Операция строгой дизъюнкции.
Обозначение строгой дизъюнкции: А ЛИБО
В; А
В.
А (строгая дизъюнкция) В = На автостоянке стоят «Мерседес» либо «Жигули».
Таблица истинности: Пояснения:
А |
В |
А В |
0 |
0 |
0
|
0 |
1 |
1
|
1 |
0 |
1
|
1 |
1 |
0
|
Смысл высказываний А и В для указанных значений |
Значение высказывания: На автостоянке стоят «Мерседес» либо «Жигули». |
|
«Мерседес» не стоит |
«Жигули» не стоят |
Ложь |
«Мерседес» не стоит |
«Жигули» стоят |
Истина |
«Мерседес» стоит |
«Жигули» не стоят |
Истина |
«Мерседес» стоит |
«Жигули» стоят |
Ложь |
Из таблицы истинности следует, что строгая дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда только одно из высказываний истинно, и ложна, когда оба высказывания истинны или оба ложны.
Логическое следование (импликация).
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если . . ., то . . .».
Например: Если число делится на 9, то оно делится на 3.
Обозначение импликации: А
В;
А
В.
Пусть даны высказывания:
А = На улице дождь.
В = Асфальт мокрый
Таблица истинности: Пояснения:
А |
В |
А В |
0 |
0 |
1
|
0 |
1 |
1
|
1 |
0 |
0
|
1 |
1 |
1
|
Смысл высказываний А и В для указанных значений |
Значение высказывания: «Если на улице дождь, то асфальт мокрый» |
|
Дождя нет |
Асфальт сухой |
Истина |
Дождя нет |
Асфальт мокрый |
Истина |
Дождь идет |
Асфальт сухой |
Ложь |
Дождь идет |
Асфальт мокрый |
Истина |
Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
Логическое равенство (эквиваленция).
Логическое равенство (эквиваленция) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «. . . тогда и только тогда, когда. . .».
Примеры эквиваленции:
Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90.
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.
Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает.
Обозначение эквивалентности: А
В;
А
В;
А
В;
А ~ В.
Пусть даны высказывания:
А = Число делится на 3 без остатка (кратно 3).
В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.
А В = Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3.
Таблица истинности: Пояснения:
А |
В |
А В |
0 |
0 |
1
|
0 |
1 |
0
|
1 |
0 |
0
|
1 |
1 |
1
|
Смысл высказываний А и В для указанных значений |
Значение высказывания: «Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3». |
|
Число не кратно трем |
Сумма цифр не кратна трем |
Истина |
Число не кратно трем |
Сумма цифр кратна трем |
Ложь |
Число кратно трем |
Сумма цифр не кратна трем |
Ложь |
Число кратно трем |
Сумма цифр кратна трем |
Истина |
Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истина тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.
В алгебре логики из логических переменных, логических констант (0 и 1), знаков логических операций и скобок составляются логические выражения.