Добавил:

Lobov4ever Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Основы статистической радиотехники

Файл:

Лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2026

Размер:

2.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

при заданном достаточном	E		происходит уменьшение	P	за счет
		s		с

	N	0		P
				ш
увеличения мощности шума Pш			в полосе приема (из-за расширения

полосы приема при постоянной спектральной плотности мощности шума). С точки зрения связи, скорость передачи информации не уменьшается, т.к. общая длительность сигнала не изменилась.

	Однако, отношение сигнал/шум	Pс	в широкой полосе гораздо
		Pш

	меньше, чем в исходной узкой полосе и может быть отрицательным
	в дБ. Говорят, что система связи становится способна работать «под
	шумами». Визуально ни осциллограмму, ни спектрограмму такого
	сигнала не видно на фоне шумов (как в лабораторной работе). В
	этом случае, как и предыдущем используемая ширина спектра f
	(после расширения) существенно (пропорционально базе сигнала)
	превышает необходимую для передачи данных с исходной
	скоростью Rb .
3	Кодовое разделение абонентов (используется в 3G).
	Каждый абонент использует свой сложный широкополосный сигнал
	для обмена данными с базовой станцией. Все абоненты
	осуществляют обмен данными с базовой станцией в одной широкой
	полосе одновременно.
	Сложные сигналы абонентов отличаются законом фазовой
	манипуляции. Законы манипуляций подбираются таким образом,
	чтобы минимизировать помехи абонентов друг другу. Для этого
	добиваются ортогональности их сигналов, т.е. равенства нулю
	отклика коррелятора одного абонента на сигналы других абонентов
	(равенства нулю корреляционных интегралов).

Всинхронном режиме (когда сигналы всех абонентов синхронизированы) используется коды Уолша-Адамара.

Васинхронном режиме взаимные задержки сигналов могут быть произвольные. Добиться равенства нулю отклика коррелятора абонента на сигналы других абонентов при любых взаимных задержках невозможно, – можно только минимизировать насколько это возможно. Для этого используют коды с хорошими взаимнокорреляционными свойствами при различных задержках, например, коды Голда или производные коды.

Чем больше база сигналов, используемых абонентами, тем больше абонентов может работать в одной полосе частот в одно и то же время с заданным качеством.

Раздел «Обнаружение квазидетерминированных сигналов в белом гауссовом шуме»

Лекция на тему «Отношение правдоподобия при обнаружении детерминированного сигнала в белом гауссовом шуме в комплексной форме»

Лектор: доц. Лобов Е.М.

Имеются две гипотезы: H0 , утверждающая, что в полученная выборка содержит только шум, и H1 , говорящая о наличии сигнала в приятной выборке:

H		0	: y	= n
			i	i
	H		: y	= x + n
		1
			i	i	i

, i =1 N ,

(88)

где

заранее), ni выборки

отсчёты комплексной огибающей полезного - отсчеты шума в двух квадратурных каналах, N

сигнала (известные - длина полученной

y =		Re	(	y	)	,Re	(	y	2	)	,Re	(	y	)	,...,Re	(	y	N	)	,Im	(	y	)	,Im	(	y	2	)	,Im	(	y	)	,...,Im	(	y	N	)
				1					2				3					N				1					2				3					N

(в

отсчетах времени, всего чисел 2N, по N в каждой квадратуре).

Требуется синтезировать оптимальный (по определённому критерию в смысле заданного показателя качества) алгоритм обработки выборки y с целью

принятия решения гипотезы H1 .

	0

о верности гипотезы

H	0

или решения

	1

о принятии

Решение поставленной задачи известно и сводится к вычислению отношения правдоподобия для наблюдаемой комплексной выборки и сравнению вычисленного значения с порогом.

Запишем отношение правдоподобия:

(y / H )

y (y / H0 ) C , (89)

y ( y / H1 ) – совместная функция плотности вероятности (ФПВ) выборкиy 1

y =		Re	(	y	)	,Re	(	y	2	)	,Re	(	y	)	,...,Re	(	y	N	)	,Im	(	y	)	,Im	(	y	2	)	,Im	(	y	)	,...,Im	(	y	N	)
				1					2				3					N				1					2				3					N

при

условии справедливости гипотезы H1 (функция правдоподобия гипотезы H1 для выборки y ),

	( y / H	)
y	0

– совместная функция плотности вероятности (ФПВ) выборки

y = Re( y1 ), Re( y2 ), Re(y3 ),..., Re(yN ), Im (y1 ), Im (y2 ), Im (y3 ),..., Im (yN )											при
условии справедливости гипотезы H0 (функция правдоподобия гипотезы H0 для
выборки y ).
	Пороги определяются, как и ранее в зависимости от выбранного критерия
и наличия априорных сведений. В частности, используются:
1.	Критерий				минимума			среднего	риска	(критерий	Байеса):
	C = C		=	( 10 − 00 )P(H0 )
	C = C	Б	=	( 01 − 11 )P(H1 )
		Б		( 01 − 11 )P(H1 )
2.	Критерий				идеального наблюдателя				(критерий	минимума вероятности
	ошибки):				C = CИД =	P(H )
	ошибки):				C = CИД =		0
							0
						P(H		)
							1
3.	Критерий максимума правдоподобия:								C = CМП =1.

Обнаружение детерминированного вещественного сигнала в белом гауссовом шуме

Положим следующие свойства шумовых отсчетов

для

=1 N

1)случайные величины Re(ni ) и Im(ni ) имеют гауссовское распределение (шум в обоих квадратурных каналах имеет гауссовское распределение),

2)шум центрирован, т.е. математическое ожидание шумовых отсчетов

равно

i =1

0 в любой момент времени,

N ,

m	(Re(n ))
1	i

= 0,

m1 (Im(ni )) = 0 , для

3)шум стационарен и имеет одинаковую среднюю мощность в любой момент времени, мощность шума в квадратурных каналах одинаковая,

т.е.	M 2 (Re(ni )) = D(Re(ni )) = M 2 (Im(ni ))= D (Im(ni ))				= ш ,	для
					2
i =1 N (дисперсия шума известна),
4) отсчеты		Re(ni )	попарно некоррелированы	между	собой,	т.е.
С (Re(ni ),Re(nj ))= 0 для любых i j ; то же самое можно сказать и про
отсчеты		Im(ni )	(шумы в квадратурах белые);	шумы в квадратурах

считаем не коррелированными, т.е.

j .

	(	i	(		j ))
С		Re(n ),Im		n

= 0

для любых

5) т.к. отсчеты Re(ni )

(а также Im(ni )) попарно некоррелированы между

собой, а шум гауссовский, то отсчеты шума независимы по отношению друг к другу,

6)с учетом свойств 4 и 5 многомерную ФПВ шума можно представить в форме произведения одномерных ФПВ.

Обозначим:

Re(ni ) = ni Re

, Im(ni ) = ni Im ,

Re( yi ) = yi Re

Im( yi ) = yi Im ,

Im( yi ) = yi Im

Re(xi ) = xi Re ,

Im(xi ) = xi Im .

Очевидно, что функция плотности вероятности (ФПВ)

y ( y / H0 )

выборки

y = y1Re , y2 Re , y3Re ,..., yN Re , y1Im , y2 Im , y3Im ,..., yN Im

при

условии

справедливости

гипотезы H0

совпадает с ФПВ шума.

Тогда

−

+ y

− y

2 N

( i Re

i Im )

i Re

i Im

i =1

y (

0 )

ш (

)

y / H

= w

i=1

2 N

−

i =1

(90)

Основываясь на (1) запишем

	( y / H	)
y	1

с учётом независимости отсчётов

принятой выборки и линейного преобразования (ФПВ) y ( y / H1 ) реализации выборки yi =

функции плотности вероятности

+ ni

в ФПВ шума выборки

= yi − xi :

−(yi Re −xi Re )2

−(yi Im −xi Im )2

2 ш2

e 2 ш2

y ( y / H1 ) = wш

(yi

− xi ) =

2 ш

i=1

− (yi Re −xi Re )2 +(yi Im −xi Im )2

− yi −xi

2 N

i =1

2 N

i =1

2 ш

Получим формулу для отношения правдоподобия

( (

y / H y / H

1 0

−

−x

−

−x

2 y

+2 y

−x2

)

i Re

i Im

i Re i Re

i Im i Im

i Re

i Im

i =1

= e

)

(91)

Часто ради удобства вычисляют не отношение правдоподобия в чистом виде, а значение некоторой монотонной функции от этого отношения. Т.к. часто приходится иметь дело на практике с гауссовским шумом и с гауссовским законом распределения соответственно, то используют натуральный логарифм отношения правдоподобия.

Перепишем выражение отношение правдоподобия, прологарифмировав его

+2 y

−x

2 y x

( y / H )

i Re

i Im

i Re

i Im

i =1

= ln e

/ H0 )

2 y

+ 2 y

− x

i Re

i Im

i Re

i Im

ln C

i=1

Использование логарифма отношения правдоподобия избавляет от необходимости вычислять экспоненту. Разумеется, сравнивать значение теперь следует с натуральным логарифмом от порога (который можно вычислить заранее).

Перепишем выражение в форме:

+ y

ln C +

(

i Im )

i Re

i Im

i Re

i=1

Введем обозначения с учетом нормировки времени и частоты

N				N	2 = E
(	x2	+ x2	T =	x	2 = E	s
(	i Re	i Im )		i		s
i=1				i=1

x	2

i Im

) =

(92)

Fд =1/ T =1

N
	(y	x	+ y	x	)T
	i Re	i Re	i Im	i Im
i=1

где x* – вычисление принимает вид:

F =

(

)

(

+ y

y x

i Re

i Im

i Im )

i=1

комплексного сопряжения. Тогда

		N
		i
= Re		y
	i=1

правило

x	*	,

i

решения

Re		N	y x		N		ln C +	E
		N
				*
	i			*		0		s
	i			i	2			2
	i=1				2			2

(93)

Суть алгоритма (93) в следующем: вычисляется корреляционная сумма наблюдаемой выборки (которая представляет собой N комплексных чисел yi

комплексной огибающей наблюдаемого узкополосного процесса на входе приемника) и комплексно-сопряженных отсчетов комплексной огибающей обнаруживаемого сигнала xi* . От полученного значения оставляется только его

вещественная часть, которая сравнивается с порогом. Мнимая часть отбрасывается, потому что после вычисления корреляционной суммы (93) в ней всегда останется только шумовая составляющая без зависимости от реального наличия сигнала в выборке. Действительно, если справедлива гипотеза H1 , то

y x

(x + n )x

= E +

+ n

n x

i Re

i Im

i=1

+ j

− n

i Im

i Re

i Im

i=1

(94)

Из (94) видно, что мнимая часть суммы содержит только шумовую составляющую, тогда как вещественная – и шумовую и полезную составляющие. Физический смысл алгоритма (93) заключается в когерентном взвешенном сложении отсчетов наблюдаемой выборки. Выравнивание по фазе и взвешивание

обеспечивается умножением отсчетов выборки на			*
обеспечивается умножением отсчетов выборки на			xi .
Обозначим
	N
= Re	yi xi*	,	(95)
	i=1

- корреляционная сумма принятой выборки и опорного сигнала (опорный сигнал – синтезированный на приёмной стороне сигнал на основании знаний о переданном сигнале, в данном случае мы обладаем всем объёмом знаний о переданном сигнале, поэтому переданный и опорный сигнал равны с точностью

до комплексного сопряжения). Также

можно назвать решающей

статистикой.

В частном случае, когда комплексная огибающая обнаруживаемого сигнала не содержит мнимой компоненты можно записать:

= Re

ln C +

y x

i Re

i=1

(96)

Алгоритм (96) для вещественных наблюдений и вещественного сигнала совпадает с ранее рассмотренным (14).

Лекция на тему «Постановка задачи синтеза оптимального обнаружения квазидетерминированного сигнала с случайными/неизвестными параметрами на фоне аддитивного белого гауссовского шума»

Лектор: доц. Лобов Е.М.

H		0	: y	= n
			i	i
	H		: y	= x ( ) + n
		1
			i	i	i

=1 N

(97)

где N - длина полученной выборки,

– отсчеты комплексной огибающей

наблюдений,

ni - отсчеты комплексной огибающей шума, xi ( )

– отсчеты

комплексной

огибающей

сигнала,

зависящей

от

вектора

параметров

= 1, 2 ,..., M ,

M – число параметров. Математическая модель зависимости

отсчетов комплексной огибающей xi ( ) от параметров

известна. Однако сами

параметр

неизвестны.

Поэтому

сигнал

xi ( )

называют

квазидетерминированным.

Введем обозначения:

y = Re

(y )

,Re(y ),Re(y ),...,Re(y

),Im(y ),Im(y

),Im(y ),...,Im(y

)

– вектор-столбец содержащий, N комплексных отсчетов наблюдений в N

сечениях, т.е. 2N вещественных чисел.

n = Re

(n ),Re(n ),Re(n ),...,Re

),Im(n ),Im(n

),Im(n ),...,Im(n

)

– вектор-столбец содержащий, N комплексных отсчетов шума в N сечениях, т.е.

2N вещественных случайных величин.

Совместная плотность вероятности случайных величин

полагается

известной (2N-мерная) n (n) .

Параметры

являются случайными величинами, то полагается известной

их совместная плотность вероятности ( ) .

Если про природу параметров ничего неизвестно, т.е. неизвестно являются ли они случайными величинами (т.е. изменяют ли свои значения от эксперимента к эксперименту), то параметры трактуются просто неизвестными числами. При необходимости эти числа воспринимают в качестве случайных величин с равномерным распределением в некоторой ожидаемой области их значений.

принятия

гипотезы

решения

H1 .

	0

о верности гипотезы

H	0

или решения

	1

о принятии

Использование рассмотренных ранее критериев, приводит к решению задачи в форме сравнения отношения правдоподобия с некоторым порогом, значение которого определяется выбранным критерием оптимальности.

Алгоритм принятия решения можно записать в форме:

		(y / H		, )
( y, ) =	y		1
( y, ) =			(y / H		)
			(y / H		)
		y		0

(98)

При этом отношение правдоподобия (98) будет функцией не только наблюдаемой выборки, но и параметров , в силу зависимости от этих параметров функции правдоподобия y (y / H1, ).

Если параметры известны, то алгоритм (98) можно применять напрямую (как это будет показано далее на примере сдвига сигнала по фазе на величину 0

). Если параметры

неизвестны, то следует либо модифицировать алгоритм (98)

и сделать его инвариантным к значению

(другими словами, получить

формулы, в которых никак не участвуют), либо следует каким-либо образом

измерить параметры сигнала

при одновременном его обнаружении и принять

решение как относительно наличия сигнала в эфире, так и относительно значений его неизвестных параметров (т.е. синтезировать алгоритм одновременного обнаружения сигнала с совместным оцениванием его параметров).

Первый вариант предполагает усреднение левой и правой частей по значения неизвестных параметров, т.е. переход к усреднённому значению

отношения правдоподобия в форме

(y / H

, )

−

( y) =

...

( y, ) ( )d = ...

(y / H

)

( )d

...

C ( )d

−

(99)

или

− −

y (y / H1,

)

( y) ==

...

( )d C

(100)

y (y / H0 )

−

Второй вариант предполагает осуществлять оценивание параметров и использование этих значений в (98). Одним из наиболее распространенных методов оценивания параметров сигналов, который используется в условиях неизвестного закона распределения параметров, является метод максимального правдоподобия. Суть метода заключается в том, что для заданной выборки y

находится такой набор параметров , который обеспечивается максимальное

значение функции правдоподобия y (y / H1, ). С учетом того, что функция правдоподобия в отсутствие сигнала в выборке y ( y / H0 ) параметров не

содержит, то параметры можно	находить по максимальному значению
отношения правдоподобия ( y, ).

Таким образом, максимально правдоподобная оценка параметров может быть найдена в форме


		y (y / H1,	)
		y (y / H1,	)
МП	= arg max			,	(101)
МП	= arg max	y (y / H0 )		,	(101)

где – пространство возможных значений параметров.

Найденная по (101) оценка поставляется в (98) и найденное максимальное

значение отношения правдоподобия сравнивается с порогом:

(y / H

МП

)

( y, МП ) =

C ,

(102)

(y / H

)

Если порог оказывается превышен, то принимается решение в пользу присутствия сигнала в наблюдаемой выборке, а МП принимается в качестве

значений его параметров (которые, разумеется, немного отличаются из-за влияния шума). Если порог не оказывается превышен, то принимается решение в пользу отсутствия сигнала в наблюдаемой выборке и МП не имеют смысла.

В качестве параметров могут выступать сдвиг сигнала по фазе 0 ,	его
амплитудный множитель A0 , задержка распространения , частотный сдвиг	f

Отыскание максимума отношения правдоподобия эквивалентно отыскания максимума натурального логарифма отношения правдоподобия в силу монотонности функции натурального логарифма.

В частном случае при обнаружении квазидетерминированного сигнала на фоне квазибелого гауссовского шума отыскание максимально правдоподобных значений параметров сигналов сводится к отысканию максимального отклика коррелятора. Справедливо

		N

МП	= arg max Re	yi xi* ( )	,
		i=1
		i=1

В частности, если параметр один и является задержкой сигнала

			N
МП	= arg max Re		yi xi* ( ) .
	[0 max ]	i=1

(103)

, то

(104)

Таким образом, чтобы измерить задержку сигнала при его обнаружении потребуется перестраиваемый коррелятор, для которого в качестве опорного сигнала используется комплексно-сопряженная огибающая обнаруживаемого

сигнала, задержанная на некоторое значение . Значение перестраивается в диапазоне от нулевой задержки до некоторой максимальной задержки max .

Альтернативно можно использовать множество корреляторов, для каждого из которых используется опорный сигнал с некоторой задержкой из допустимого диапазона [0 max ]. Или можно использовать согласованный фильтр, как это

было описано ранее в соответствующей лекции.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература

#
06.06.2026110 б0dsplib.url
#
06.06.20262.45 Mб0Лекции.pdf
#
06.06.202612.57 Mб0Липкин ОСР.pdf
#
06.06.2026132 б0Онлайн-доска.url