8. Точки разрыва.

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Точка разрыва первого рода это точка функции имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Точка разрыва второго рода есть точка функции, в котором она не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

9. Производная и дифференциал функции. Их геометрический смысл.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х0 и пусть существует конечный предел отношения (f(x0+ Δх) - f(x0) )/ Δx при Δх нулевое стремящемся к нулю. Тогда этот предел называется производной функции в точке х нулевое. Обозначается f штрих от х нулевое.

Дифференциал. Пусть f(x) лежит в области определения точки х нулевое. Тогда df = A dx + (dx) при dx стремящемся к нулю. Дифференциалом функции f(x) в точке х0 называется линейная функция А ∆х.

Геометрический смысл производной. Пусть f(х) принадлежит С (х0), производная f(x0) неравна бесконечности, М0М1 - некоторая секущая графика функции y=f(x) с уравнением y = k(x-x0) + y0, где k=df/dx, y0=f(x0). Устремив точку М1 к М0 при dx, стремящемся к нулю, мы переведём секущую М0М1 в прямую, которая в окрестности точки х нулевое будет иметь с графиком функции f(x) одну общую точку.

10. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на множестве Х из области определения функции. Тогда на Х определена производная данной функции f’(x). Такую производную называют производной первого порядка функции f(x). Если производная первого порядка дифференцируема на множестве Х1 из множества Х, то такая функция называется производной второго порядка и обозначается (f’(x))’. Продолжая этот процесс назовем n-ной производной функции y=f(x) её производную от производной порядка n-1. Производные порядка n>1 называют производными высших порядков.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на множестве Х из области определения функции. Дифференциал dy=f’(x) * dx - функция двух переменных х и dx. Зафиксируем значение dx. Тогда dy станет функцией одной переменной х. Дифференциал функции (при условии, что он существует) dy(x) называется дифференциалом второго порядка функции и обозначается d^2y или d^2 f(x)- функция переменной х. Дифференциал функции d^2y (если он существует) называется дифференциалом третьего порядка и обозначается d^3y. Продолжая этот процесс определим дифференциал n-ного порядка функции, как дифференциал от дифференциала порядка n-1. Обозначают d^n y. Дифференциалы порядка n>1 называют дифференциалами высших порядков.

11. Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции.

Пусть функция y=f(x) в точке х нулевое имеет производную y’(x0)=tg a. Тогда в точке М0 с координатами х нулевое и игрек нулевое существует касательная к графику этой функции. Уравнение касательной

Пусть функция у=f(x) в точке х0 имеет производную y’(x0)=tg a. Тогда в точке М0 с координатами икс нулевое и игрек нулевое существует нормаль к графику этой функции. Уравнение нормали