Добавил:

Lobov4ever Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Основы статистической радиотехники

Файл:

Лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2026

Размер:

2.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Лекция на тему «Оптимальное обнаружение квазидетерминированного сигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой на фоне аддитивного белого гауссовского шума»

Лектор: доц. Лобов Е.М.

	0

Рассмотрим задачу обнаружения сигнала со сдвигом по фазе на величину

. Будем полагать, что сдвиг по фазе 0 является случайной величиной с

равномерной плотностью распределения вероятностей:

(	) =	1	, −	(105)

0		2

Имеются две гипотезы: H0 , утверждающая, что в полученная выборка содержит

только шум, и

H1	, говорящая о наличии сигнала в приятной выборке:
	H		0	: y	= n
			0	i	i			, i =1 N ,
		H				j		, i =1 N ,
		H		: y	= x e	j	0	+ n
							0
			1	i	i			i

(106)

где

заранее), 0

отсчёты комплексной огибающей полезного сигнала (известные

– сдвиг по фазе, которые приобрел сигнал по разным причинам (из-

за задержки в канале связи, некогерентности генераторов передатчика и

приемника и т.д.),	ni	- отсчеты шума и помех в двух квадратурных каналах, N -
длина		полученной	выборки

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

y =

, Re

,..., Re

, Im

,..., Im

отсчетах времени, всего чисел 2N, по N в каждой квадратуре). Фазовый сдвиг

(в

	0

может быть известен, а может быть не известен (что обычно бывает на практике). Если сдвиг по фазе неизвестен, а требуется синтезировать обнаружитель сигнала известной формы, то говорят о задаче оптимального обнаружения квазидетерминированного сигнала. Квазидетерминированный сигнал является сигналом полностью известной формы с точностью до значений некоторых параметров, например, начальной фазы или амплитуды. Математические модели таких сигналов содержат в себе ряд параметров, значения которых могут быть

неизвестны. Синтезируем алгоритм обнаружения сигнала

в предположении

известности значения фазового сдвига 0 .

Последовательно выделим вещественные и мнимые части комплексной

огибающей полезного смещённого на 0 сигнала и принятой выборки:
Re(xie j 0	)= xi Re cos 0	− xi Im sin 0	,	(107)
Im(xie j 0	)= xi Im cos 0	+ xi Re sin 0	,	(108)

y	= x	cos − x		sin	+ n
i Re	i Re	0	i Im	0	i Re
y	= x	cos + x		sin + n
i Im	i Im	0	i Re	0	i Im

(109)

(110)

Используя полученные результаты (см. (107) - (110)), запишем отношение правдоподобия:

i Re

(

))

i Im

( i

))

(

−

−Re x e

−

−Im x e

2 N

i =1

y ( y / H1 )

2 ш

(y / H )

−

)

−

)

2 N

i Re

i Im

i =1

(

i Re

( i

))

(

i Im

(

))

i Re

i Im

−

−Re x e

−

−Im x e

)

i =1

= e

(111)

Рассмотрим числитель показателя степени экспоненты

в выражении (111)

подробнее

	N														2		N																					2				N								N
	(		i Re				(		i		j		))		2		(		i Im								(		i				j		))			2			i Re									i Im
−		y		− Re				x e			j	0				−			y				− Im					x e					j	0					+						y		2	+				y	2		=
												0																						0
	i=1																i=1																								i=1									i=1
	N		i Re				(		i				)				i Im				(		i			)				(						(		i					))			2		(			(	i					))	2
			i Re				(		i				)				i Im				(		i			)				(						(		i					))			2		(			(	i					))	2
=			2 y		Re			x e			j	0		+		2 y		Im				x e		j	0			−				Im					x e			j		0					−		Re			x e		j		0
												0													0																	0														0
	i=1
	N			(								*	)			N					2												N															N				2
				(	i (		i		j		)		)			i			j												i								i		− j							i
=		2 Re		y		x e				0				−			x e			0			= 2 Re												y x e									0			−			x
										0										0																								0
	i=1															i=1																i=1																i=1

Запишем получившееся в итоге выражение:

(112)

				N		2		N
					i
			−		x		+2 Re
			−		x		+2 Re
	( y / H )							2
			= e	i =1			i =1
y	1		= e				2	ш
y	1						2

	(y / H	)
y	0

Тогда логарифм отношения правдоподобия:

	*	− j	0
	*	− j
y x e
i	i

(113)

			N	2			N
			i				i	i	− j
		−	x		+ 2 Re			*	− j
		−	x		+ 2 Re		y x e			0
	y ( y / H1 )	=	i=1			i=1
ln		=			2 ш
	y (y / H0 )				2 ш
						2

Получим из (114) правил принятия решения в форме:



	ln C
	ln C

(114)

= Re

− j

ln С +

ln C +

y x e

i=1

2 i=1

(115)

Физический смысл алгоритма (115) в том, что вычисление корреляционной суммы осуществляется с устранением фазового сдвига путем умножения каждого отсчета наблюдаемой выборки на e− j 0 . Очевидно, что это можно

сделать только в том случае, если фазовый сдвиг известен заранее. Однако на практике он не известен и, более того, может быть случаен. Тогда необходимо модифицировать алгоритм обнаружения таким образом, чтобы он не требовал знания величины 0 в явном виде и учитывал вероятностные характеристики 0

как случайной величины.

Рассмотрим синтез алгоритма обнаружения квазидетерминированного сигнала с неизвестной равновероятно распределенной начальной фазой. Запишем отношение правдоподобия:

− j

−

+2 Re

y x e

/ H

, )

i i

i =1

(y /

)

= e

i =1

(y / H )

Учтем, что

i i

− j

= e

y x

y x e

i=1

Введём замену в (116):

(y x

) e

i i

i=1

(

)

y x

где = arctg

i=1

(

)

y x

i=1

После замены, вещественная часть от суммы (117) имеет вид:

(116)

(117)

(118)

	N				N			N
Re	yi xi*e− j 0		= cos 0	Re	(yi xi* ) e j	+ sin 0	Im	(
	i=1				i=1			i=1
		N			N
= cos 0 cos( ) (yi xi* )				+ sin 0 sin( ) (yi xi* )
		i=1			i=1

yi xi* ) e j =

(119)

= (yi xi* ) cos( − 0 )

i=1

Следовательно, после преобразований отношение формульное представление:

всех математических

правдоподобия

(y / 0 )

и арифметических имеет следующее

		N		N	)	(	0 )
	−	i	2 +2	( i i	)	(	0 )
	−	x	2 +2	y x*		cos −
		i =1		i =1
(y / 0 ) = e				2 ш2			.	(120)
(y / 0 ) = e							.	(120)

		N		2
В (120) имеет место равенство			xi	2	= Es . Тогда получим:
В (120) имеет место равенство			xi		= Es . Тогда получим:
		i=1
							N	)	0
							( i i	)	0
							*		cos( −	)
				−E			y x		cos( −	)
				−E			i =1
					s		i =1
	(y / 0 ) = e			2	2	e			2	.	(121)
	(y / 0 ) = e			2	ш	e			ш	.	(121)
					ш				ш
Учтем,	что случайная фаза	0		распределена по равномерному закону на
интервале	(−, . Исходя из этого						предположения усредним				отношение

правдоподобия по 0 .

				1
			(y ) =	1	(y / 0
			(y ) =	2	(y / 0
				2	−
					−
	1					−Es	1
( y ) =			(y / 0 )d 0 = e2 ш2

	2							2
	2	−						2
		−

)d	0	=
	0

−(yi xi* ) cos( −0 )

i =1

e ш2 d 0 , (122)N

−

где 1 / (2 ) - функция плотности вероятности случайной величины 0 .

Заметим, что интеграл в выражении (122) равен модифицированной функции Бесселя первого рода нулевого порядка:

(y x

)

x cos

I0 (x) =

d ,

x =

i=1

−

Тогда, справедливо

( i i )

(

0 )

y x

cos −

(yi xi )

i =1

i=1

d 0 = I0

−

Отношение правдоподобия будет иметь вид:

−Es

(yi xi* )

( y ) = ( y )

= e

2 ш2 I

i=1

C .

следовательно, правило принятия решения примет вид:

(123)

(124)

(125)

	N							E
	(	i	i	)		0		s		ш
	(	i	i	)		0		2	2	ш
=		y x	*		I	−1	Ce		2	2
			*			−1			ш	2
									ш
	i=1

где I0−1 (x)- функция, обратная модифицированной рода нулевого порядка.

(126)

функции Бесселя первого

Из выражения (126) делаем вывод, что решение о наличии или отсутствии сигнала со случайной начальной фазой по комплексной огибающей в принятой выборке принимается по модулю корреляционной суммы.

(

y x

)

y x

i=1

(127)

Оценивание начальной фазы по максимуму правдоподобия приводит к решению задачи:

			N
		2 Re	y x*e− j 0
			i		i
d		i =1		2
d		e	2	2		= 0	(128)
				ш

d
d	0
	0

Или, что то же самое, что

− j

y x e

y x

cos(

) + Im

y x

sin(

)

= 0

d 0

i=1

d 0

i=1

Тогда

−Re

y x

sin(

) + Im

y x

cos(

) = 0

i=1

(129)

(130)

откуда

y x

tan(

) =

i=1

y x

i=1

yi xi*

= arctan

i=1

= arg

yi xi

i=1

yi xi

i=1

Подставляя оценку (132) в правило (115) получим:

(131)

(132)

		N
		N
= Re
		i=1
	N
= Re	N
	i
		y
	i=1
	i=1

и в итоге

yx*e− j


			j arg
	*
x	*	e
x		e
i

=yi

i=1N

 

i =1

x	*

i

		N
= Re		N		i
		i		i
				*
			y x e
		i=1
		i=1

*			N	*
*	− j arg			*
y x	− j arg			y x
i i			i i
	e	i =1
	e

N	0	ln C +


2

				N
− j arg				*
− j arg				y x
				i i		=
			i =1			=
			i =1


				N
				N	i
	=		i		i
	=			y x
					*
				i=1
				i=1

E		s	.
		s
2
2

(133)

(134)

Таким образом, что усреднение по фазе, что оценивание ее как неизвестного параметра, приводит к одному и тому же алгоритму вычисления решающей статистики:

N =

i=1

yx*

(135)

– модуль корреляционной суммы, в котором неизвестна начальная фаза не участвует. Алгоритмы принятия решения (126) и (134) при этом отличаются лишь порогами.

Однако, при переходе к критерию Неймана-Пирсона, порог будет вычислен исходя из свойств решающей статистики (135) и заданного уровня вероятности ложной тревоги, что в итоге сведет (126) и (134) к одному и тому же алгоритму.

Лекция на тему «Расчет вероятностей осуществления правильных и неправильных принятий решения обнаружителя квазидетерминированного сигнала с неизвестной начальной фазой в белом гауссом шуме»

Лектор: доц. Лобов Е.М.

Рассмотрим обнаружение сигнала с неизвестной случайной начальной фазой 0 :

H		0	: y	= n
		0	i	i			, i =1 N ,	(136)
	H		: y	= x e	j		, i =1 N ,	(136)
	H		: y	= x e	j	0	+ n
						0
		1	i	i			i

Решающая статистика при этом имеет вид (126):

	N							E
	(	i	i	)		0		s
	(	i	i	)		0		2	2
=		y x	*		I	−1	Ce		2
=		y x	*		I	−1	Ce		ш
									ш
	i=1

2 ш

(137)

Чтобы иметь возможность рассчитать вероятности правильных и не правильных решений обнаружителя, как и ранее необходимо знать условные плотности распределения статистики для каждой из гипотез.

1) Рассмотрим гипотезу H0 для которой справедливо yi = ni . Тогда

	N
Re (
	i=1

(138)

y x

+ n

) = (n

i Re

i Im

i=1

)

(

i i

y x

i=1

			N
Im (
		i=1
			2
x	*			+
	*
i

y x						N
y x		*	) = (n
		*
i		i					i
						i=1
					N
					N
	Im					y x	*
	Im					y x
						i	i
				i=1

 

x
	i Re
	2

.

− ni Re xi Im )

(139)

Из (138) видно, что вещественная и мнимая части комплексной корреляционной суммы являются суммой независимых гауссовских случайных величин, умноженных на некоторые константы. Тогда вещественная и мнимая части корреляционной суммы по отдельности являются тоже гауссовскими величинами.

Можно легко показать, что

m1 Re

(yi xi* ) = m1

(yi xi* ) = 0,

(140)

i=1

N0 Es

2 Re

(yi xi* )

= M

2 Im

(yi xi* )

= ш2 Es =

= 2

(141)

i=1

Можно показать также, что вещественная и мнимая части суммы не коррелируют друг с другом, а значит являются независимыми (т.к. гауссовские).

Тогда, решающая статистика, в соответствии с (139), является нелинейным преобразованием двух независимых гауссовских величин с нулевым средним и

равной дисперсией	2	. Известно, что такое преобразование с учетом

центрированности гауссовских величин, приводит к случайной величине, распределенной по Рэлею. Можно показать, что условная плотность вероятности решающей статистики для гипотезы H0 является плотностью вероятности Рэлея и может быть записана в форме:

−

(

/ H ) =

2) Рассмотрим гипотезу

для которой справедливо yi

= xie

)

+ n

cos

Re (y x

= (n

)+ x

i i

i Re

i Im

i=1

(

y x

)

(

− n

sin

i Im

i Re

i Im )

i=1

(142)

+ ni

. Тогда

, (143)

Аналогично вещественная и мнимая части комплексной корреляционной суммы являются суммой независимых гауссовских случайных величин, умноженных на некоторые константы, к которым еще добавлены другие константы. Тогда вещественная и мнимая части корреляционной суммы по отдельности являются тоже гауссовскими величинами. Можно легко показать, что

)

= x

cos

= E

cos

(y x

i=1

m1 Re

(yi xi* )

/ 0 =

sin 0

= Es sin 0

(144)

i=1

N0 Es

M 2 Re

(yi xi* ) = M 2

(yi xi* ) = ш2 Es

= 2

(145)

i=1

Усреднение в (144) осуществляется только по реализациям шума, поэтому математическое ожидание является условным, а условием является некоторое

значение

	0

Тогда, решающая статистика, в соответствии с (139) и с учетом (144) и (145), является нелинейным преобразованием двух независимых гауссовских величин с ненулевым средним и равной дисперсией 2 . Известно, что такое

преобразование с учетом нецентрированности гауссовских величин, приводит к случайной величине, распределенной по закону Райса. Можно показать, что условная плотность вероятности решающей статистики для гипотезы H1 является плотностью вероятности Райса и может быть записана в форме:

						2	+E	2
					−		+E	s		E
					−		2	s		E
w	( / H	) =		e		2		I			s
											s
			2						0		2
	1		2						0		2

 

(146)

Вероятности правильных и неправильных решений можно рассчитать по формулам:


P( 1 / H1) = P( C '/ H1) =		w ( / H1)d ,
P( 1 / H1) = P( C '/ H1) =		w ( / H1)d ,
	C '
	C '
P( 0 / H1) = P( C / H1) =		w ( / H1)d ,
P( 0 / H1) = P( C / H1) =		w ( / H1)d ,
	0

P( 1 / H0 ) = P( C '/ H0 ) =		w ( / H0 )d ,
P( 1 / H0 ) = P( C '/ H0 ) =		w ( / H0 )d ,
	C '
	C '
P( 0 / H0 ) = P( C '/ H0 ) =		w ( / H0 )d .
P( 0 / H0 ) = P( C '/ H0 ) =		w ( / H0 )d .
	0
Найдем указанные вероятности

(147)

(148)

(149)

(150)

													2								2
										−									−	С '
										−			2						−		2
							2				2		2						2		2
P(	1	/ H0 ) = P( C '/ H0 ) =						e			2			d = e					2			(151)

				C '
				C '
																С '	2
															−	С '
															−	2	2
		P( 0	/ H0 ) =1 − P( 1 / H0 ) =1 − e														2					(152)
		P( 0	/ H0 ) =1 − P( 1 / H0 ) =1 − e																			(152)

											2	+1
				C '					−			+1
				C '					−		2		2
P(	0	/ H1) = P( C '/ H1) =				2		e			2			I0				2	d			(153)
P(	0	/ H1) = P( C '/ H1) =						e						I0					d			(153)

				0
				0
			P( 1 / H1) =1− P(		0 / H1)																	(154)

Как видно из выражений, вероятности принятия правильных и не правильных

решений зависят только от отношения сигнал/шум, от которого зависит

по

отн

(155).

Перейдем как и ранее в (142) и (146) к относительному порогу

отн

получим:

−отн2

−

отн2

2 2

(

/ H

) = 2

отн

отн ,

(155)

отн

−

отн

(

/ H ) =

отн

где

  

(156)

а относительный порог равен

2отн

C	=
отн

C '/

2E
	s
N	0

Es .

	−1

(157)

отн

На рисунке 19 приведены графики

для различных значений ОСШ Es

/ N0

условных плотностей вероятностей

Рисунок 19 – Плотности распределения относительной решающей статистики для различных ОСШ Es / N0

Критерий Неймана-Пирсона для сигнала с случайной начальной фазой

Критерий Неймана-Пирсона при обнаружении сигнала со случайной начальной фазой имеет тот же смысл, как и ранее.

Порог Неймана-Пирсона для обнаружителя сигнала с неизвестной начальной фазой определяется с использованием формулы (151).

Выражение для порога по заданному уровню ложной тревоги имеет вид:

(158)

С '

−2ln P

= E

−2ln P

−2E ln

НП

лтр

Выражение для относительного порога имеет вид:

					N0		(159)
С	=		−2ln P	=	N0	−2ln P
С	=		−2ln P	=		−2ln P
отн			лтр			лтр
		отн			2Es
		отн

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в папке Литература

#
06.06.2026110 б0dsplib.url
#
06.06.20262.45 Mб0Лекции.pdf
#
06.06.202612.57 Mб0Липкин ОСР.pdf
#
06.06.2026132 б0Онлайн-доска.url