12. Дифференцирование сложных, неявных и параметрически заданных функций.

13. Теорема Ферма.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х нулевое, имеет экстремум в этой точке и дифференцируема в ней. Тогда производная функции в точке х нулевое равна нулю.

(Др формулировка) функция f(x) дифференцируема на интервале (а;b), точка х0 лежит в этом интервале и является экстремумом. Тогда производная функции в этой точке равна нулю.

Доказательство: f’(x) = lim при х стремящемся к х0 (f(x)-f(x0)) / (x-x0) = lim (f(x0+dx) - f(x0)) / dx при dx стремящемся к нулю

Если существует двусторонний предел в точке, то он равен односторонним пределам справа и слева, которые равны между собой.

Lim f(x) -f(x0) / dx при х стремящемся к х нулевому +0 = f’(x) = lim (f(x) - f(x0)) / dx при х стремящемся к х0+0

Получаем, что крайний левый предел из равенства выше (односторонний предел справа) меньше или равен нулю, а односторонний предел слева больше либо равен нулю, следовательно производная функции в точке х нулевое равна нулю.

14. Теорема Ролля.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (а;b) и принимает равные значения на концах промежутка, то есть f(a)=f(b). Тогда на интервале (а;b) существует хотя бы одна точка С такая, что производная функции в этой точке будет равна нулю.

Докозательства теоремы:

15. Теорема Лагранжа.

Есть f(x), которая непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (а;b). Тогда на этом промежутке существует хотя бы одна точка С, для которой выполняется условие:

Докозательство: возьмём вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-( f(b)-f(a) )/( b-a ))*(x-a), которая непрерывна и дифференцируема в промежутке [а;b], а на концах промежутка F(a)=F(b)=0. Тогда вспомогательная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и следовательно существует такая точка С на промежутке, что производная вспомогательной функции в ней равна 0. Следовательно:

16. Теорема Коши.

Есть функции f(x) и g(x), которые непрерывны на [a;b] и дифференцируема на (a;b), причем g(x) не равно нулю для всех х на промежутке. Тогда существует такая точка С на промежутке, для которой справедливо:

Доказательство: 1)отметим, что g(b)-g(a) не равно нулю, иначе была бы такая точка С, что g’(c) =0, что противоречит условию т. Коши. 2) рассмотрим вспомогательную функцию

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Тогда найдётся такая точка С в промежутке (a;b), что производная вспомогательной функции =0.

20/21. Экстремумы. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов функции.

Есть некоторая функция f(x) точка С. Рассмотрим функцию на промежутке (а;b), который содержит С. Если производная данной функции в точке С =0, то С является стационарной точкой. Если f’(c)=0 или не существует, тогда С есть критическая точка данной функции.

Точка С - точка локального максимума, если выполняется условие:

Точка С - точка локального минимума, если выполняется условие:

Необходимое условие экстремума. Если непрерывная функция f(x) имеет экстремум в точке Х0, то производная данной функции в этой точке равна нулю или не существует.

Первое достаточное условие экстремума. В точке х0 содержится экстремум функции, если при переходе через нее слева направо производная меняет свой знак.

Второе достаточное условие экстремума. Если первая производная f’(x0) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х0, а вторая производная f’’(x0) в этой точке положительна, то х0 - точка минимума, если f’’(x0) отрицательна, то х0 - точка максимума.