Добавил:

Lobov4ever Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Основы статистической радиотехники

Файл:

Лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2026

Размер:

2.45 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Дисциплина «Основы статистической радиотехники», 3 курс, 6-й семестр Раздел «Обнаружение детерминированного сигнала в белом гауссовом шуме»

Лекция на тему «Отношение правдоподобия при обнаружении детерминированного сигнала в белом гауссовом шуме»

		Лектор: доц. Лобов Е.М.
Имеются две гипотезы	H0	, утверждающая, что в полученная выборка содержит

только шум, и

, говорящая о наличии сигнала в приятной выборке:

где

помех

H		0	: y	= n
			i	i	, i =1	N ,
	H		: y
		1		= x + n
			i	i	i

отсчёты полезного сигнала (известные заранее), - длина полученной выборки y ={y1, y2 ,..., yN }.

(1)

- отсчеты шума и

Требуется синтезировать оптимальный (по определённому критерию в смысле

заданного	показателя		качества) алгоритм обработки выборки			yN	с целью
принятия решения		0	о верности гипотезы H0	или решения	1	о принятии
гипотезы	H1 .

Так как полезный сигнал наблюдается в шумах, то при принятии решения неизбежны ошибки.

Возможны ошибки двух видов:

Ошибка первого рода (ложная тревога) – это ошибка, при которой устройство принимает решение 1 о наличии сигнала в принятой выборке при его отсутствии (при корректности гипотезы H0 ). Вероятность ложной тревоги определяется как:

		Pлтр = P ( 1 / H0 ),	(2)
где	P( 1 / H0 )	- условная вероятность принятия решения 1	при справедливости

гипотезы H0 .

Ошибка второго рода (пропуск цели) – это ошибка, при которой устройство

принимает решение	0	об отсутствии сигнала в принятой выборке при его
присутствии (при	верности гипотезы		H1 ).	Вероятность пропуска цели
определяется как:
		Pпц = P ( 0 / H1 ),		(3)
				1

где P( 0

/ H1 )

- условная вероятность принятия решения

0 при корректности

гипотезы

H1 .

Запишем отношение правдоподобия:

(y / H )

C ,

(4)

(y / H

)

y ( y / H1 )

–

функция

плотности

вероятности

(ФПВ)

выборки

y ={y1, y2 , y3

,..., yN }

при

условии

справедливости

гипотезы

(функция

правдоподобия гипотезы

для выборки

y ).

y ( y / H0 )

–

функция

плотности

вероятности

(ФПВ)

выборки

y ={y1, y2 , y3

,..., yN }

при

условии

справедливости

гипотезы

(функция

правдоподобия гипотезы

для выборки

y ).

1. Критерий

минимума

среднего

риска

(критерий

Байеса):

C = C

(

−

)P(H )

(

−

)P(H

)

2. Критерий идеального наблюдателя (критерий минимума полной вероятности ошибки, критерий Котельникова, критерий максимума

апостериорной вероятности): C = CИД

3. Критерий максимума правдоподобия:

=P(H0 ) P(H1)

C = CМП

Обнаружение детерминированного вещественного сигнала в белом гауссовом шуме

Положим следующие свойства шумовых отсчетов

для

=1 N

1)случайные величины ni имеют гауссовское распределение (шум гауссовский),

2)шум центрирован, т.е. математическое ожидание шумовых отсчетов равно 0 в любой момент времени, m1 (ni ) = 0, для i =1 N ,

3)шум стационарен и имеет одинаковую среднюю мощность в любой

момент времени, т.е. известна),

M 2 (ni ) = D (ni ) = ш2 ,

для

=1 N

(дисперсия шума

4)отсчеты ni попарно некоррелированы между собой, т.е. С(ni ,nj ) = 0 для любых i j (шум белый),

5) т.к. отсчеты

попарно некоррелированы между собой, а шум

гауссовский, то отсчеты шума в том числе и независимы друг по отношению к другу,

6)с учетом свойств 4 и 5 многомерную ФПВ шума можно представить в форме произведения одномерных ФПВ.

Очевидно, что функция плотности вероятности (ФПВ) y ={y1, y2 , y3,..., yN } при условии справедливости гипотезы шума.

Тогда

y ( y / H0 ) выборки H0 совпадает с ФПВ

−

− y

i =1

y (

0 )

ш (

)

y / H

= w

i=1

(5)

Основываясь на (1) запишем

	( y / H	)
y	1

с учётом независимости отсчётов

принятой выборки и линейного преобразования (ФПВ) y ( y / H1 ) реализации выборки yi = xi

функции плотности вероятности

+ ni

в ФПВ шума

wш (yi

− xi )

выборки

= yi

−

(y −x

)

−(y −x )

i =1

y (

1 )

ш (

i )

y / H

y − x

i=1

Получим формулу для отношения правдоподобия

(y −x )2

)2 −y2

−

(y −x

2 y x −x2

( y

)

/ H

i =1

= e

/ H

)

(6)

Ради удобства вычисляют не отношение правдоподобия в чистом виде, а значение некоторой монотонной функции от этого отношения. Т.к. часто приходится иметь дело на практике с гауссовским шумом и с гауссовским законом распределения соответственно, то используют логарифм отношения правдоподобия.

Перепишем выражение отношение правдоподобия, прологарифмировав его, в форме


ln

y y

( (

y / H y / H

1 0

) )

)2 − y2

−

(y −x

2 y x −x2

i =1

= ln e



	=

N
2 y x − x		2
	i i	i
i=1	2		ln C
i=1

	2
	ш

Использование логарифма отношения правдоподобия избавляет от необходимости возводить в степень основание натурального логарифма е. Разумеется, сравнивать значение теперь следует с натуральным логарифмом от порога (который можно вычислить заранее).

Перепишем выражение в форме:

N		1	N
yi xi	ш ln C +	1	xi .
	2		2
i=1		2	i=1
i=1			i=1

Умножим левую и правую часть на интервал дискретизации:

(7)

N				1	N
i	i	2		1	2
i	i	ш			i
y x T			T ln C +	2	x T
i=1				2	i=1
i=1					i=1

(8)

Можно показать, что, устремляя интервал дискретизации к нулю (увеличивая до бесконечности частоту дискретизации, т.е. осуществляя дискретизацию с бесконечно малым шагом), при сохранении некоррелированности шумовых отсчетов (т.е. при переходе от квазибелого шума к истинно белому шуму) справедливо:

lim

(t)dt = Es

(9)

xi T

T −0

i=1

lim

yi xiT =

y(t)x(t)dt

(10)

T −0

i=1

(11)

шT

– двусторонняя спектральная плотность мощности шума.

Тогда получаем алгоритм работы устройство обнаружения в непрерывном времени:

T	N				E
s	N				E
s
		0	ln C +		s	,
y(t)x(t)dt		0	ln C +		s	,
0	2				2
0
Ts
где y(t)x(t)dt – корреляционный интеграл.
0
В цифровом виде без ограничения общности полагают T =1,
N				N0
xi2 = Es , ш2 =				N0
xi2 = Es , ш2 =				2
i=1				2

F	=1/ T
д

(12)

=1, тогда

(13)

N
2	= Es	- энергия сигнала, то окончательно получим:
Так как xi	= Es	- энергия сигнала, то окончательно получим:
i=1
		N	N			E
		yi xi	N		ln C +	E	,
		yi xi		0	ln C +	s	,
				0		s
		i=1	2			2
		i=1

где yi xi – корреляционная сумма.

i=1

Обозначим

N
= yi xi	,
i=1

(14)

(15)

- корреляционная сумма (интеграл) принятой выборки и опорного сигнала (опорный сигнал – синтезированный на приёмной стороне сигнал на основании знаний о переданном сигнале, в данном случае мы обладаем всем объёмом знаний о переданном сигнале, поэтому переданный и опорный сигнал равны).

Также можно назвать решающей статистикой.

Лекция на тему «Расчет вероятностей осуществления правильных и не правильных принятий решения обнаружителя детерминированного сигнала в белом гауссом шуме»

Лектор: доц. Лобов Е.М.

Оптимальный обнаружитель осуществляет вычисление решающей статистики по формуле

= yi xi

i=1N

(16)

где

– выборка наблюдаемого сигнала на входе обнаружителя,

детерминированного сигнала, который требуется обнаружить.

xi – отсчеты
Отсчеты	xi

являются известными величинами, тогда как отсчеты наблюдаемого на входе сигнала yi являются случайными величинами (это либо чистый шум, либо смесь

сигнала с шумом). В таком случае

также является случайной величиной, и

превышение ее некоторого порога является случайным событием. Тогда, если известен закон распределения случайной величины , то можно легко посчитать вероятности ошибочных и правильных решений в форме:

C ' =	N0	ln C +	Es	(17)
	2		2

/ H

) = P( C '/ H

) =

( / H

C '

P( 0 / H1) = P( C '/ H1) =

( / H1)d

−

/ H

) = P( C '/ H

) =

( / H

C '

/ H

) = P( C '/ H

) =

( / H

−

Внимание, вопрос: как выглядят w

( / H )

и w ( / H

) -?

Еще раз приведём формулу для

= yi xi

i=1

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)


в которой	xi – известные константы, yi – гауссовские случайные величины.
Тогда	является линейной комбинацией гауссовских случайных величин, и
сама является гауссовской. Тогда w ( / H1) и		w ( / H0 ) являются ФПВ для

гауссовской случайной величины. Чтобы найти конкретный вид этих функций,

следует найти математическое справедливости каждой из гипотез

ожидание и дисперсию при условии H0 или H1 .

Для гипотезы

( ) = m

y x

= m

(y x ) = m

(y )x

(n )x

= 0

i=1

2 (

)

(

i i )

( i

)

(

)

2 i

= M

y x

i=1

N E

ш i

i=1

Для гипотезы H1 :

m (

) = m

(n + x )x

= E

y x

= m

= m (n )x + x

i=1

N E

( ) = M

(n )x

E =

y x

= M

i=1

Здесь использовались свойства:

(23)

(24)

(25)

(26)

-математическое ожидание суммы случайных величин;

-дисперсия суммы независимых случайных величин;

-дисперсия случайной величины, умноженной на константу.

Тогда

																			2
												1					−
																	−	2		2
						w ( / H0 ) =									e					2	,
						w ( / H0 ) =									e						,

										2

										1					−	( −Es )2
															−			2		2
						w ( / H			) =					e							,



								1		2
										2

где 2	=	N0 Es	.
где 2	=		.
	2
	2
Замечание 1. Плотности распределения пересекаются в точке																											=	E	s
																													s
																												2
																								(0.5E )				2
																								(0.5E )
																										2
				E						E											1		−	2	s
				E						E											1			2	2

		w =			s	/ H0	= w =				s		/ H1		=							e				,
		w =				/ H0	= w =						/ H1		=							e				,

				2						2											2

(27)

(28)

(29)

Рисунок 1 – Плотности распределения решающей статистики для

N0 = 20

, Es

/ N0 = 5

, 10lg(Es

/ N0 ) 7 дБ

Рисунок 2 – Плотности распределения решающей статистики для

N0 =10 , Es / N0 =10 , 10lg(Es / N0 ) =10 дБ

=100

=100 ,

Тогда

		1	−	( −E				)	2		u =	( − Es )					1										1		C '− E
							s
P( 1	/ H1) =		e		2					d =			2			=					e		−u	du =				erfc			s
																															s
	C '	2																(C '−E )									2			2
											d =			2		du				s
											d =			2		du			2

																														(30)
						2				u =
		1		−			2										1				2				1				C '
		1		−			2					2					1				2				1				C '

P(	1 / H0 ) =		e		2			d =								=			e	−u		du =				erfc
					2															−u
		2																							2				2
	C '	2								d =			2		du			C '							2				2
	C '																	C '
																		2

(31)

где

erfc(x)

– дополнительная функция ошибок, имеющая выражение

														2
					erfc(x) =									2		e		−u			2		du
																		−u

																	x
																	x
	P( 0	/ H1) =1 − P( 1					1								C '− E										s								1				C '− E			s
				/ H1) =1 −							erfc														s				=					1 + erf						s
				/ H1) =1 −							erfc																		=					1 + erf
							2											2															2						2
							2											2															2						2

										1									C '														1						C '
	P(	0 / H0 ) =1 − P(		1 / H0 ) =1 −									erfc																=					1	+ erf					,
										2										2													2						2
										2										2													2						2

где erf (x)		– функция ошибок, имеющая выражение
																		2						x
			erf (x) =1 − erfc(x) =															2								e		−u			2	du .
																												−u

																								0
																								0
Рассмотрим варианты значений порога
					C ' =			N0					ln C +						Es
					C ' =					2			ln C +							2
										2										2
	Критерий				Значение порога
	Критерий				Значение порога
	Байеса		(минимума		C ' =	N			0			ln			( 10				− 00 )P(H0 )																	+	E	s
	среднего риска)								0																													s
	среднего риска)
							2																														2
							2									( 01 − 11 )P(H1)																					2
	Идеального		наблюдателя		C ' =	N			0			ln				P(H				0		)				+				E			s
	(минимума		вероятности						0											0													s
	(минимума		вероятности				2									P(H1)															2
	ошибки)						2									P(H1)															2
	ошибки)
	Максимума				C ' =	N0						ln		(		)	+	Es						=			Es
														(		)
	правдоподобия						2							1				2										2
	правдоподобия						2											2										2

(32)

,(33)

(34)

(35)

(36)

Можно показать, что характеристики обнаружителя исключительно зависят от отношения сигнал/шум Es / N0 , а не от конкретных значений энергии

сигнала Es и спектральной плотности мощности шума N0 .

Рисунок 3 – Плотности распределения решающей статистики для Es
N	0	=10	, E / N	0	=10	, 10lg(E	/ N	0	) =10 дБ
	0		s	0		s		0

Рисунок 4 – Плотности распределения решающей статистики для Es
N0 =100 , Es / N0 =10 , 10lg(Es / N0 ) =10 дБ
В таком случае удобнее рассматривать нормированное на	Es

решающей статистики и уровня порога.

=100

=1000 ,

значение

				N
				yi xi	C '
	=		=	i=1	C '	= C	(37)
	=		=			= C	(37)
отн		Es		Es		отн
		Es		Es	Es

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература

#
06.06.2026110 б0dsplib.url
#
06.06.20262.45 Mб0Лекции.pdf
#
06.06.202612.57 Mб0Липкин ОСР.pdf
#
06.06.2026132 б0Онлайн-доска.url