Оглавление

1 Группа 3

1. Алгебраические структуры. Свойства алгебраических структур. Группы, подгруппы. 3

Теория. 3

Практика. 3

2. Циклические группы. 5

Теория. 5

Практика. 6

3. Кольца. Кольца классов вычетов. 7

Теория. 7

Практика. 8

4. Поля. Поля Галуа. 9

Теория. 9

Практика. 9

5. Цели и задачи криптографии. Основные понятия. 10

6. Простейшие шифры: простой замены, перестановочный, аффинный. 11

7. Шифры гаммирования. Шифр Виженера/Вернама (одноразовый блокнот). 13

8. Хеш-функции. Свойства хеш-функций. 13

9. Электронная подпись. 15

2 Группа 16

1. Шифр Хилла. 16

2. Генерация простых чисел. 16

3. Генерация псевдослучайных последовательностей и их тесты. 17

4. Криптография с открытым ключом. 17

5. Ранцевая криптосистема. 18

6. Криптосистема RSA. 19

Теория. 19

Практика. 19

7. Криптосистема Эль-Гамаля. 20

Теория. 20

Практика. 20

8. Протокол Диффи-Хеллмана. Модификация эллиптическими кривыми. 21

9. Алгоритмы работы с большими числами. 21

3 Группа 23

1. Стандарт шифрования DES. 23

2. Стандарт шифрования AES. 24

3. ГОСТ Р 34.12-2015. Шифр «Магма». 25

4. ГОСТ Р 34.12-2015. Шифр «Кузнечик». 27

5. ГОСТ Р 34.10-2012. 28

1 Группа

1. Алгебраические структуры. Свойства алгебраических структур. Группы, подгруппы. Теория.

Основные определения, что такое нейтральное число, отличие групп/подгрупп/полугрупп/моноидов/циклические группы, прикладное применение

Алгебраическая структура – множество, над которым задано некоторое множество алгебраических операций.

Группа – моноид, у которого все элементы обратимы по алгебраической операции.

Полугруппа – множество с одной заданной алгебраической операцией.

Моноид – полугруппа с единичным элементом.

Единичный элемент (нейтральное число) – элемент, который при выполнении операции с ним не влияет на второе число, по сложению это 0, по умножению это 1.

Группы используются в Эль-Гамале, Диффи-Хеллмане, ГОСТе 34.10-94 (старый хэш на Магме).

Практика.

Поиск обратного по модулю числа (таблица и уравнение)

Поиск обратного числа через уравнение:

Для нахождения обратного числа должно выполняться условие: , где – число, к которому мы ищем обратное, – модуль.

Поиск обратного числа через таблицу:

Для нахождения обратного числа используется расширенный алгоритм Евклида, например:

i	q	r	a-1	n	a	y2	y1
0	–	–	–	33	31	0	1
1	1	2	-1	31	2	1	-1
2	15	1	16	2	1	-1	16
3	2	0	16	–	–	–	16

во время итераций

– порядковый номер итерации, – целая часть от деления на , – остаток от деления на , – обратное число, – значение модуля, – число, для которого мы ищем обратное, и – константы. Условие остановки – остаток от деления равен нулю.

Эллиптические кривые

Построить группу точек эллиптической кривой E_−5,3(F₁₃). Мощность вводить с учетом точки P₀=0

Числа -5 и 3 используются для записи уравнения эллиптической кривой, т.е. y² = x³ – 5x + 3

Число 13 – значение модуля.

Подстановка элементов поля в уравнение:

x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
y2	12	7	11	4	5	7	3	12	1	2	8	12	7

Убираем те координаты, в которых не извлекается целочисленный корень из y:

x	±6	±5	±4	±3	±2	±1	0
y2	36 = 10	25 = 12	16 = 3	9	4	1	0

x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
y2	12	7	11	4	5	7	3	12	1	2	8	12	7

Точки эллиптической кривой:

P0

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

P10

P11

P12

0

(-6; -5)

(-6; 5)

(-3; -2)

(-3; 2)

(0; -4)

(0; 4)

(1; -5)

(1; 5)

(2; -1)

(2; 1)

(5; -5)

(5; 5)

Количество точек эллиптической кривой = мощность группы.

Дана точка P = (1,−5) из группы точек эллиптической кривой E_−5,3(F₁₃). Найти точку 3P.

Находим 2P (R = L):

2P = (–3; –2)

Находим 3Р (R ≠ L):

3P = (5; –5)

При R+L = 0 лямбды нет.

* Условие гладкости: (в примере ) (дискриминант уравнения кривой не равен нулю)