1. Понятие функции. Свойства.
Пусть дано множество Х принадлежащее множеству действительных чисел. Отображение множества Х в множестве действительных чисел есть вещественнозначная функция одной вещественной переменной или числовая функция. Свойства: четность-нечетность (функци называется четной, если точка М1 с координатами х и у лежит на графике данной функции, и точка М2 с координатами -х и у тоже лежит на графике функции, следовательно график четной функции будет симметричен относительно оси ОУ)
Монотонность (функция возрастает на множестве Е, если для любых значений х1, х2, принадлежащих множеству Е, таких, что х1>х2, выполняется неравенство f(x1)>f(x2). функция убывает на множестве Е, если для любых значений х1, х2, принадлежащих множеству Е, таких, что х1>х2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2). Возрастающие или убывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве)
Периодичность (функция является переодической, если существует такое число Т неравное 0, что выполняется два условия: 1 - для любого х, принадлежащего области определения функции справедливо, что сумма или разность такого х и Т тоже принадлежит области определения функции. 2 - для любого х, принадлежащего области определения функции справедливо, что f от суммы х и Т равно f от х)
Ограниченность (функция ограничена на множестве Е, если ограничено множество её значений на Е. условия ограниченности а) существует такое число С для любого х, принадлежащего множеству Е, что модуль f от х меньше или равно числу С; (или) б)существуют такие m, M, которые соответственно являются верхней и нижней границами функции, что для любого х принадлежащего множеству Е справедливо, что m меньше или равно f от х и функция меньше или равно М)
2. Предел функции. Два определения предела функции в точке, их эквивалентность.
Предел функции по Коши - число А есть предел функции f(x) при х стремящемся к х нулевому или в точке х нулевое, если для любого положительного эпсилон можно найти такое положительное число дельта так, что для всех значений х, принадлежащих области определения функции, для которых выполняется неравенство 0<|х-х0|<дельта, справедливо неравенство |f(x)-A|<эпсилон.
На геометрическом языке - точка А есть предел функции при х стремящемся к х нулевому, если для любой окрестности точки А можно найти такое положительное число дельта, что для всякого х из области определения функции и входящего в проколотую окрестность точки х нулевое, значения функции будут лежать в окрестности точки А.
Предел по Гейне - число А есть предел функции при х стремящемся к х нулевому, если для любой последовательности х n-ное точек, взятых из области определения функции, сходящейся к х нулевому, последовательность значений функции f(x n-ное) будет стремится к числу А.
Эквивалентность. Докажем, что число А есть предел функции f(x) по Коши в точке х нулевое и предел функции по Гейне в той же точке.
Возьмем последовательность х n-ное значений аргумента х, входящую в область определения функции и ни одно из значений последовательности не равно 0, а также х n-ное стремится к х нулевому. Возьмем положительное число эпсилон и найдём положительное число дельта, чтобы было справедливо неравенство (1)0< |х-х нулевое|<дельта и (2) |f(x n-ное) -А|< эпсилон. По найденному дельта можем найти номер n нулевого, начиная с которого будет выполняться неравенство (1), то есть члены последовательности будут лежать проколотой окрестности точки х нулевое. Следовательно для них выполняется неравенство (2), что значит, что точка А есть предел последовательности f(x n-ного).
От обратного. Предположим, что точка А есть предел функции по Гейне, но не является пределом функции по Коши. Это значит, что существует положительное эпсилон нулевое такое, что какое бы положительное дельта мы не взяли, найдётся х дельта из области определения функции, для которого справедливо 0<|х дельта -х нулевое|<дельта и |f(x дельта) -А| больше или равно эпсилон нулевое. Возьмем последовательность дельта n-ное равно 1/n и для каждого дельта n-ное найдем соответствующее х n-ное. Каждое х n-ное удовлетворяет неравенству |х n-ное- х нулевое| < 1/n, следовательно х n-ное стремится к х нулевому, а n стремится к бесконечности, но для каждого х n-ного выполняется |f(x n-ного) -А| больше или равно эпсилон нулевое, что значит, что А не является пределом по Гейне.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентность.
Функция a(x) есть бесконечно малая при х стремящемся к а, где а - число либо бесконечность, если lim a(x)=0 при x->a.
Функция f(x) есть бесконечно большая при х стремящемся к а, где а - число либо бесконечность, если lim f(x)= бесконечность при x->a.
Бесконечно малые функции а(х) и в(х) при х-> а эквивалентны, если lim а(х)/в(х)=1 при х->а.
Таблица эквивалентных функций.
4. Замечательные пределы и следствия из них.
5. Критерии Коши существования предела функции.
Функция удовлетворяет условию Коши в точке х, если для любого положительного числа епсилон найдётся положительное дельта, отвечающее ему, отвечающее ему, что для любых двух значений аргумента х1 и х2 удовлетворяющих условиям |х1 - х2|<дельта и |х2-х0|<дельта, справедливо неравенство |f(x1)-f(x2)|<епсилон.
6. Непрерывность функции в точке и на отрезке.
Функция непрерывна в точке х0, принадлежащей множеству Х, входящему в область определения функции, если она определена в точке х нулевое и в некоторой её окрестности существует предел функции при х стремящемся к х нулевому и он равен значению функции в этой точке, т. е. lim f(x) = f(x0) при х стремящемся к х нулевому.
7. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
1)если функция непрерывна в точке х0, то она ограничена в некоторой окрестности точки х0.
2)если для функций f(x) и g(x) в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x)< или равно g(x) и обе функции непрерывны в х0, то f(x0)< или равно g(x0).
3)если функция непрерывна в х0 и f(x0)>0, то существует окрестность х0 такая, что для всех значений аргумента в этой окрестности справедливо f(x)>0.
4)если f(x) и g(x) непрерывны в х нулевом, то в х нулевом будут непрерывны сумма функций, произведение и частное при g(x) неравное 0.
5)чтобы функция была непрерывна в х нулевом из области определения функции необходимо и достаточно условие f(x)=f(x0) + a(x), где а(х) - бесконечно малая в точке х нулевое.
6)если функция b(x) определена в окрестности t0=b(x0) и непрерывна в ней, то в некоторой окрестности х0 определена сложная f(b(x)), которая непрерывна в х0.