Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Инженерная школа природных ресурсов

Химическая технология

Отделение химической инженерии

ОТЧЕТ

По лабораторной работе №6

^{Статистический анализ уравнения регрессии в полном факторном эксперименте}

^{(Название лабораторной работы)}

по дисциплине: Моделирование химико-технологических процессов

Выполнили студенты гр. 2Д21 ____________ Каширина В.А.

^{(Номер группы) (Подпись) (Ф.И.О.)}

2025 г.

^{(Дата сдачи отчета)}

Отчет принят:

к.х.н., доцент ­­­­­ _________ Мойзес О.Е.

^{(Ученая степень, ученое звание, должность) (Подпись) (Ф.И.О.)}

_____ _____________ 2025 г

^{(Дата проверки отчета)}

Томск 2025

Цель работы:

1. Освоить методы планирования эксперимента.

2. На основании имеющейся входной информации о химико-технологическом процессе получить статистическую модель и проверить модель на адекватность данному процессу.

В результате исследований, предусмотренных ходом выполнения лабораторной работы, студент должен решить следующие задачи:

1. Разработать алгоритм и программу расчета коэффициентов уравнения регрессии и полного статистического анализа полученного уравнения регрессии.

2. Выполнить проверку модели на адекватность процессу.

Теоретическая часть

Экспериментально-статистические модели на основе активного эксперимента (методы планирования экстремальных экспериментов).

С помощью математических методов оптимального планирования эксперимента можно получить математическую модель процесса даже при отсутствии сведений о его механизме. Ценность математического описания заключается в том, что оно:

• дает информацию о влиянии факторов;

• позволяет количественно определить значения функций отклика при заданном режиме ведения процесса;

• может служить основой для оптимизации.

Активный эксперимент ставится по заранее составленному плану и обрабатывается по некоторому оптимальному алгоритму с целью составления математической модели. Одним из основных методов теории активного эксперимента является статистическое планирование эксперимента.

Планы первого порядка. Полный факторный эксперимент.

При планировании по схеме полного факторного эксперимента (ПФЭ) реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях.

Суть факторного эксперимента:

1. Одновременное варьирование всех факторов на всех выбранных для исследования уровнях.

2. Представление математической модели в виде линейного полинома.

3. Исследование полученного полинома методами математической статистики.

Необходимое количество опытов N при ПФЭ определяется по формуле:

N=lⁿ

n – число факторов;

l – число уровней, на которых варьируются факторы.

Уровни факторов – это границы исследуемой области по данному технологическому параметру.

В основном применяется планирование на двух уровнях, т.е. l=2, тогда при n=2, N=2²=4.

Нулевой (основной) уровень (центр плана эксперимента) – это некоторое начальное значение фактора при составлении математической модели. Это точка с координатами

Интервал варьирования – часть области определения фактора, симметричная относительно его нулевого уровня.

Рассмотрим эти понятия на примере.

Пример. Объект исследования – реактор, в котором выход продукта Y зависит от двух факторов: температуры в реакторе (x₁) и давления (x₂). Известно априори, что Т=100-200; Р=10-20а, тогда 100 и 200, 10 и 20 – это два уровня, на которых варьируются факторы.

Верхний – 200⁰ и 20а

Нижний – 100⁰ и 10а

Основной нулевой уровень:150 15

Основной уровень: ;

Интервалы варьирования:

При ПФЭ эксперимент ставится только на границе области. В большинстве случаев эксперимент задается в виде матрицы планирования – это план (таблица), каждая строчка который представляет собой условия опыта, а каждый столбец матрицы соответствует значениям переменных в различных опытах.

Матрица планирования для предыдущего примера.

N=2ⁿ=4.

Таблица 1

Матрица планирования ПФЭ 2²

N	X1	X2	y
1	100 min	10 min	Y1
2	100 min	20 max	Y2
3	200 max	10 min	Y3
4	200 max	20 max	Y4

Это матрица планирования в натуральном масштабе.

Матрица планирования составляется для того, чтобы эксперимент провести по определенному плану, определить значения выходного параметра в каждом опыте и построить статистическую модель.

При планировании первого порядка получают математическую модель вида:

- линейное уравнение.

Кодирование переменных

Для удобства расчетов, переходят от натуральных координат (натуральных единиц измерения) к безразмерным. Формула перехода или кодирования имеет вид:

(1)

x_i – значения (верхний или нижний уровень) натуральной переменной.

- основной уровень натуральной переменной.

- интервал варьирования натуральной переменной.

X_i – кодированное значение i-го фактора (на верхнем или на нижнем уровне).

Перейдем от натуральных переменных к кодированным:

Для температуры:

Для давления:

Фактически мы обозначили значения факторов на верхнем уровне +1, (200,20), а на нижнем (100, 10) - -1;

Таблица 2

Матрица планирования в безразмерном масштабе

N	x0	x1	x2
1	+1	+1	+1
2	+1	+1	-1
3	+1	-1	+1
4	+1	-1	-1

x₀ – фиктивная переменная (+1), необходимая для вычисления свободного члена полинома.

Свойства матрицы планирования

Матрица планирования (таблица выше) обладает следующими свойствами:

1. uj; u, j=1,…n, n – факторы (2)

Равенство нулю скалярных произведений всех векторов-столбцов – это свойство называется свойством ортогональности.

2. , u=1,…,n (3)

3. , u=1,…,n

4. Свойствo ротатабельности: дисперсия предсказанного значения выходного параметра в любой точке факторного пространства при ПФЭ минимальна.

На основании всех перечисленных выше свойств, в частности ортогональности и ротатабельности значительно упрощается расчет коэффициентов регрессии.

Расчет коэффициентов регрессии

После того, как составлен план (матрица планирования), проводят эксперименты (дублируя опыты) и на основании результатов рассчитывают коэффициенты в уравнении регрессии по формулам:

u=1,…, n (факторы) (4)

Эти простые формулы получены благодаря свойству ортогональности на основании метода наименьших квадратов.

Здесь - коэффициенты регрессии, характеризующие взаимодействие факторов.

После вычисления коэффициентов регрессии приступают к статистическому анализу уравнения регрессии.

Статистический анализ уравнения регрессии

Регрессионный анализ состоит из трех основных этапов:

1. Оценка дисперсии воспроизводимости (оценка ошибки опыта)

a) определяется среднее по результатам опыта

(5)

m – число параллельных опытов.

b) рассчитываются выборочные (построчные) дисперсии.

(6)

c)

4. (7)

S²_max - максимальное значение выборочной дисперсии.

По критерию Кохрена проверяется дисперсия на однородность.

Если G<G_табл.(q,f₁,f₂), при f1=m-1; и f2= N , то дисперсия однородна.

e) Рассчитывается дисперсия воспроизводимости.

(8)

2. Оценка значимости коэффициентов проводится по критерию Стьюдента.

- абсолютное значение коэффициента регрессии.

- средне квадратичное отклонение i – го коэффициента.

(9)

Если , то коэффициент значим. Если нет, то коэффициент приравнивается к 0 и из уравнения исключается.

3. Проверка модели на адекватность по критерию Фишера

Если F<F_табл.(q,f_1,f₂), то линейное уравнение регрессии адекватно описывает процесс.

f₁=N-l; f₂=N(m-1).

ПРИМЕР РАЗРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И ПРОВЕРКИ ЕЕ НА АДЕКВАТНОСТЬ

В химическом процессе выход продукта реакции Y зависит от температуры x1 и концентрации реагента x2. Требуется с помощью ПФЭ найти математическое описание этого процесса.

Таблица 3