Закон непротиворечия: .
Не могут быть одновременно истинными
суждениями и его отрицание. То есть если
высказывание А – истинно, то его отрицание
не А должно быть ложным (и наоборот).
Тогда их произведение всегда будет
ложным.
.
Именно это равенство часто используется
при упрощении сложных логических
выражений.
Иногда этот закон формулируется так: два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными.
Например: «На Марсе есть жизнь» и «На Марсе жизни нет».
Закон исключенного третьего: .
В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А.
Например: Число 12345 либо четное, либо нечетное.
Покажем, как на основании определения эквивалентности высказываний могут быть получены остальные законы алгебры высказываний.
Закон двойного отрицания: .
Определим, чему эквивалентно (равносильно) двойное отрицание для А. для этого построим таблицу истинности.
А |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
По определению равносильности мы должны найти тот столбец, значения которого совпадают со значениями столбца . Таковым является столбец А. Таким образом, если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание. Например, «Матроскин - кот» эквивалентно высказыванию «неверно, что Матроскин не кот».
Аналогичным способом (с помощью таблиц истинности) можно вывести и проверить следующие законы.
Свойства констант:
(отрицание лжи есть истина);
(отрицание истины есть ложь);
Закон идемпотентности:
Например, сколько бы раз не повторять: телевизор включен или телевизор включен ... значение высказывания не изменится. Аналогично от повторения: на улице тепло, на улице тепло … ни на один градус теплее не станет.
Закон коммутативности:
Закон ассоциативности:
Закон дистрибутивности:
;
Закон поглощения:
Законы де Моргана:
; 
Правила замены операции импликации:
Правила замены операции эквиваленции:
Применение изученного материала при упрощении сложных высказываний.
Упростить:
.
По закону дистрибутивности вынесем А
за скобки:
.
Упростить:
.
Применив закон дистрибутивности,
получим:
Упростить:
.
Умножим
на
:
Путем преобразований докажите равносильность следующих высказываний:
а)
и
б)
и
Домашнее задание.
Упростить следующие логические формулы:
Контрольная работа №1.
Вариант I.
1. Дайте характеристику каждому предложению по следующему плану:
Установите, является ли данное предложение высказыванием.
Определите, истинное это или ложное высказывание.
Ответьте, простое это или сложное высказывание.
Определите тип высказывания.
Запишите сложное высказывание на языке алгебры логики:
а) Каждый четырехугольник имеет 4 угла и 4 стороны.
б) пейте, дети, молоко!
в) CD – ROM устройство вывода информации.
г) Все волки – хищники.
д) Х принадлежит промежутку [-10; 10].
е) Низко ласточки летают – о дожде предупреждают.
ж) Неверно, что Земля вращается вокруг Солнца.
2. Вычислите: ((1 & 0) 1) & (1 А). _ _
3. Составьте таблицу истинности для логической функции: P = X Y X & Y.
Есть три молодых человека: Андрей, Бронислав и Борис. Один из них - аптекарь, второй - бухгалтер, третий - агроном. Один живет в Бобруйске, второй - в Архангельске, третий - в Белгороде.
Известно, что:
Борис бывает в Бобруйске лишь наездами и то весьма редко, хотя все его родственники живут в этом городе;
У двух из этих людей названия их профессий и городов, в которых они живут, начинаются с той же буквы, что и их имена;
Жена аптекаря доводится Борису младшей сестрой;
Требуется выяснить, кто где живет и у кого какая профессия.
Вариант II.
1. Дайте характеристику каждому предложению по следующему плану:
Установите, является ли данное предложение высказыванием.
Определите, истинное это или ложное высказывание.
Ответьте, простое это или сложное высказывание.
Определите тип высказывания.
Запишите сложное высказывание на языке алгебры логики:
а) В 1/4 килобайта содержится 256 байтов.
б) Сканер – устройство ввода информации.
в) Какого цвета ваш автомобиль?
г) Летом дети катаются на лыжах или коньках.
д) Неверно, что 41 – простое число.
е) х + 2 > 10.
ж) Если идёт дождь, то, выходя на улицу, берут зонтик.
2. Вычислите: ((0 & 0) 0) & (1 А). _ _
3. Составьте таблицу истинности для логической функции: F = X Y X & Y.
4. Один психолог решил заняться изучением того, как влияет на нервную систему человека поездка в переполненном трамвае в часы пик. Для этого он опросил по одному пассажиру с каждого из четырех маршрутов трамвая: 55, 15, 25 и 33-го. Среди опрошенных, которых звали Андрей, Петр, Виктор и Иван, оказалось по одному представителю четырех профессий: слесарь, электромонтер, маляр и фрезеровщик.
К сожалению, поездки в битком переполненном трамвае основательно истрепали нервы самому психологу. Не удивительно, что он напрочь забыл, у кого из опрошенных какая профессия и кто на каком трамвае ездит.
В памяти нашего психолога сохранились лишь бессвязные отрывки из того, что рассказал каждый из опрошенных о своем маршруте. Вот что ему удалось припомнить:
номер трамвая, на котором ездит Виктор, начинается с единицы;
О трамвае № 33 рассказывал кто-то из рабочих-металлистов;
номер трамвая, на котором ездит фрезеровщик, составлен из таких цифр, что их сумма равна количеству букв в имени фрезеровщика;
Иван ездит на трамвае, номер которого состоит из двух одинаковых цифр;
Имя электромонтера начинается на букву «П»;
Андрей спросил психолога, где лучше сойти, чтобы пересесть на 25-й трамвай;
В памяти психолога вдруг отчетливо всплыла фраза, сказанная Иваном кому-то из пассажиров: «Вы сели не на тот трамвай, вам надо пересесть на 55-й».
Определите имя и профессию каждого пассажира, а также номер трамвая, на котором он ездит.