показания прибора.

Измерение напряжения U:

U =U ±DU =(127,0 ±0,7) В.

Измерения тока I:

DI = gA100Imax = ±1,51005 = ±0,08 A;

I = I ±DI =(4,00 ±0,08) A.

Измерение коэффициента мощности cosj:

Dcosj = dcosj cosj = ±2,5 0,8 = ±0,020.

100 100

2.  Оценим погрешность результата измерения.

Так как погрешности результатов прямых измерений U, I, cosj представлены границами не исключенных систематических составляющих погрешности, то для расчета погрешности результата косвенного измерения воспользуемся формулой

69

Найдем производные искомой величины и их значения:

∂P = ∂(UI cosj) = I cosj=4 0,8 =3,2 A;

∂U ∂U

∂P = ∂(UI cosj) =Ucosj=127 0,8 =101,6 В;

∂I ∂U

DC =(3,2 0,7)2 +(101,6 0,08)2 +(508 0,02)2 = ±13,2 Вт.

3.  Определим результат измерения мощности:

P =UI cosj=127 4 0,8 =406,4 Вт.

4.  Результат измерения мощности P = (406 ± 13) Вт.

70