МатематическийАнализ2семестр

Математический анализ - 2 семестр

05.02.2026

Неопределённый интеграл Первообразная функция

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке x этого промежутка выполняется: F'(x)=f(x)

Пример: F(x)=x³/3, f(x)=x² F(x)=x³/3+8, f(x)=x²

Геометрический смысл первообразной

F'(x)=tgα=f(x)

Геометрически найти первообразную для функции f(x) значит найти такую кривую y=F(x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке x равен значению заданной f(x) в этой точке.

Теорема: Если 1( ) и 2( ) - первообразные для функции f(x) на некотором промежутке X, то найдётся такое число C, что 2( ) = 1( ) + .

Доказательство:

Возьмём ( 2( ) − 1( ))' = 2( )' − 1( )' = ( ) − ( ) = 0

1

По следствию теоремы Лагранжа: 2( ) − 1( ) = , . 2( ) = 1( ) +

Если F(x) - первообразная для f(x) на промежутке X, то выражение вида F(x)+C, где C - произвольное число, задаёт все возможные первообразные для f(x).

Примечание автора: Разность двух функций, у которых производные одинаковы, имеет нулевую производную. По следствию из теоремы Лагранжа (производная = 0 на промежуткефункция постоянна) эта разность - константа.

Неопределённый интеграл - бесконечно много функций. Определённый - одна. Определение: Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx, где ∫ - знак интеграла, f(x) - подынтегральная функция, dx - дифференциал x. f(x)d(x) - подынтегральное выражение. Таким образом, ∫f(x)dx=F(x)+C, где F(x) - некоторая первообразная функция для f(x), а C - произвольная константа.

Пример: ∫x²dx=x³/3+C

Свойства неопределённого интеграла

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции

(∫ ( ) )' = ( ) (∫ ( ) )' = ( ( ) + )' = ( )

2.Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

(∫ ( ) ) = ( ) (∫ ( ) ) = (∫ ( ) )' = ( ) по первому свойству

3.Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого

∫ ( ( )) = ( ) + Рассматривая F(x) как первообразную для f(x), то ∫f(x)dx=F(x)+C. На основании второго свойства f(x)dx=d(F(x)), следовательно (∫ ( ) ) = ∫ ( ) =

= ( ) +

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

∫α ( ) = α∫ ( ) , где α=const Рассмотрим ( ) = ∫α ( ) − α∫ ( )

2

'( ) = α ( ) − α ( ) ≡ 0 по первому свойству. По следствию теоремы Лагранжа существует такое : ( ) = ∫α ( ) = α∫ ( ) + . Так как сам интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то C можно опустить.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций

∫( ( ) ± ( )) = ∫ ( ) ± ∫ ( ) Рассмотрим функцию ( ) = ∫( ( ) ± ( )) = ∫ ( ) ± ∫ ( ) . Возьмём производную

'( ) = ( ( ) ± ( )) − ( ( ) ± ( )) = 0. Так как производная равна нулю, то по следствию теоремы Лагранжа функция h(x)=C, где C - некоторая постоянная. Тогда

6.∫ = +

7.∫ =− +

8.∫ = +

9.∫ 2 = +

3

первой, то всё правильно. Если есть модуль, но необходимо рассмотреть два случая,

где x>0 и x<0.

Пример:

4

( 1 ( + ) + )' = 1 ( ( + ))' = 1 '( + )( + )' = = 1 '( + ) = '( + ) = ( + )

: ∫ ( ) = ∫ (φ( )) * φ'( ) , где = φ( ) - дифференцируемая функция на промежутке.

Продифференцируем обе части по t (производная сложной функции)

(∫ ( ) )' = (∫ ( ) )' * ' = ( ) * φ'( ) = (φ( )) * φ'( ) (∫ (φ( )) * φ'( ) )' = (φ( )) * φ'( )

Эти производные равны, а по следствию теоремы Лагранжа они отличаются на некоторую постоянную, так как они определены с точностью до константы, то постоянную можно опустить.

6

Если R(-sinx,cosx)=R(sinx,cosx) или R(sinx,-cosx)=R(sinx,cosx), то t=cosx или t=sinx.

Пример:

помощью известных тригонометрических формул.

Пример:

Определённый интеграл Понятие определённого интеграла. Геометрический и экономический смыслы

Задача о площади криволинейной трапеции

10