Измерение электрических величин.Ч.1. Учебно-методическое пособие

но, говорят, что измеряемая величина имеет значение в ин-

Тогда результаты измерений величины х записываются

~± D~

ввиде x = x xс доверительной вероятностью Р.

D~ s~

Выбор доверительного интервала в виде x = kP предполагает, что количество измерений велико n > 50. Тогда можно воспользоваться распределением Гаусса (см. табл.  2.1).

Если число измерений невелико, то истинное значение

измеряемой величины = – отличается от среднего ариф-

Xизм x

метического ~ x.

При малом числе измерений n для определенного дове-

где D~ – границы доверительного интервала для непрерыв- x

ной случайной величины х, подчиняющейся нормально-

51

му распределению при небольшом числе n измерений и при данной доверительной вероятности Р;

s~~ – среднеквадратичное отклонение результатов измере-

x

~

ний от среднего арифметического x в данной серии измерений;

tpn – коэффициент Стьюдента, учитывающий конечное число измерений n и доверительную вероятность P (табл.  2.5).

Пример: P = 0,9 означает, что из 100 измерений величины xi она на 90 раз окажется в интервале (x ± D), а 10 значений выйдут из этого интервала.

P = 0,9 (90 %) используется в обычных измерениях; P = 0,95 (95 %) используется при точных измерениях;

P = 0,99 (99 %) используется при особо ответственных измерениях.

Таблица  2.5

Таблица коэффициентов Стьюдента для разных значений выборок из генеральной совокупности

52

Таким образом, случайную погрешность (доверительный

интервал) D~ при малом числе измерений следует вычис- x

лять, используя коэффициент Стьюдента tpn.

2.6.3.1.  Порядокобработкизначенийпрямых многократныхизмерений

1.  Определяется выборка из n измеряемых величин.

Пусть n = 10: x1, x2, x3, … x10.

2.  Вычисляется среднеарифметическое значение измеряемой величины по (2.20):

3.  Определяется отклонение каждого измеренного значения от среднего по (2.19) – абсолютная погрешность:

D1 =x −x1; D2 =x −x2;

...

D10 =x −x10.

4.  Определяется среднее квадратичное отклонение отдельных измерений (2.21):

53

5.  Производится исключение промахов при их наличии.

~ > s~

Результат считается промахом, если ( x – xi ) tгр , где tгр определяется в зависимости от выбранного критерия и объема выборки:

D1 = x −x1 >tгрs; D2 = x −x2 >tгрs;

...

D10 = x −x10 >tгрs.

Выявленные промахи из обработки результатов исключаются, и производится повторный расчет по п.  2–3.

Например, измерения 2 и 5 получились как промахи, тогда n′ = n – 2 = 8.

8.  Вычисляют границы не исключенной систематической погрешности (НСП) результата (2.16) – DС. Она образуется из НСП метода, средств измерений и др., которые суммируются как случайные величины.

54

9.  Задав доверительную вероятность P, по табл.  2.5 определяется коэффициент Стьюдента tpn для заданных значений n и P. Затем рассчитывается доверительный интервал

0

(случайная погрешность) по (2.17)D.

0

10.  Найденные значения DC иD используются для оценки погрешности результата. Суммарная погрешность результата измерения определяется в зависимости от соотношения DC и s~.

11.  По (2.18) определяется суммарная погрешность D. 12.  Результат измерений округляют соразмерно его по-

грешности (доверительному интервалу) и записывают в стандартном виде:

X =x ±D, d= Dх100 %.

2.6.4.  Обработкакосвенныхизмерений

До настоящего времени нет ГОСТа, устанавливающего правила вычисления погрешностей при косвенных измерениях.

На практике при вычислении погрешности косвенных измерений можно руководствоваться следующими правилами.

Пусть y = f(x1, x2, … xn) есть косвенно измеряемая величина, являющаяся произвольной функцией непосредственно измеряемых и независимых величин x1, x2, … xn. В таком случае абсолютная погрешность результата косвенных измерений определяется по формуле

где ∂y / ∂x1 – частная производная функции y = f (x1, x2, … xn) по переменной x1, т.е. производная, взятая при условии,

55

что на момент взятия все остальные переменные (x2, x3, … xn) есть постоянные величины;

Dx1 – погрешность непосредственно наблюдаемой величины x1;

∂y / ∂x2 – частная производная функции y = f (x1, x2, … xn) по переменной x2;

Dx2 – погрешность непосредственно наблюдаемой величины x2 и т.д.

Причем погрешности Dxi должны быть взяты при одной и той же вероятности, например при P = 0,95. В этом случае погрешность результата косвенного измерения Dy будет иметь ту же доверительную вероятность.

Приведенной формулой можно пользоваться при любом виде функции y = f (x1, x2, … xn), однако она наиболее удобна, если независимые переменные или функции от них образуют сумму или разность. Например:

y=ax1 +bx23 +csinx3.

Вслучае, если переменные xi или функции от них образуют произведение или частное, удобнее пользоваться следующей формулой для подсчета относительной погрешности

результата косвенного измерения.

Действительно, относительная погрешность d = Dy / y, тогда (2.24) примет вид

56

где lny есть натуральный логарифм от функции y.

Во многих случаях, когда функция содержит произведение степенных функций, вначале рассчитывается относительная погрешность по формуле (2.25), а затем абсолютная, что, оказывается, сделать значительно проще, чем сразу рассчитывать погрешность по формуле (2.24).

Задача  2.9. Пусть физическая величина L определена формулой

L = X2Y ,

Z

где параметры X, Y, Z были определены в результате прямых измерений Х = 13,26 ± 0,66; Y = 50,10 ± 3,51; Z = = 4,33 ± 0,26.

Решение.

Среднее значение искомой величины L вычисляем по средним значениям непосредственно измеряемых величин:

L = X2Y = (13,26)2 50,1 =2034,4.

Z 4,33

57

Абсолютную погрешность искомой величины L находим согласно (2.24)

и вычисляем отдельные слагаемые в подкоренном выражении

Численное значение абсолютной погрешности величины L составляет

DL =(202,52)2 +(142,53)2 +(122,16)2 =276,14.

Таким образом, можем записать L = 2034 ± 276.

Задача  2.10. Найти площадь квадрата S и абсолютную суммарную погрешность ее косвенного измерения D(s), если результат прямого измерения стороны квадрата равен a и абсолютная суммарная погрешность этого измерения составляет D(a).

58

Решение.

Площадь квадрата S = a2.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения площади квадрата оценивается соотношением

Относительная суммарная погрешность косвенного измерения площади квадрата, соответственно:

d(S)= DS = 2aD(a) = 2D(a).

S a2 a

Задача  2.11. Найти значение тока I3 и абсолютную суммарную погрешность его косвенного измерения по приведенной схеме.

R1 PA1 I1

A

R2

A I3

I2

PA2

Значения токов I1 и I2, полученные путем прямого измерения с помощью амперметров PA1 и PA2, заданы. Заданы также абсолютные суммарные погрешности измерения этих токов D1 и D2 (соответственно).

Решение.

Значение тока I3 (по первому закону Кирхгофа):

I3 = I1 +I2.

Абсолютная суммарная погрешность D3 косвенного измерения тока I3 запишется в виде

59

D3 = ±(1)2 D2I1 +(1)2 D2I2 =D2I1 +D2I2 .

Задача  2.12. Функция F является результатом косвенных измерений величин a, b, c, f, связанных соотношением

F =a3 −cosb2 +c −f2 .

Найти абсолютную и относительную погрешность результата косвенных измерений.

Решение.

1.  Абсолютная погрешность результата косвенных измерений определяется по (2.24):

2.  Находим частные производные:

60