Добавил:

daner270 Зам Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный экономический университет (бывш. ФИНЭК, ИНЖЭКОН)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

МатематическийАнализ2семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2026

Размер:

4.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

∞	∞
Доказательство: ∑ λ	= λ ∑ = λ < ∞ сходится.
=1	=1

2. Если ряды 1, 2,..., ,... и 1, 2,..., ,... сходятся и имеют конечные суммы 1, 2, то и ряд, представляющий собой сумму данных рядов сходится и имеет сумму 1 + 2. То же самое и для вычитания.

3. Если ряд сходится, сходится и ряд, полученный из данного ряда путём отбрасывания (приписывания) конечного числа членов.

∞

сходится

∞

∑

∑ =

∞

(здесь

1 + 2 +... + = 1

− 1

< ∞

+ 2 +... + + ∑

∑

сходится.

= +1

∞

< ∞

, если

∑ + ∑ = + 1

∑ = 1

Замечание: Ряд, полученный из данного ряда отбрасыванием его первых n членов, называется n-ым остатком ряда.

4. Чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы при стремлении n к бесконечности остаток ряда стремился к нулю.

∞

сходится при

→ ∞: → 0

∑

= 0

, где

= +1

+ +2 +...

lim

→

Это∞свойство вытекает из теоремы о связи БМВ с пределом функции.

lim

( ) = ( ) = + α( ), α( ) - БМВ

→

Доказательство:

∞

1. Пусть ряд сходится,

. Тогда частичные суммы

стремятся к S.

Остаток

. По

= ∑

= −

определению предела,

lim

= lim

( − ) = 0

→ ∞

→∞

2. Пусть		lim	= 0	(при этом все остатки существуют и			∞	сходится). Для m>n:
							∑
	∞	→∞			∞	= +1
							∞		. Из
	= ∑		= ∑		+ ∑ = ( − ) + −		= ∑ = −
	= +1		= +1		= +1		= +1

условия → 0: для любого ε > 0 существует N такое, что при n>N | | < 2ε . Тогда для любых m>n>N:

| − | = | − | ≤ | | + | | < ε (Неравенство треугольника).

Таким образом, последовательность частичных сумм сходится, соответственно весь ряд тоже сходится.

Необходимый признак сходимости Гармонический ряд

Теорема (Необходимый признак сходимости): Если ряд сходится, то предел его общего члена при → ∞ равен нулю.

∞

сходится

lim

= 0

∑

=1Доказательство: → ∞

= − −1

Выразим n-ый член ряда через сумму его n и n-1 членов. То есть,

. Так

как

ряд

сходится,

то предел

lim = <

∞

Тогда

предел

lim −1 = < ∞

Отсюда следует, что

lim

→∞

lim

− lim

→ ∞

lim ( − −1)

−1 = − = 0

предел∞

общего

∞члена ряда

при

∞

не∞ равен нулю, то ряд

Следствие:

Если

→

расходится.

→ ∞

Пример:

∞

∑

2+1

lim

. Необходимый признак есть, а о сходимости нечего сказать. Нужен

2+1

= 0

→

достаточный∞

признак сходимости.

∞

∑ 24 +1−2 = 0. 5 расходится

										∑			1
Гармонический ряд -										∞							. Ряд расходится.
Гармонический ряд -										∞							. Ряд расходится.
lim	1	= 0								=1
→
Доказательство∞ :
Рассмотрим											1			+				1	+... +		1	и		= 1 +		1	+	1	+... +	1	. Найдём их разность
						2	= 1 + .							+				3	+... +		2			= 1 +		2	+	3	+... +
					1	2				1	2							3			2					2		3				1
					1					1		Заменим каждое слагаемое в сумме наименьшим равным																				1	.
2 − =				1+ +... +						2		Заменим каждое слагаемое в сумме наименьшим равным																				2	.
2 − >				1		+	1		+...		1				[ раз] =						1	=	1
2 − >						+			+...						[ раз] =							=	2
Предположим2 , что2									ряд сходится2											. Тогда2			2
lim	2 =				lim				=								lim		2 −			>	lim		21
→∞	1			→ ∞			1									→ ∞							→∞
− >			2	0 >				2

Мы пришли к противоречию, наше предположение неверно. Значит, ряд расходится.

03.04.2026

Ряды с положительными членами

∞

Теорема (Признак сравнения): Даны два ряда с положительными членами ∑ (1),

∞			, причём члены первого ряда не превосходят члены второго
∑ (2), > 0, > 0
=1	≤	1. Если сходится (2), то сходится (1). 2. Если расходится (1), то расходится
(2).
:

Доказательство:

1. Через частичные суммы:

Пусть частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно равны. По условию, второй ряд

сходится, то есть существует конечный предел		lim (2)	= , так как члены второго
	последовательность∞		частичных сумм (1). Эта
ряда положительны. Рассмотрим		→

последовательность является возрастающей, так как с ростом n увеличивается сумма

n	положительных слагаемых. Последовательность возрастает и ограничена
(1)	(2)	<	. Следовательно, на основании признака существования предела	(1)
	<	<

имеет предел, то есть сходится. 2. От противного:

Предположим, что (2) сходится. Тогда согласно первой части теоремы сходится и (1). Противоречие. Значит, (2) расходится. Замечание: Так как сходимость ряда не изменяется при отбрасывании конечного

числа членов ряда, то условие ≤ не обязательно должно выполняться с первых членов рядов и только для членов с одинаковыми номерами n. Достаточно, чтобы условие выполнялось с некоторыми номерами n=k или чтобы имело место неравенство ≤ + , .

Пример:	1 +	1	+	1		+... +	1		+...
		2*3		3*3	2		*3	−1

Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом.

1 +

+...

сходится,

< 1

+... + 3 −1

> 0, =

> 0

*3 −1

3 −1

≤

ряд сходится.

*3 −1

3 −1

Отметим эталонные ряды, которые часто используются для сравнения:

∞

1. Геометрический ряд ∑ −1. | | < 1 сходится. | | ≥ 1 расходится.

∞

2. Гармонический ряд ∑ 1 расходится.

∞

3. Обобщённый гармонический ряд ∑ 1 . k>1 сходится. k 1 расходится.

Теорема

(Предельный

признак сравнения):

Если

∞

ряды

∑ , ∑

предел

их

общих членов

положительными

членами и

существует

конечный

lim

, то ряды одновременно сходятся или расходятся.

= < ∞, ≠ 0

→

Доказательство∞ :

Так

как

lim

то

по

определению

предела

числовой

= < ∞, ≠ 0

→

∞

последовательности

ε > 0 : > |

− | < ε,

− *

< ε

− ε < − < ε

− ε < < + ε

( − ε) < < ( + ε)

∞

Если ряд

∞

сходится,

то сходится и ряд ∞

если ряд

расходится,

то

∑

∞

расходится

ряд

по

признаку сравнения

(

( +

ε), ( − ε)

- постоянные

∑

множители.

Следствие:

Если

= 1 ~→∞

по определению эквивалентности. Тогда при

исследовании

сходимости ряда можно заменить его общий член на эквивалентную

функцию и из сходимости (расходимости) ∞

сходимость (расходимость)

∞

∑

Пример: ∞

22+5

∞

- гармонический ряд, расходится.

∑

= 2 ∑

10.04.2026

Признак Даламбера:

Пусть для

∞

l<1 сходится, l>1

∑ ,

> 0 lim =

вопрос

∞о сходимости ряда остаётся

расходится. l=1 признак не даёт ответа -

→

нерешённым.

Доказательство:

Из определения предела последовательности

ε > 0 : > |

− | < ε

− ε <

− < ε − ε <

< + ε

= + ε < 1

< +1 <

1. Пусть l<1: Выберем ε настолько малым, что

выполняется при n=N+1,N+2,...,N+k, то есть

= + 1: +2 < +1

= + 2: +3 < +2 < +1 2

= + 3: +4 < +3 < +1 3...

−1

+ < +1

Получили, что члены начиная с (N+2)-го меньше соответствующих членов геометрического ряда, сходящегося при q<1. Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд сходится.

2. Пусть l>1: Возьмём ε настолько малым, что l-ε>1. Тогда из условия

− ε <

> 1

. Значит,

члены ряда возрастают, начиная с номера

N+1, поэтому

lim

≠ 0

по необходимому признаку, ряд расходится.

Замечание 1:

→∞

= ∞

расходится.

lim

Замечание 2:

→ ∞

= 1

признак ответа не даёт, нужен другой признак.

lim

Если∞

содержит показательную функцию или факториал, то признак

Замечание 3:

→

Даламбера работает.

Пример:	∞	2	lim	2 2 !	=	lim	2	= 0 < 1	сходится.
	∑	! ,	lim	( +1) !2	=	lim	+1	= 0 < 1
	=1		→ ∞			→ ∞

∞

Теорема (Интегральный признак сходимости): Пусть ∑ , > 0, 1 ≥ 2 ≥... ≥ ...

f(x) определена при ≥ 1 непрерывно и невозрастающе, (1) = 1, (2) = 2,...,( ) = .... Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился

∞∞

несобственный интеграл. ∫ ( ) ,

∑

ведут

себя

одинаково

- сходятся

или

расходятся.

Доказательство:

Рассмотрим

его

n-ой

частичной

∫ ( ) + ∫ ( ) +...

∫ ( ) +

∫ ( ) +...

−1

суммой

будет

= ∫ ( ) + ∫ ( ) +...

∫ ( ) +

∫ ( ) =

∫ ( )

Сходимость ряда означает сходимость последовательности его частичных сумм, то

−1

есть сходимость интеграла.

lim

сходимость ∞

. В силу

∫ ( )

монотонности

функции f(x)

на∞

любом

∞

отрезке1

[n;n+1].

→

( ) ≥ ( ) ≥ ( + 1)

≥ ( ) ≥ +1

Проинтегрируем

на

[n;n+1].

∫ ≥ ∫ ( ) ≥ ∫ +1

, так как

≥ ∫ ( ) ≥ +1

∫ = * | +1 =

Если

ряд сходится, то по признаку сравнения рядов, должен сходится и ряд

( ) +...

, значит и несобственный интеграл.

∫ ( ) +... +

∫

сходится,

то сходится и

ряд

Обратно: Если

несобственный интеграл

( ) +...

∞

∫ ( ) +... +

∫

∑

Пример:	∞	1	, lim		1	=	lim	−1		сходится.
	∑	3	, lim	∫	3	=	lim	2 3	\|1 = 1/2
	=1		→∞	1			→ ∞
17.04.2026

Ряды с членами произвольного знака Знакочередующиеся ряды

Определение: Знакочередующимся называется ряд, в котором члены попеременно, то положительные, то отрицательные.

Теорема (Признак Лейбница): Если члены знакочередующегося ряда убывают по

абсолютной величине			1 > 2 >...	и предел общего члена стремится		к нулю
lim =	0, то ряд		1 > 2 >...		≤ 1
→		сходится, а его сумма не превосходит первого члена				.
Замечание∞	1: Если хотя бы одно из условий не выполнено, то ряд расходится.

Замечание 2: Убывание не обязательно начинается с первого члена, достаточно установить такой номер, начиная с которого будет идти убывание.

Доказательство:

Рассмотрим последовательность частичных сумм чётного числа членов при n=2m.

∞

∑ (− 1) −1 . 2 = ( 1 − 2) + ( 3 − 4) +... + ( 2 − 2 +1)

Эта последовательность возрастающая (увеличивается число положительных

слагаемых в скобках) и			ограниченная		(	2 = 1 − ( 2 − 3) −... − 2	сумма
ограничена первым членом				.		2 = 1 − ( 2 − 3) −... − 2
		существования признака				предела (монотонна и ограничена)
На	основании		2 < 1		2 = . Переходя к пределу, получим, что
последовательность 2 имеет предел lim					2 = . Переходя к пределу, получим, что
lim	2 < lim	1 ≤ 1.		→∞
→∞	→ ∞

Рассмотрим последовательность частичных сумм нечётного числа членов при n=2m+1.

2 +1 = 2 + 2 +1

поэтому

применяя необходимый признак сходимости имеем

предел

lim

2 +1 =

lim 2

+ lim 2 +1

= + 0 =

→

Замечание

∞3: Для знакочередующегося∞ ∞

ряда, удовлетворяющего условиям Признака

Лейбница выполняется неравенство 2

< < 2 +1.

Пример: ∞

, lim

сходится.

∑ (− 1)

= 0, 3 > ( +1)3

→ ∞

Следствие: Погрешность при приближённом вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Признака Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.

Доказательство:

Сумма сходящегося ряда равна сумме n членов плюс сумма n-го остатка ряда= + . Полагая приближённо, что ≈ , мы допускаем погрешность . Так как при чётном n n-ый остаток равен = ( +1 − +2) +... и представляет ряд, удовлетворяющий Признаку Лейбница, его сумма не превосходит первого члена

≤ +1. Так как при нечётном n сумма остатка ряда =− +1 + +2 −..., то очевидно, что : | | ≤ +1.

24.04.2026

Знакопеременные ряды

Ряд называется знакопеременным, если часть его членов имеет положительный знак, а другая часть отрицательный.

∞

Пусть ∑ знакопеременный ряд.

∞

Теорема (Достаточный признак сходимости): Из того, что ∑ | | сходится следует

∞

то, что сходится ∑ .

Доказательство:

Пусть ряд		знакочередующийся, рассмотрим его сумму.	+	- сумма
	∑
	=1

неотрицательных слагаемых, − - сумма модулей неположительных слагаемых. Обе суммы неотрицательные ( +, − ≥ 0). Очевидно, что (1) = + − − - частичная сумма

∑

(2)

= + + −

∑

| |

∑

| |

lim (2) = < ∞

∞

- частичная сумма

∞

{ −} =1

∞

{ +} =1,

→Обе последовательности

Рассмотрим две

последовательности

∞

являются неубывающими и ограниченными, так как + ≤. , − ≤
+ = lim +, − = lim − (1) =				lim (1) = + − −
→ ∞	→ ∞	∞	→ ∞
Обратное неверно,	например:	∞	(−1)+1	сходится по признаку Лейбница, но
		∑
расходится.		=1

∞

∑ 1=1

Определение: Ряд		∞		сходится абсолютно, если он сходится и ∞					сходится.
		∑					∑ \| \|
		=1					=1
Определение: Ряд		∞		сходится условно, если он сходится и			∞	расходится.
		∑					∑ \| \|
		=1				=1
Радикальный признак Коши: Пусть ∞						. Если	lim	< 1		, то ряд
сходится. Если lim				∑ , ≥ 0			lim	< 1
сходится. Если lim			> 1, то ряд расходится=1		.		→∞
	→	∞
Доказательство:		∞
lim	= , ε > 0 (ε): > \| − \| < ε.
→∞

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
01.06.20263.49 Mб0МатематическийАнализ1семестр.pdf
#
01.06.20264.18 Mб0МатематическийАнализ2семестр.pdf
#
01.06.2026666.35 Кб0МатериалыДляКТ1.pdf
#
01.06.2026649.61 Кб1МатериалыДляКТ2.pdf