Добавил:

Lobov4ever Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Основы статистической радиотехники

Файл:

Лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2026

Размер:

2.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Тогда значения относительных порогов

Cотн

равны

Критерий

Значение порога

)

Байеса

(минимума

(

−

P(H )

среднего риска)

отн

(

−

)P(H

)

Идеального

наблюдателя

P(H

)

(минимума

вероятности

отн

2Es

P(H1)

ошибки)

Максимума

(

)

правдоподобия

ln 1

отн

(

/ H

)

= w

( =

/ H

)

= E

( =

/ H

)

отн

(

/ H

)

= w

( =

/ H

)

= E

( =

/ H

)

отн

Es e−

(

/ H ) =

= 2

= Es N0

e−отн N0

отн

−2

отн

2 2

отн

(

)

отн

−

−1

−(

−1)

отн

( отн

/ H1) =

отн

где

−1

отн

Замечание 2. Плотности распределения пересекаются в точке

отн =

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

Рисунок 5 – Плотности распределения относительной решающей статистики для различных ОСШ Es / N0

C '− E

− E

/ H

) =

erfc

отн

erfc (C

−1)

отн

C '

/ H

) =

erfc

отн

erfc C

отн

P( 0

/ H1) =

1 + erf (Cотн −1)

(43)

(44)

(45)

										1			E	s	,
								P( 0	/ H0 ) =		1 + erf	Cотн		s
								P( 0	/ H0 ) =	2	1 + erf	Cотн	N
										2			N
														0
Пример расчета порогов по различным критериям.
Дано:					ОСШ			Es	/ N0 =10 дБ =10			,	P(H0 ) = 0.9			,
		00		01	=	0.1	1.3
	10
	10		11			2.1	0.2

(46)

H1) = 0.1,

Тогда

Критерий

Байеса (минимума среднего риска)

Идеального

наблюдателя (минимума вероятности ошибки)

Максимума

правдоподоби


Значение порога
C		=	N		ln			(			−				)P(H )					+	1	=	1 1		ln	(2.1 − 0.1)0.9	+	1	=
C		=		0	ln					10			00					0		+		=			ln		+		=
	отн		2Es					( 01			− 11 )P(H1 )										2		2 10			(1.3 − 0.2)0.1		2
			2Es					( 01			− 11 )P(H1 )										2		2 10			(1.3 − 0.2)0.1		2
=	1	2.7951 +					1		= 0.6398
=	20	2.7951 +					2		= 0.6398
	20						2
C		=	N	0	ln	P(H					0	)		+		1	=	1	ln(9) +				1	= 0.6099
				0							0

	отн		2Es
			2Es					P(H1)								2		20					2

C	=	N	0	( )	+	1	=	1
				( )
				ln 1
отн		2E				2		2
		2E				2		2
			s

Рисунок 6 – Плотности распределения для ОСШ Es

относительной решающей статистики

/ N0 = 10 дБ

Рассчитаем вероятности ошибочных решений

Критерий		Значение вероятностей
Байеса	(минимума	P( 1	/ H0 ) = 0.0021
среднего риска)		P( 0	/ H1) = 0.0536
Идеального	наблюдателя	P( 1	/ H0 ) = 0.0032
(минимума	вероятности	P( 0	/ H1) = 0.0405
ошибки)
			13

Максимума	P( 1	/ H0 ) = 0.0127
правдоподобия	P( 0	/ H1) = 0.0127

Замечание 3. Вероятности ошибочных решений для критерия максимума правдоподобия при обнаружении детерминированного сигнала в белом гауссовском шуме всегда равны друг другу.

Замечание 4. При фиксированном ОСШ изменение порога приводит к изменению вероятностей ошибочных решений. При увеличении порога вероятность ложной тревоги падает, а вероятность пропуска цели растет и наоборот. Добиться одновременного уменьшения значения вероятностей ошибочных решений можно только увеличивая отношение сигнал/шум, – либо за счет увеличение энергии сигнала (например, увеличивая излучаемую мощность радиолокатора), либо за счет уменьшения уровня шума приемника (например, применением малошумящих усилителей).

Замечание 5. Вероятностные характеристики обнаружителя детерминированного сигнала в белом гауссовом шуме не зависят от формы сигнала, а зависят только от отношения сигнал/шум в точке приема.

Лекция на тему «Критерий Неймана-Пирсона обнаружения детерминированных сигналов. Кривые вероятности пропуска цели и ложной тревоги»

Наиболее часто встречаемым критерием обнаружения является критерий Неймана-Пирсона. В качестве показателя качества выбирается вероятность пропуска цели, которая минимизируется, при фиксированном значении вероятности ложной тревоги. Другими словами задача оптимизации

формулируется следующим образом:
	P	P	, при	P = const ,		(47)
	пц	пц min		лт
где Pлт	– заданный уровень вероятности ложной тревоги,				Pпц min	– минимально

возможное значение вероятности пропуска цели, достижимое в сформулированных условиях наблюдения сигнала на фоне шума.

В этом случае алгоритм обнаружения опирается на лемму НейманаПирсона об оптимальности, согласно которой, оптимальным является такое правило принятия решения, в котором отношение правдоподобия сравнивается с порогом, выбирающимся из условия заданной вероятности ложной тревоги.

Тогда справедливо

	(y / H )
y	1		CНП	,	(48)
	(y / H	)	CНП	,	(48)
	(y / H	)
y	0

где

C	НП

– порог Неймана-Пирсона, который вычисляется по заданному

значению ложной тревоги

Pлт

из уравнения


P	= P(	1	/ H	) =		w	(
лт		1	0
					С
					НП

H	)d
0

(49)

Тогда вероятность пропуска цели будет принимать своё минимальное значение и будет равна

		С
		НП
Pпц = Pпц min = P( 0	/ H1) =		w ( / H1 )d .
Pпц = Pпц min = P( 0	/ H1) =		w ( / H1 )d .
		−

Проведём вывод выражений для вероятности ложной тревоги

(50)

Pлт

вероятности пропуска цели Pпц для детерминированного сигнала по критерию

Неймана-Пирсона. Решающая статистика определяется выражением (15). Вероятность ложной тревоги определяется выражением (31), откуда можно выразить значение порога

С	НП

= C ' =	2		erfcinv(2P	) =	E	N	erfcinv (2P	) = E	s
			лт		s	0	лт		s

erfcinv(2P			)
		лт
E	/ N	0
s		0

, (51)

где x = erfcinv( y) – функция обратная к дополнительной функции ошибок y = erfc(x) . Относительный (приведенный к Es ) порог определится в форме

C '

erfcinv(2P

)

НП

лт

НПотн

/ N

(52)

Вероятность пропуска цели с учетом (51) и (33) (или что тоже самое с учетом (52) и (45)) определится в форме:

				1		erfcinv (2P	)−	E
P(		/ H	) =		1 + erf
				2				N
	0	1				лт

s 0



(53)

Построим кривые вероятностей ошибочных решений.
Дано:				ОСШ			Es / N0		от 5 до 15 дБ,	P(H0 ) = 0.9	,	P(H1) = 0.1,
		00		01		0.1	1.3
		00		01	=			, вероятность ложной тревоги для критерия Неймана-
	10		11		=	2.1	0.2	, вероятность ложной тревоги для критерия Неймана-
	10		11			2.1	0.2

Пирсона P( 1 / H0 ) = 0.001. На рисунке 7 приведены рассчитанные кривые вероятности пропуска цели и ложной тревоги для различных критериев.

Рисунок 7 – Кривые вероятности пропуска цели и ложной тревоги для различных критериев

Из характера кривых видно, что с увеличением ОСШ, вероятности ошибочных решений уменьшаются (без зависимости от формы сигнала).

Примечательным является вид кривых для критерия максимума правдоподобия и Неймана-Пирсона. Как уже говорилось выше, вероятности принятия ошибочных решений для критерия максимума правдоподобия совпадают. Это следствие значения порога, который выбирается ровно в точке

пересечения плотностей распределения

w ( / H0 )

w ( / H1) . Уровень

вероятности ложной тревоги по критерию Неймана-Пирсона остается постоянным для любого ОСШ. Это достигается тем, что для каждого ОСШ порог рассчитывается таким образом, чтобы уровень вероятности ложной тревоги был равен заданному значению. Однако, сохранение постоянного значения вероятности ложной тревоги при низких ОСШ приводит к существенному увеличению вероятности пропуска цели (при ОСШ до пересечения кривых, порядка 12.7 дБ), и наоборот при высоких ОСШ (при ОСШ после пересечения кривых) – к существенному уменьшению вероятности пропуска цели. Наглядно эту закономерность можно увидеть на кривых, изображенных на рисунке 8.

Рисунок 8 – Кривые вероятности пропуска цели и ложной тревоги для различных критериев

На рисунке видно, что при уменьшении ОСШ ниже 12.7 дБ, уровень вероятности пропуска цели для критерия Неймана-Пирсона начинает резко расти вверх становится наибольшим из всех. С другой стороны, при росте ОСШ, начиная с 12.7 дБ, кривая вероятности пропуска цели для критерия НейманаПирсона резко уходит вниз.

Лекция на тему «Коррелятор и согласованный фильтр в задачах обнаружения сигналов»

При обнаружении детерминированного сигнала в белом гауссовском шуме обнаружитель осуществляет вычисление корреляционной суммы отсчетов наблюдаемой выборки yi и обнаруживаемого сигнала xi по (54)

=yi xi

i=1N

(54)

или корреляционного обнаруживаемого сигнала

интеграла наблюдаемого процесса

x(t) по (55)
	Ts
а =		y(t)x(t)dt ,
а =		y(t)x(t)dt ,
	0

y(t)

(55)

взависимости от реализации обнаружителя (цифровой или аналоговый).

Сточки зрения теории сигналов, говорят, что вычисляется скалярное произведение двух сигналов или корреляция двух сигналов. Устройства, вычисляющие корреляцию двух сигналов, называются корреляторами (см.

рисунки 9 и 10). Отсчеты	xi	еще называют опорной выборкой, а сигнал
опорным сигналом.

Рисунок 9 – Цифровой коррелятор

Рисунок 10 – Аналоговый коррелятор

x(t)

–

Технически коррелятор осуществляет накопление энергии сигнала на интервале его длительности. Действительно, при наличии сигнала x(t) в

наблюдениях y(t) на фоне шума n(t) справедливо

y(t) = x(t) + n(t)

(56)

T	T	T	T
s	s	s	s
		2	(t)dt + n(t)x(t)dt = Es
= y(t)x(t)dt = (x(t) + n(t))x(t)dt = x			(t)dt + n(t)x(t)dt = Es
0	0	0	0

+ N

, (57)

где Es – энергия сигнала, определяющая математическое ожидание а , а N –

случайная величина, обеспечивающая отклонения отклика коррелятора из-за наличия шума n(t) .

Особенностью работы коррелятора является необходимость синхронизации во времени наблюдаемой выборки (процесса) и отсчетов обнаруживаемого сигнала. В случае сдвига их друг относительно друга, результат будет отличаться от ожидаемого, а алгоритм не будет являться оптимальным.

Реально на практике обнаруживаемый сигнал в наблюдаемом процессе присутствует с некоторой задержкой з , обусловленной его распространением

до цели и обратно (в задаче радиолокации). Чтобы его обнаружить, следует опорный сигнал коррелятора подстраивать по задержке н , таким образом, чтобы

синхронизировать опорный сигнал и обнаруживаемый сигнал в наблюдаемом процессе, т.е. добиться н =з .

	Рисунок 11 – Подстройка коррелятора
Очевидно, что для одной и той же реализации наблюдаемого процессе на
входе y(t, з )	результат вычисления будет нелинейно зависеть от н .

				н +Ts
а ( з , н ) =						y(t, з )x(t − н )dt					=
а ( з , н ) =						y(t, з )x(t − н )dt					=
					н
	н +Ts							н +Ts
=		x(t −			з )x(t −		н )dt +		n(t)x(t −н )dt
=		x(t −			з )x(t −		н )dt +		n(t)x(t −н )dt
	н							н
Сделаем замену переменных в (58) в форме t ' = t −н , тогда
			Ts							Ts
а ( з , н ) =				x(t '+ н −			з )x(t ')dt ' +				n(t '+ н )x(t ')dt '
а ( з , н ) =				x(t '+ н −			з )x(t ')dt ' +				n(t '+ н )x(t ')dt '
			0							0
Из (59) видно,		что			среднее значение						а ( з , н ) зависит

принимаемого сигнала относительно опорного сигнала = н −з .

(58)

(59)

от сдвига

При этом

Ts x(t '+ н − з )x(t ')dt ' Es

при

	н

	з

При неизвестной заранее задержке, можно пытаться проводить серию обнаружений с различными предполагаемыми значениями задержки. Эту задачу можно решить, если вычислять корреляционный интеграл (59) для различных значений задержек. Имея в распоряжении только один коррелятор, придется делать это последовательно, что потребует увеличения времени обработки наблюдаемого процесса. Можно использовать одновременно несколько корреляторов, что ускорит процесс, но потребует дополнительных аппаратных и вычислительных ресурсов.

Интересно ответить на вопрос: существует ли устройство, позволяющее вычислить (59) для всевозможных сдвигов по задержке ? Выражение (59) представляет собой взаимно-корреляционную функцию двух сигналов:

опорного x(t) и наблюдаемого	на входе приемника	y(t) . Таким устройством
является согласованный фильтр	(СФ).

Согласованный фильтр — это такой фильтр, который согласован с

некоторым сигналом.	В данном случае согласованный с опорным сигналом x(t)
, т.к. именно его мы	пытаемся обнаружить в наблюдаемом сигнале на входе

приемника

y(t) . Согласование заключается в том, что характеристики

согласованного фильтра полностью определяются сигналом, с которым он согласован. В частности, импульсная характеристика согласованного фильтра

hсф (t)	полностью определяется сигналом x(t) по закону:
	hсф (t) = x(Ts −t)	(60)
	На рисунке 12 приведен вариант импульсной	характеристики

согласованного фильтра (внизу) для конкретного вида сигнала x(t) (сверху). При изменении сигнала x(t) импульсная характеристика фильтра также изменится. Из рисунка, в частности, видно, что простое зеркальное отображение сигнала

x(t)	приводит к импульсной характеристике, отличной от нуля для

отрицательного времени, т.е. к физически нереализуемому фильтру. Поэтому

зеркальная копия сигнала

x(−t)

сдвигается вправо на оси времени, т.е.

задерживается на длительность сигнала Ts , что приводит к импульсной характеристике физически реализуемого фильтра виде (60).

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература

#
06.06.2026110 б0dsplib.url
#
06.06.20262.45 Mб0Лекции.pdf
#
06.06.202612.57 Mб0Липкин ОСР.pdf
#
06.06.2026132 б0Онлайн-доска.url