Лекция, 8.09

Лекция 22.09

Алгебра событий

Законы Моргана

1. Отрицание суммы (в совокупности) равно произведению отрицаний (каждого по отдельности)

2. Отрицание произведения вероятностей равно сумме отрицаний (обратное первому)

3. Отрицание отрицания есть само событие.

4. Отрицание достоверного есть пустое множество и обратно.

Определение. Дискретным пространством элементарных событий называется произвольное множество омега, а его элементы w называются элементарными событиями (исходами)

Определение. Дискретным вероятностным пространством называется тройка объектов или двойка, где омега — конечное множество исходов w

Система L называется алгеброй событий, если выполняются след условия:

1)омега принадлежит L

2) если событие А и В принадлежит L, их сумма и произведение принадлежит L, и достоверное, и невозможнее событие тоже принадлежит L

Определение. Алгебра событий L называется сигма алгеброй (борелевской) при условиях:

Если любое А энное принадлежит L, то объединение событий до бесконечностей принадлежат. L и пересечение тоже принадлежит L.

Аксиомы вероятности

1. Вероятность достоверного события равна 1. Р от омега равна 1

2. Если событие невозможно, то его Р=0

3. Р любого события равно от 0 до 1

4. Сума вероятностей противоположных событий равна 1.

Теорема умножения вероятностей (принцип Ферма)

Определение. События А и В независимые, если вероятность каждого из них не зависит от свершения/несовершения другого события. В ином случае события зависимые.

Определение. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью. Р(В|А)=Р(АВ)/Р(А)

Теорема

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

Р(АВ) = Р(А объединение В) = Р(А) *Р(В|А)

Теорема сложения вероятностей (принцип Лапласа)

События А называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных. Т. Е. События А,В,С независимы в совокупности, если независимы А и В, А и С, В и С, А и ВС, В и АС, С и АВ.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления. Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Следствие 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятности этих событий.

Следствие 2. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Формула полной вероятности. Формула Байесса.

Пусть событие A может наступить только при условии появления B1,…Bn

Образующую группу попарно событий.

Теорема :Вероятность А ,которое может наступить только с одной из гипотез образующих полную группу равных сумме произведений вероятностей каждой из этих гипотез на соответствующую условную вероятность А ,т.е

Обозначим через А событие —сбой будет обнаружен

Возможны следующие предложения(гипотезы)

В1 сбой обнаружен в арифметическом устройстве

В2 сбой в оперативной памяти

В3 сбой произошёл в других устройствах

Р от А —полная вероятность ,формулу можно применить для любой из гипотез .

Сравнение формул вероятности

Сравнение формул формула Баерса

Нужна гипотеза два из предыдущей Н2

Вероятность обнаружить признак А в рукописи женщины о,1 вероятность мужчиной 0,3 какова вероятность что данная рукопись выполнена женщиной ,выполнена мужчиной

Схема Бернулли

Речь идёт о ситуациях где одно и тоже событие повторятся несколько раз (стрелок ) при чем это событие может происходить и нет ,каждый раз ситуация меняется и проводит н испытании и вероятность событий в событии постоянно ,как событие А появляется в н испытаниях.Понятие зависимое или не зависимое событие

Несколько испытании называются независимыми от А если вероятность А в каждом из них не зависит от исходов других испытаний .

Лекция 6.10

Формула Бернулли

Пример:

Монету подбрасывают 10 раз. Определить вероятность выпадения «герба»

а) ровно 3 раза;

б) не более трех раз;

в) хотя бы один раз;

г) от 2 до 4 раз.

n=10

Лекция 3.11. Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание константы равно константе

2. Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания

3. Если значение случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную увеличится (уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины

4. Математическое ожидание суммы (разности) равно сумме (разности) мат. ожиданий

5. Мат. ожидание произведения независимых СВ равно произведению мат. ожиданий

Мат. Ожидание является начальным моментом 1-го порядка.

Центральный момент второго порядка называется дисперсией.

Закон распределения случаях величий

Закон Бернулли

Закон Пуассона