2. Циклические группы. Теория.

Что такое порядок + то что в первом вопросе, что такое образующая, как выглядит циклическая группа, прикладное применение

Образующий элемент – элемент, при повторении операции над которым, можно получить остальные элементы циклической группы.

Порядок элемента – количество повторений операции над элементом, необходимое для получения нейтрального элемента.

Подгруппы порядков – циклические группы, образованные из элементов изначальной циклической группы.

Циклические группы используются в RSA, Эль-Гамале, Диффи-Хеллмане, ГОСТе 34.10-94 (старая ЭЦП на Магме), ГОСТе 34.10-2018 (нынешняя ЭЦП на эллиптических кривых).

Запись циклической группы: , – количество элементов циклической группы.

Практика.

Полный анализ по лекции

Полное исследование циклической группы ( , мощность циклической группы)

1) Выписываем все элементы циклической группы:

2) Ищем образующие элементы циклической группы («степень» должна быть взаимно простой с мощностью циклической группы):

3) Ищем ВСЕ порядки элементов, не являющихся образующими (порядок образующей всегда равен мощности циклической группы):

…

4) Формируем подгруппы на основе полученных порядков. Две подгруппы всегда будут присутствовать – полная циклическая группа и группа только с нейтральным элементом:

Для проверки можно разложить мощность группы на множители ( ).

5) Строим диаграмму (соединяем так, чтобы элементы нижней подгруппы были обязательно в верхней подгруппе):

3. Кольца. Кольца классов вычетов. Теория.

Кольцо – множество, над которым задано две алгебраические операции, и выполняются принципы коммутативности (абелева группа, сложение всегда коммутативно, т.е. от перестановки мест слагаемых сумма не меняется) и дистрибутивности (полугруппа, умножение связано со сложением дистрибутивностью, т.е. умножение суммы на число равно сумме произведений этого числа на каждое слагаемое).

Кольца класса вычетов – из бесконечного множества элементов кольца получили конечное множество по остатку от деления (множество остатков).

Группа обратимых элементов (кольца класса вычетов) – формируется на основе взаимно простых чисел с основанием кольца (все элементы которые взаимно простые с основанием кольца).

Группа обратимых элементов является циклической группой, если имеется хотя бы один элемент, который имеет такой же порядок, как и мощность группы.

Кольца класса вычетов используются в RSA, MASH, DES, ГОСТе 28147-89 (старый алгоритм симметричного шифрования), MD, SHA-1/2, ГОСТе 34.11-2012 (нынешняя хэш-функция Стрибог).

Запись кольца классов вычетов: , – количество элементов кольца класса вычетов.

Практика.

Группа обратимых элементов, мощность этой группы, порядок элемента

Группа обратимых элементов (* потому что обратимы по умножению, элементы группы должны быть взаимно простыми со значением ):

.

Мощность группы = количество элементов группы обратимых элементов, т.е. .

Порядок элемента = возводим элемент в степень до тех пор, пока его значение по модулю не станет равным 1.

Поиск порядков О( ) и О( ) (образуют циклические подгруппы):

	О( )	О( )
1-я итерация	31 mod 32 = 3	51 mod 32 = 5
2-я итерация	32 mod 32 = 9	52 mod 32 = 25
3-я итерация	33 mod 32 = 27	53 mod 32 = 29
4-я итерация	34 mod 32 = 17	54 mod 32 = 17
5-я итерация	35 mod 32 = 19	55 mod 32 = 21
6-я итерация	36 mod 32 = 25	56 mod 32 = 9
7-я итерация	37 mod 32 = 11	57 mod 32 = 13
8-я итерация	38 mod 32 = 1	58 mod 32 = 1
Значение порядка	8	8

В качестве для циклических подгрупп выступает значение .

Поиск остальных порядков при условии, что есть циклические подгруппы:

Порядок	1-я итерация	2-я итерация	Значение порядка
O( )	311 mod 32 = 31	312 mod 32 = 1	2
O( ) = О(33)		–	8
O( ) = О(37)		–	8
O( ) = О(57)		–	8
O( )	151 mod 32 = 15	152 mod 32 = 1	2

4. Поля. Поля Галуа.

Теория.

Поле – элементы обратимы по всем операциям.

Поле Галуа – поле, расширенное неприводимым полиномом.

Поля Галуа используются в AES, ГОСТе 34.12-2018 (блочный шифр Кузнечик и сеть Фейстеля Магма).

Запись поля: F_p, где – простое число элементов в поле.

Запись поля Галуа: , где – число элементов в поле, – старшая степень полинома.

Практика.

Дано поле Галуа F₃² построенное с использованием многочлена

Количество элементов данного поля = 3² = 9.

Элемент x² в этом поле (находим значение самой старшей степени полинома, приводим по модулю , т.е. 3):

Остальные элементы находятся с помощью представления значений через x², т.е. x⁵ = (x²)² * x, степени младше x² никак не изменяются.

5. Цели и задачи криптографии. Основные понятия.

Шифр, шифрование, расшифрование, дешифрование, кодирование

Цели: триада CIA, определения

Шифр – система обратимых преобразований, зависящая от некоторого секретного параметра (ключа) и предназначенная для обеспечения секретности передаваемой информации.

Шифрование – процесс применения криптографического преобразования, основанного на использовании криптосистемы с некоторым параметром (ключом шифрования) для преобразования открытого текста в закрытый текст.

Расшифрование – процесс обратный шифрованию, преобразование закрытого текста в открытый с применением криптосистемы с некоторым параметром (ключом шифрования).

Дешифрование – обратное преобразование закрытого текста в открытый без использования ключа шифрования.

Кодирование – процесс преобразования букв (слов) алфавита Х в буквы (слова) алфавита Y.

Криптология – наука о математических аспектах защиты информации.

Криптография – наука о методах защиты информации с помощью математических методов преобразования информации.

Криптоанализ – наука о методах дешифрования.

Цели криптографии:

• Конфиденциальность – информация должна быть защищена от несанкционированного прочтения как при хранении, так и при передаче.

• Контроль доступа – информация должна быть доступна только для того, для кого она предназначена.

• Целостность – информация должна быть защищена от несанкционированной модификации как при хранении, так и при передаче.

• Аутентификация – возможность однозначно идентифицировать отправителя.

• Неотказуемость – отправитель не может отказаться от совершенного действия.