Измерение электрических величин.Ч.1. Учебно-методическое пособие

ченных наблюдений явно ошибочных, определение числового значения (оценки) собственно результата измерения (для косвенных измерений – по функциональной зависимости искомой величины от исходных), проведение статистической обработки, нахождение показателей точности измерений (оценка погрешности), выбор формы представления окончательного результата. При однократных (одиночных) прямых измерениях результат измерения совпадает с наблюдением.

В зависимости от назначения измерений и характера использования их результатов точность измерений может быть выражена:

•интервалом, в котором с установленной вероятностью находится суммарная погрешность измерения;

•интервалом, в котором с установленной вероятностью находится систематическая составляющая, и стандартной аппроксимацией и среднеквадратическим отклонением (СКО) функции распределения случайной составляющей погрешности измерения;

•стандартными аппроксимациями и СКО функций распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения;

•функциями распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения.

Не исключенную систематическую погрешность отмечают при записи результата измерения, как правило, путем указания границ интервала, в котором с заданной вероятно-

стью Рс находится систематическая погрешность, и, если это возможно, указывают и функцию распределения системати-

ческой погрешности. Например, запись «1,018564 В; DC от 0 до 5 10–6 В; Рс = 0,95» означает, что измеренное напряжение равно 1,018564 В, причем возможна систематическая погрешность от 0 до 5 мкВ с вероятностью 0,95.

Случайную погрешность, как правило, указывают обозначением вида стандартной аппроксимации и оценки СКО

вединицах измеряемой величины. Например, запись «220 В; s(D) = 0,1 В; равн.» означает, что напряжение равно 220 В,

41

причем случайная погрешность распределена по равномерному закону со среднеквадратическим отклонением 0,1 В.

2.6.1.  Обработкапрямыхизмерений

Различают однократные (одиночные) и многократные (множественные) прямые измерения.

Однократные измерения – это самые простые по выполнению и обработке – наиболее распространены в практике технических измерений и означают получение окончательного результата по одному разовому наблюдению (отсчету).

Прямые однократные измерения проводятся в том случае, когда ожидается пренебрежимо малая (по сравнению с инструментальной) случайная погрешность.

При однократных измерениях за измеренное значение величины следует принять результат одного измерения:

x =x1,

где – – измеренное значение величины , полученное как ре- x x

зультат одного измерения;

x1 – значение, полученное при однократном измерении величины x, например t1 = 5,3 с.

Результаты прямых однократных измерений включают в себя инструментальную (погрешности средства измерений, рассчитываемые по их метрологическим характеристикам); методическую (погрешность используемого метода измерений) и личную (погрешность оператора) составляющие погрешностей, каждая из которых может быть систематической и случайной.

Систематические погрешности тем или иным способом стараются исключить, остаются не исключенные систематические погрешности и случайные погрешности.

При наличии нескольких систематических погрешностей доверительная граница результата измерения рассчитывается по формуле

42

n

DС (P)=k ∑(DС )2i , (2.16)

i=1

где k – коэффициент, зависящий от P, равный 0,95 при P = 0,9 и 1,1 при P = 0,95;

DС(P) – суммарное значение не исключенных систематических погрешностей (НСП);

(DС)i – составляющие значения НСП; n – количество составляющих НСП.

Случайные составляющие погрешности результата измерения выражаются либо среднеквадратическим отклонением (СКО) s~, либо доверительными границами случайной по-

0

грешности измеренийD(P).

В первом случае доверительная граница случайной составляющей погрешности результата прямого однократного измерения определяется через его СКО:

где zp – точка нормированной функции Лапласа при вероятности P. При доверительной вероятности Р = 0,95 – zp = 2, при Р = 0,99 – zp = 2,6.

0

Найденные значения DС(P) иD(P) используются для оценки погрешности результата прямого однократного измерения. Суммарная погрешность результата измерения определяется в зависимости от соотношения DС и s~.

Если DС / s~ < 0,8, то не исключенными систематическими погрешностями следует пренебречь и принять в качестве погрешности результата измерения доверительные границы случайных погрешностей.

Результат будет иметь вид

0

x =x1 ±D, P =0,95.

43

Если DС / s~ > 8, то случайными погрешностями пренебрегают и принимают в качестве погрешности результата измерения границы НСП, т.к. НСП велики.

Результат следует представлять в виде

x =x1 ±DС, P =0,95.

Если 0,8 ≤ DС / s~ ≤ 8, то доверительная граница погрешности результата измерений вычисляется по формуле

где K – коэффициент, значение которого для доверительной вероятности 0,95 равно 0,76; для доверительной вероятности 0,99 значение коэффициента K равно 0,83.

Задача  2.8. При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения Х = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает следующей априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений: класс точности средства измерений 2,0; пределы измерений 0…50; поправка Dп = 0,5, СКО s~ = 0,1.

Решение.

За пределы не исключенной систематической погрешности примем пределы допускаемой абсолютной погрешности прибора, которые находят как

D = KXнорм ,

100 %

где Хнорм – нормирующее значение, в данном случае равное диапазону измерения средства измерения Хнорм = 50;

K – класс точности средства измерения K = 2,0 %.

44

D =1002 50%= ±1.

Таким образом, DС = ±2.

Граница случайной составляющей погрешности результата прямого однократного измерения

0

D(P)=zPs =2 0,1= ±0,2;

для доверительной вероятности Р = 0,95.

Определим суммарную погрешность результата измерения.

DsС = 0,12 =20 >8,

то за границы суммарной погрешности принимают границы не исключенной систематической погрешности D = ±1.

В результат измерения вносят поправку:

X =x +Dп =10 +0,5 =10,5.

Записываем результаты измерений: 10,5±1,0; P = 0,95.

2.6.2.  Исключениегрубыхпогрешностейипромахов

Грубая погрешность (или промах) – это случайная погрешность результата отдельного наблюдения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.

Грубые погрешности могут сильно исказить ~, s~ и довери- x

тельный интервал. Промахи легко обнаруживаются в ряде измерений и их результаты отбрасываются.

Источниками грубых погрешностей нередко бывают ошибки, допущенные наблюдателями во время измерений, внезапные и кратковременные изменения условий измерений или

45

оставшиеся незамеченными неисправности в аппаратуре. Наиболее характерны следующие грубые погрешности:

•неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящийиз заневерногоучетаценымалыхделенийшкалы;

•неправильная запись результата наблюдений, значений отдельных мер использованного набора;

В общем случае границы для промахов зависят от объема

эффициент tгр зависит от уровня значимости P.

Как показывают данные табл.  2.1, вероятность появления результатов измерений, отклоняющихся от своего истинного значения не более чем на ±s, равна Р = 0,6827 (заштрихованная область на рис.  2.1). Вероятность того, что результаты не выходят за пределы ±2s, составляет 0,9545, а за пределы

±3s – 0,9973. Отсюда вытекает правило трех сигм.

Правило трех сигм. Используется для нормальных законов распределения и числа измерений n = 20 … 50. В этом случае считается, что результат, возникающий с вероятностью Р ≤ 0,003, не реален, и его можно квалифицировать

( x – xi ) > 3s. Затем среднее значение x и среднеквадратичное отклонение s~ вычисляют заново.

Алгоритм:

1)  подсчитать среднее арифметическое значение ряда из-

мерений ~ по формуле (2.20); x

2)  подсчитатьсреднееквадратичноеотклонениеs~ по(2.21); 3)  найти по абсолютной величине разность между предполагаемым промахом xп и средним арифметическим значе-

нием ~ ряда измерений: x

D = xп −x ;

4)  провести сравнение полученной величины с 3s~. Если выполняется условие D < 3s~, то величина xп не является промахом. Если условие не выполняется, то xп – промах, и его следует отбросить.

46

Критерий Греббса. Данный статистический критерий используется для нормального распределения результатов наблюдений. Для наибольшего xmax и наименьшего xmin результатов измерений вычисляют критерии Греббса, предполагая, что эти результаты вызваны грубыми погрешностями:

Далее сравнивают полученные значения G1 и G2 с теоре-

тическим значением Gт.

Если G1 > Gт, то xmax исключают как маловероятное значение. Если G2 > Gт, то xmin исключают как маловероятное значение. Далее вновь вычисляют среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонения ряда результатов измерений и процедуру проверки наличия грубых погрешностей при необходимости повторяют.

Если G1 ≤ Gт, то xmax не считают промахом и сохраняют в ряду результатов измерений. То же самое относится и к xmin: если G2 ≤ Gт, то xmin оставляют в ряду измерений.

Таблица для теоретических значений критерия Греббса приведена в [1, прил.  1 (табл.  П1)].

> ~ > s~

Критерий Шарлье, при n 5 (5 … 100) ( x – xi ) tш , где tш – табличное значение критерия Шарлье. Значения критерия определяются по табл.  2.3, в случае выполнения неравенства результат отбрасывается [2].

Таблица  2.3

Значения критерия Шарлье

Критерий Диксона при n = 4…30. Его особенность заключается в том, что результаты измерений раскладываются в вариационный возрастающий ряд х1…хn:

47

КД = хn −−xn−1 .

хn x1

Расчетное значение сравнивается КД с табличным Кa, которое зависит от уровня значимости (табл.  2.4), в случае выполнения неравенства КД > Кa результат отбрасывается [2].

2.6.3.  Погрешностьизмеряемойвеличины примногократныхизмерениях

Когда перед исследователем стоит задача измерения конкретной физической величины, то число опытов ограниче-

но, а параметры – и s нормального распределения, которому x

подчиняется измеряемая физическая величина, неизвестны. Возникает вопрос, каким образом из ограниченного числа измерений оценить истинное значение и погрешность измерений.

Предположим, что в результате n равноточных измерений получено n значений физической величины, истинное

значение = – которой нам неизвестно, а измеряемая ве-

Xист x

личина x подчиняется распределению Гаусса.

48

Обозначим через x1, x2, x3, …, xn результаты отдельных измерений, а через D1, D2, D3, …, Dn – отклонения результатов измерений от истинного:

Dn = x −xn.

Абсолютные погрешности D1, D2, D3, …, Dn могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Суммируя правые и левые стороны равенств, получаем

n

x1 +x2 +x3 +...+xn =nx −∑Di.

i=1

Разделив обе части полученного равенства на число измерений n, получим

Величина ~ называется средним арифметическим. x

Из симметрии кривой Гаусса (рис.  2.1) видно, что при большом числе экспериментов вероятность получить значение больше истинного на D такая же, как вероятность значения меньше истинного на D (вероятности положительных и отрицательных абсолютных погрешностей равны). Тогда

49

То есть среднее значение абсолютной случайной погрешности при большом числе экспериментов (n → ∞) стремится к нулю. Следовательно, если число измерений достаточно велико (n → ∞), а случайная величина х подчиняется распределению Гаусса, то

lim x =x.

n→∞

Дисперсия s2 в распределении Гаусса показывает среднеквадратичный разброс измерений, а среднеквадратическое отклонение s пропорционально величине доверительного интервала для заданной доверительной вероятности Р. По определению дисперсии

∞

s2 = ∫(x −x)2 f (x)dx, при n →∞.

−∞

Для конечного количества измерений n согласно теории вероятности и математической статистики средняя квадратическая погрешность результатов измерений

На практике широко распространен термин среднее квадратическое отклонение – отклонение результатов в ряду измерений от их среднего арифметического значения. В метрологии это отклонение называют погрешностью измерений, поэтому целесообразно применять термин средняя квадратическая погрешность. При обработке ряда результатов, свободных от систематических погрешностей, средняя квадратическая погрешность и среднее квадратическое отклонение являются одинаковой оценкой рассеяния результатов измерений.

ние можно зависать

50