Измерение электрических величин.Ч.1. Учебно-методическое пособие

2.  ОСНОВЫТЕОРИИПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

2.1.  Общиеположения

Ни одно измерение не выполняется точно. Вероятность измерения без погрешностей равна нулю.

Измерение – это определение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.

Измерение можно считать законченным, если найден не только результат измерения, но и проведена оценка его погрешности.

Погрешностью результата измерения называют отклонение найденного значения от действительного значения измеряемой величины. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения. Погрешность средства измерения представляет собой разность между показаниями средства измерения и действительным значением измеряемой физической величины.

Истинное значение физической величины – абстрактное понятие, использующееся в теории измерений. На практике используют понятие действительное значение физической величины.

Действительное значение физической величины – значение физической величины, найденное экспериментальным путем и настолько близкое истинному значению, что для поставленной измерительной задачи может его заменить. При этом за истинное значение принимается среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным.

При выполнении экспериментальных исследований на значение измеряемой величины влияют множество случайных факторов. Эти факторы (помехи) могут значительно влиять на результат измерений, но носить случайный (не за-

21

кономерный) характер. Поэтому все получающиеся из эксперимента величины являются случайными.

Случайными величинами называются величины, которые в результате опыта, проведенного при одних и тех же условиях, могут принимать различные числовые значения.

Случайная величина называется дискретной, если она может принимать только определенные числовые значения. Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать непрерывный ряд значений.

В математической статистике совокупность всех результатов измерения x1, x2, x3, …, xn. называется генеральной совокупностью, которая может быть сколько угодно велика. Конечное число измерений (n) называется случайной выборкой из генеральной совокупности.

Отклонение отдельного результата измерения D от истинного значения Xист называется погрешностью отдельного из-

мерения Dx = xi – Xист.

Установлено, что малое отклонение xi от Xист встречается чаще, чем большое, что соответствует нормальному закону распределения Гаусса для измеряемых величин. Зависимость функции плотности вероятности распределения результатов измерений f(x) от значений измеряемой величины xi изображена на рис.  2.1.

Рис.  2.1.  График нормального закона распределения функции плотности вероятности случайных погрешностей

22

Нормальный закон распределения описывается выражением

где s~ – среднеквадратическое отклонение погрешности D.

Вводятся следующие понятия, характеризующие поведение измеряемой величины х, если она является случайной.

1.  Среднее значение (непрерывной случайной величины)

∞

x = ∫ xf (x)dx.

−∞

2.  Дисперсия. Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительного среднего значения

∞

s2 = ∫(x −x)f (x)dx.

−∞

3.  Среднее квадратичное отклонение – квадратный корень из дисперсии. Среднее квадратичное отклонение характеризует абсолютное среднее отклонение случайной величины от среднего значения:

s= s2 .

Тогда применительно к задаче оценки погрешности экспериментальных измерений параметры нормального распределения (Гаусса) x и s2 можно интерпретировать следующим образом.

23

Для физической величины, подчиняющейся нормальному закону распределения, истинное значение Xист совпада-

ет с математическим ожиданием – при бесконечном числе x

опытов, а среднее квадратичное отклонение s характеризует прибор или метод измерения.

Для экспериментальных исследований важно определить вероятность Р того, что измеренные значения лежат вблизи

–, т.е. в некотором интервале (– – D , – + D ), симметричном x x x x x

относительно х (см. рис.  2.1).

Согласно теории вероятности вероятность Р определяется как площадь под кривой функции плотности вероятности f(x) на соответствующем интервале путем интегрирования:

x−Dx

Значения вероятности того, что измеренная величина принимает значения из интервала Dx, длина которого пропорциональна s~, приведена в табл.  2.1.

Таблица  2.1

Значения вероятности того, что измеренная величина принимает значения из интервала Dx, длина которого пропорциональна s~

На рис.  2.1 также представлены численные значения ве-

±s~ ± s~ ± s~ –

роятности Р для интервалов , 2 , 3 относительно x для нормального распределения.

24

Так как при данных условиях эксперимента (доверительном интервале) доверия заслуживают только результаты измерений, лежащие внутри доверительного интервала Dх, то абсолютная погрешность (отклонение от истинного значения) этих значений измеряемой физической величины ограничена длиной доверительного интервала Dх. То есть длина доверительного интервала Dх является характеристикой погрешности серии проводимых экспериментальных измерений (погрешности многократных измерений). Тогда погрешность серии измерений определяется через среднеквадратичное отклонение σ измеряемой физической величины и доверительную вероятность Р данной серии экспериментов, которые оба зависят от условий проведения эксперимента:

где kp – коэффициент пропорциональности, зависящий от принятой доверительной вероятности, закона распределения результатов измерений, рассматриваемых как случайные величины и количества измерений n.

Поэтому для характеристики величины случайной погрешности (ошибки) результата многократных измерений необходимо указывать два числа: величину доверительного интервала Dх и величину соответствующей ему доверительной вероятности Р.

2.2.  Классификацияпогрешностей

Метрологией установлена следующая классификация погрешностей (рис.  2.2).

Абсолютной погрешностью D называют отклонение результата измерения Xизм от действительного значения Xдейств. Абсолютная погрешность измеряется в единицах измерения измеряемой величины:

25

D может быть, соответственно, положительной или отрицательной размерной величиной.

Погрешности

измерений

Рис.  2.2.  Классификация погрешностей измерений

Относительная погрешность измерения d определяется как отношение абсолютной погрешности к действительному значению Xдейств измеренной величины, в процентах:

Xдейств

Так как отклонение Xдейств от Xизм сравнительно малы, то

Xизм

26

Приведенной погрешностью g называется выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности ЭИП D к нормирующему значению шкалы прибора Xнорм:

Xнорм

гдеа)  Xнорм – предел измерений – максимальное значение шкалы прибора;

б)  Xнорм = Xпред.лев + Xпред.прав .

Например, для шкалы от –70 дел. до +70 дел. Xнорм = = 70 + 70 = 140 дел.

Формулы связи:

D = dXизм ; d= gXнорм ;

100 % Xизм

D = gXнорм ; g = dXизм .

100 % Xнорм

2.3.  Классыточности

Погрешность средства измерений – это разность между показанием средства измерений и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины.

Для меры показанием является ее номинальное значение. Поскольку истинное значение физической величины неизвестно, то на практике используют ее действительное зна-

чение.

Класс точности – нормированная метрологическая характеристика средства измерения, определяемая пределами допускаемых погрешностей, а также другими свойствами, влияющими на точность.

Класс точности средств измерений характеризует их свойства в отношении точности, но не является непосредственным

27

показателем точности измерений, выполняемых при помощи этих средств.

Для того чтобы заранее оценить погрешность, которую внесет данное средство измерений в результат, пользуются нормированными значениями погрешности. Под ними понимают

предельные (максимальные) для данного типа средства измерений погрешности.

Погрешности отдельных измерительных приборов данного типа могут быть различными, иметь отличающиеся друг от друга систематические и случайные составляющие, но в целом погрешность данного измерительного прибора не должна превосходить нормированного значения. Границы основной погрешности и коэффициентов влияния заносят в паспорт каждого измерительного прибора.

Способы нормирования допускаемых погрешностей:

•по относительной погрешности;

•по приведенной погрешности;

•по длине или верхнему пределу шкалы прибора. Согласно ГОСТ  1845–59, электроизмерительные прибо-

ры делят на 8 классов по точности: 0,05; 0,1; 0,2 – образцовые приборы; 0,5; 1,0 – лабораторные; 1,5; 2,5; 4,0 – технические приборы.

На каждом средстве для измерений имеется шкала, на которой указываются классы точности этих средств измерений. Они указываются в виде чисел и обозначают диапазон погрешностей измерений в процентах.

Обозначения классов точности измерительных приборов.

1.  Арабскими цифрами без условных знаков (1,5). Класс точности (K) такого прибора определяется преде-

лами приведенной погрешности, в качестве нормирующего значения используется наибольший по модулю из пределов

измерений K = gmax = 1,5 %. Расчетные формулы:

gmax = K = XDmax 100 %;

норм

28

2.  Арабскими цифрами с галочкой1,0, тогда класс точно-

сти определяется пределами приведенной погрешности, но в качестве нормирующего значения используется длина шкалы.

3.  Арабскими цифрами в виде числа, обведенного в кружок 2 .

Класс точности (K) такого прибора определяется пределами относительной погрешности в процентах от полученного значения измеряемой величины K = dmax = 2 %.

Расчетные формулы:

где с, d – постоянные величины, указанные на шкале прибора в виде отношения c / d;

Xнорм – предел измерения прибора, т.е. наибольшее значение, которое может измерять прибор;

Xизм – измеренное значение или число делений, отсчитанных по шкале;

29

где Х0 – значение измеряемой величины, при котором d име-

ет минимальное значение. Величины X0, Xнорм, Xизм подставляются в формулы (2.8) – (2.10) без учета знака.

Правила построения и примеры обозначения классов точности приведены в табл.  2.2.

Вывод. Электроизмерительным приборам, основная погрешность которых нормируется в виде приведенной или относительной погрешностей, присваиваются классы точности, числовые обозначения которых выбираются из следующего ряда: 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0. Обозначение класса точности выражает в процентах относительную или приведенную погрешности прибора. Если на шкале прибора цифра изображена в кружочке, то она указывает относительную погрешность d прибора, например 2 .

Цифра, обозначающая класс точности прибора и характеризующая приведенную погрешность g, обозначается на шкале прибора без кружочка, например 1,0. Относительная погрешность d, выраженная одной из формул (2.7) – (2.9), используется для определения предела основной допускаемой погрешности стрелочных и цифровых электроизмерительных приборов, магазинов сопротивлений и емкостей.

30